计算动力学第一章

1、1大连理工大学运载工程与力学学部大连理工大学运载工程与力学学部 2 1.1 1.1 振动的概念振动的概念 1.2 1.2 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 1.3 1.3 单自由度系统强迫振动单自由度系统强迫振动 1.4 1.4 两个自由度系统的振动两个自由度系统的振动 1.5 1.5 非线性振动概述非线性振动概述 第第1章章 绪论绪论 3 1.1 振动的概念振动的概念 振动：振动：就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。就是物体在静平衡位置附近所作的往复运动。 振动系统：振动系统：在振动问题中所研究的对象。如机器或在振动问题中所研究的对象。如机器或 结构物等。结构物等。 激励：激励：

2、外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。外界对振动系统的作用或引起机器运动的力。 响应：响应：机器或结构在激励作用下产生的动态行为。机器或结构在激励作用下产生的动态行为。 4 振动的概念振动的概念 振动分析：振动分析：研究振动系统、激励研究振动系统、激励(输入输入)和和 响应响应(输出输出)三者之间的关系。三者之间的关系。 5 力学基本模型力学基本模型 振动系统的力学基本模型中包括三个基本振动系统的力学基本模型中包括三个基本“元件元件”： 质量块质量块、弹簧弹簧和和阻尼器阻尼器。 质量块质量块: 是物体惯性大小的度量。是物体惯性大小的度量。 弹簧弹簧: 表示振动系统弹性的理想模型。表示振动系统

3、弹性的理想模型。 阻尼器阻尼器: 任何振动在没有外界干扰任何振动在没有外界干扰(激励激励)时都会逐渐消失，时都会逐渐消失， 因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力因此，系统存在一种阻碍振动持续进行的阻力，这种阻力 称为阻尼。称为阻尼。 6 振动机理振动机理 任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身任何结构，之所以能产生振动，是因为它本身 具有质量（惯性力）和弹簧（恢复力）。具有质量（惯性力）和弹簧（恢复力）。 从能量关系看从能量关系看, 质量可以储存质量可以储存动能动能, 弹簧可以弹簧可以 储存储存势能（变形能）势能（变形能）。振动就是动能和势能不断地。振动就是动能和势能不断地 转

4、换。转换。 7 1.2 单自由度系统单自由度系统 单自由度系统单自由度系统: : 可以用可以用一个独立坐标一个独立坐标来确定系统的位置及其来确定系统的位置及其 运动规律的振动系统运动规律的振动系统; ; 单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统单自由度线性系统的振动是最简单的振动系统; ; 许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振许多实际问题可以足够精确地简化为单自由度振 动系统动系统; ; 单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法，单自由度振动系统的一些概念、特征和研究方法， 是研究复杂振动系统的基础。是研究复杂振动系统的基础。 8 m-k系统系统 已知质量为已知质量为m，弹簧的，弹簧的

5、 刚度系数为刚度系数为k。取质量的。取质量的 静平衡位置为坐标原点静平衡位置为坐标原点, 当重物偏离当重物偏离 x 时时,利用牛利用牛 顿定律可得到运动微分顿定律可得到运动微分 方程：方程： 0mxkx 9 梁的横向振动梁的横向振动 质量为质量为m的重物放在简支梁的中部，不计梁的质的重物放在简支梁的中部，不计梁的质 量。设梁长为量。设梁长为l，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E，截面惯性，截面惯性 矩为矩为I。则利用材料力学的概念可得到：。则利用材料力学的概念可得到： 0 48 3 y l EI y m d dst 10 m-c-k系统系统 已知质量为已知质量为m，弹簧，弹簧 的刚度系数为的

6、刚度系数为k ，粘，粘 性阻尼系数为性阻尼系数为c。运。运 动微分方程为：动微分方程为： 0kxxcxm 11 m-c-k系统系统 令阻尼比为令阻尼比为 2 n c m 则方程可写为则方程可写为 2 20 nn xxx 令其解为令其解为 st Cex 代入方程得到代入方程得到 22 20 nn ss 此特征方程的两个根是此特征方程的两个根是 2 1,2 (1) n s 12 大阻尼情况大阻尼情况 不同的阻尼比不同的阻尼比 ，对应的解的形式不同，运动，对应的解的形式不同，运动 性质也不同。性质也不同。 （1 1） 11（大阻尼情况）（大阻尼情况） 此时特征方程有两个不同的实根此时特征方程有两个不

7、同的实根, , 22 (1)(1) ( ) nn tt x tBeDe 2 1,2 (1) n s 通解为通解为 13 大阻尼情况大阻尼情况 给出初始条件：给出初始条件：t0时时 2 00 2 (1) 21 n n vx B 00, vxxx 则可确定系数则可确定系数B和和D 2 00 2 (1) 21 n n vx D 14 大阻尼情况大阻尼情况 这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们这种情况对应的运动是一种衰减运动，但不是我们 所关心的振动形式。设所关心的振动形式。设x00，v00，则运动图形大致如，则运动图形大致如 下。下。 2 (1) nt Be 2 (1) nt De 15 临

8、界阻尼情况临界阻尼情况 （2） 1（临界阻尼情况）（临界阻尼情况） 此时特征方程有重根此时特征方程有重根 () nt xBDt e 利用初始条件确定常数为利用初始条件确定常数为 000 , n Bx Dvx 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为cc mkmc nc 22 1,2n s 通解为通解为 16 临界阻尼情况临界阻尼情况 临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运临界阻尼情况也是一种非振动形式的衰减运 动，按不同的初始条件其运动图形如下。动，按不同的初始条件其运动图形如下。 17 小阻尼情况小阻尼情况 （3）0 1（小阻尼情况）（小阻尼情况） 此时特征方

9、程有一对共轭复根，通解为此时特征方程有一对共轭复根，通解为 22 ( cos1sin1) nt nn xeBtDt 或写为或写为 利用初始条件确定出常数利用初始条件确定出常数 00 0 2 , 1 n n vx Bx D 2 sin(1) nt n xAet 18 小阻尼情况小阻尼情况 2 200 0 2 1 n n vx Ax 解中有两个因子，一个是衰减的指数解中有两个因子，一个是衰减的指数 函数函数 ,它将使振幅越来越小，直至振它将使振幅越来越小，直至振 动最终消失动最终消失; 2 0 00 1 arctan n n x vx nt Ae 另一个是正弦函数另一个是正弦函数 ， 它表示系统以

10、相同的周期通过平衡位置。它表示系统以相同的周期通过平衡位置。 2 sin(1) n t 19 小阻尼情况小阻尼情况 因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振因此系统呈现为一种衰减形式的等周期振 动形式。动形式。 20 小阻尼情况小阻尼情况 单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况单自由度粘性阻尼系统在小阻尼情况 下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。下的衰减振动是我们最为关心的振动形式。 这种衰减振动具有下列特性：这种衰减振动具有下列特性： （1）振幅衰减）振幅衰减 由前面的解可以看出，振幅不再是常由前面的解可以看出，振幅不再是常 量，而是以几何级数量，而是以几何级数 快速衰减快速衰减; （2）等时性）等

11、时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置系统仍以相同的周期通过平衡位置; nt Ae 21 小阻尼情况小阻尼情况 （3）振动频率变小，周期变长）振动频率变小，周期变长 此时系统振动的频率和周期为：此时系统振动的频率和周期为： 2 2 2 1, 1 dnd n T 因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系因此：衰减振动的固有频率比无阻尼系 统的固有频率小，振动周期变大，但影响统的固有频率小，振动周期变大，但影响 不大，特别是当阻尼很小（不大，特别是当阻尼很小（ 1）时，可）时，可 以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。 22 对数衰减率对数衰减率 振幅衰减的快慢程度可用相邻振

12、幅振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。表示，称为对数衰减率。 23 对数衰减率对数衰减率 利用前面给出的解利用前面给出的解 2 sin(1) nt n xAet 可得到衰减率为可得到衰减率为 () 1 n n d nd t T i t T i xAe e xAe 对数衰减率为对数衰减率为 2 2 ln 1 nd T d 24 对数衰减率对数衰减率 若用若用X0表示系统最初的振幅，经过表示系统最初的振幅，经过n次循环次循环 后的振幅为后的振

13、幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为，则对数衰减率又可以表示为 n X X n 0 ln 1 d 证明：证明： 011 12 n n XXX XXX 相乘得相乘得 0101 12 nn nn XXXX XXXX 证明：证明： 相乘得相乘得 25 对数衰减率对数衰减率 则则 0 lnln n X nn X d 即即 n X X n 0 ln 1 d 对数衰减率对数衰减率 1 lnln i i x x d 0 1 ln n X nX nd T 2 2 1 则则 26 1.3 单自由度系统强迫振动单自由度系统强迫振动 设激励为设激励为F(t)=F0sin t，这，这 里里 为激振频率，利用牛顿定为激振

14、频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比律并引入阻尼比 可得到可得到 2 0 2sin nn F xxxt m 27 非齐次方程的特解非齐次方程的特解 齐次方程的通解上节已经给出。设其特解为齐次方程的通解上节已经给出。设其特解为: 0 sin() p xXt 代入方程确定系数代入方程确定系数X0和和 为：为： 0 0 222 / , (1)(2) Fk X rr 2 2 arctan 1 r r 其中：其中： n r 为频率比。为频率比。 28 稳态响应性质稳态响应性质 1. 稳态响应稳态响应xp=X0sin( t )的性质的性质 （1）在谐和激振条件下）在谐和激振条件下,响应也是谐和的响应也是谐和的

15、,其其 频率与激振频率相同频率与激振频率相同; （2）谐和激励强迫振动的振幅）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位角和相位角 决定于系统本身的物理性质和激振力的大小决定于系统本身的物理性质和激振力的大小 和频率，与初始条件无关和频率，与初始条件无关; 29 稳态响应性质稳态响应性质 2. 幅频特性曲线幅频特性曲线 对于稳态响应，定义动力放大系数对于稳态响应，定义动力放大系数R为为 响应的振幅响应的振幅X0与最大干扰力与最大干扰力F0所引起的静所引起的静 位移的比值：位移的比值： 以以 为参数，画出为参数，画出R-r 曲线即幅频特性曲线即幅频特性 曲线，表明了阻尼和激振频率对响应幅值曲线，表明了阻尼

16、和激振频率对响应幅值 的影响。的影响。 0 222 0 1 / (1)(2) X R Fk rr 30 稳态响应性质稳态响应性质 R r 31 1.4 两个自由度系统的振动两个自由度系统的振动 单自由度系统振动问题，在我们所讨论的单自由度系统振动问题，在我们所讨论的 范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是范围内是线性定常方程。而多自由度系统则是 二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在二阶多元联立微分方程组，各广义坐标间存在 相互相互“耦合耦合”现象。现象。 所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于所谓耦合，就是变量之间互相联系。由于 这种耦合，使微分方程的求解变得非常困难。这种耦合，使微分方程

17、的求解变得非常困难。 因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容因此，分析多自由度系统振动问题的重要内容 之一就是如何将方程之一就是如何将方程“解耦解耦”，然后按单自由，然后按单自由 度的分析方法求解。度的分析方法求解。 两自由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。 32 运动微分方程运动微分方程 坐标原点仍取在静平衡位置坐标原点仍取在静平衡位置 写成矩阵形式写成矩阵形式 1111111 )(xcxktFxm 212212 ()()kxxc xx 2323222 )(xcxktFxm 212212 ()()kxxc xx )()tFxKxCxM 33 运动微分方程运动

18、微分方程 式中：式中： 2221 1211 mm mm M 2 1 0 0 m m 2221 1211 cc cc C 322 221 ccc ccc 2221 1211 kk kk K 322 221 kkk kkk 2 1 x x x )( )( )( 2 1 tF tF tF 34 运动微分方程运动微分方程 M称为系统的质量矩阵，称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩称为刚度矩 阵，阵，C称为阻尼矩阵，称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，为系统的位移列阵， F(t)为外激励列阵。为外激励列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可对于其它形式的两自由度振动系统同样可 得到相应的质量矩阵、刚度矩阵

19、和阻尼矩阵。得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵由于矩阵M、 K、 C的非对角线元素不的非对角线元素不 为为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立，所以振动微分方程是互相耦合的非独立 方程。方程。 35 自由振动问题自由振动问题 0MxKx 11 22 t xc xe xc 112 22 t xc xe xc 1112212 22222 0 0 0 tt mckkkc ee mckkc 111222 2222 0 0 0 cmkkk mkkc 36 自由振动问题自由振动问题 特征方程特征方程0 2 KM 特征根特征根纯虚根纯虚根 上述方程有非零解，要求系数矩阵的行列式为零上述方程

20、有非零解，要求系数矩阵的行列式为零 22 37 自由振动问题自由振动问题 2111222 2 22222 0 0 0 cmkkk mkkc 2 1211 1211 2 kkm cc k 2 1212 2221 2 kkm cc k 11 12 c c 满足上述方程的满足上述方程的特征向量特征向量 1111222 1 22212 0 0 0 cmkkk mkkc 38 自由振动问题自由振动问题 振型：振型： 第一阶振型第一阶振型 第二阶振型第二阶振型 111 2 1211212 1 ()/ c C kkmkc 212 2 1212222 1 () c C kkmkc 方程的解方程的解 1122

21、11122 11122122 2 itititit x a C ea C ea C eaC e x 39 1.5 非线性振动概述非线性振动概述 非线性特性非线性特性 材料非线性材料非线性 振幅过大超出材 料线弹性范围 几何非线性几何非线性 位移或变形过大使结 构几何形状显著变化 非线性阻尼非线性阻尼 材料内摩擦阻尼、流体 阻尼等都是非线性阻尼 负刚度负阻尼负刚度负阻尼 有些情况下会存在 负刚度和负阻尼 非线性系统非线性系统 当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元当真实系统弹性元件的力与位移之间的关系超出线性范围，或阻尼元 件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统

22、的运动微分方程不件的力与运动速度之间的关系不满足作线性关系时，系统的运动微分方程不 能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可能用线性微分方程描述，称系统为非线性系统。当真实系统作小运动时，可 忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。忽略系统的高阶微小量，近似地将系统看作线性系统。 40 非线性振动概述非线性振动概述 非线性振动的研究方法非线性振动的研究方法 非线性振动研究的方法有：非线性振动研究的方法有：定性分析定性分析、定量分析定量分析和和数值分数值分 析析方法。方法。 非线性振动研究的内容非线性振动研究的内容 非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动

23、系统非线性振动研究的基本内容之一就是建立对真实振动系统 的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。的计算方法，改进计算精度，探索某些特殊现象的规律。 定性法定性法 研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时研究已知解的领域内系统的一般稳定性特征，而不是运动的时 间历程。通常采用间历程。通常采用几何方法几何方法描述系统的运动特征。描述系统的运动特征。 定量法定量法 通过一些渐近的通过一些渐近的解析方法解析方法研究系统运动的时间历程。研究系统运动的时间历程。 数值法数值法 通过通过数值计算数值计算方法研究系统非线性振动的规律和现象。方法研究系统非线性振动的规律和现象。 41 非

24、线性振动与线性振动的区别非线性振动与线性振动的区别 线性振动线性振动 非线性振动非线性振动 自由振动频率与初始条件无关自由振动频率与初始条件无关 自由振动频率与振幅有关自由振动频率与振幅有关 强迫振动频率与激励力频率相强迫振动频率与激励力频率相 等等 强迫振动频率成分复杂，有时强迫振动频率成分复杂，有时 与激励频率不相等的频率成分与激励频率不相等的频率成分 突出突出 稳定平衡位置附近的运动是稳稳定平衡位置附近的运动是稳 定的定的 稳定平衡位置附近具有多种稳定平衡位置附近具有多种 稳定和不稳定运动稳定和不稳定运动 强迫振动中每个激励频率强迫振动中每个激励频率 有一个对应的振幅有一个对应的振幅 强

25、迫振动中幅频与相频曲线强迫振动中幅频与相频曲线 发生弯曲，产生多值性发生弯曲，产生多值性 叠加原理成立叠加原理成立 叠加原理不成立叠加原理不成立 42 典型微分方程类型典型微分方程类型 l g pxp dt xd 22 2 2 0sin 单摆方程单摆方程 库仑（库仑（Coulomb)Coulomb)摩擦振动方程摩擦振动方程 0)sgn( 2 2 kx dt dx N dt xd m 43 典型微分方程类型典型微分方程类型 l g pxp dt xd 22 2 2 0sin 单摆方程单摆方程 库仑（库仑（Coulomb)Coulomb)摩擦振动方程摩擦振动方程 0)sgn( 2 2 kx dt dx N dt xd m 44 典型微分方程类型典型微分方程类型 范德波（范德波（van der Polvan der Pol）方程）方程 0)1 ( 22 2 2 x dt dx x dt xd 希尔希尔(HiIl)(HiIl)方程方程 0)( 1 tp ll g 45 单摆单摆 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 非线性方程非线性方程 式中角频率： sin 2 2 m