江苏省盐城市阜宁中学2015-2016学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

1、2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在复平面内，复数z=1+i2015（i为虚数单位）对应点在第象限2抛物线y=2x2的焦点坐标是3设命题p的否定是“”，则命题p是4已知复数z满足（1+i）z=1+5i（i为虚数单位），则|z|=5双曲线一个焦点F（5，0）到渐近线的距离为4，则其渐近线方程为6给定两个命题p，q，p是q的必要而不充分条件，则p是q的7曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是8设mR，命题p：方程表示双曲线，命题q：xR，x2+mx+m0若命题pq为真命题，则m取值范围是9已知过圆

2、C：x2+y2=R2上一点M（x0，y0）的切线方程为，类比上述结论，写出过椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程10设P是椭圆上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，且，则椭圆离心率为11二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3；四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，则猜想其四维测度W=12设，若对任意恒成立，则m的取值范围是13设a，b都为正实数且a+b=1，则的最小值为14已知函数f（x）=ex1+x2（e为自然对数的底数）g（x）=x2axa+3若存在

3、实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，则实数a的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1（1）求证：平面PAD平面PCD；（2）求直线AC与直线PB所成角的余弦值16（1）已知不等式ax2+bx10解集为x|3x4，解关于x的不等式；（2）已知函数，求f（x）的值域17某唱片公司要发行一张名为春风再美也比不上你的笑的唱片，包含新花好月圆、荷塘月色等10首创新经典歌曲该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进

4、行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3x）x2成正比的关系，当x=2时y=32又有（0，t，其中t是常数，且t（0，2（）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；（）求总利润y的最大值及相应的x的值18（1）设a，b，c均为正数，求证：中至少有一个不小于2；（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0（其中f（x）是f（x）导函数）已知g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）nN*（1）求g1（x），g2（x）；（2）猜想gn（x）表达式，并用数学归纳法证明19已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆方程；（2）过R（1，1）作直线l与椭圆交于A

5、、B两点，若R是线段AB中点，求直线l方程；（3）过椭圆右焦点作斜率为k的直线l1与椭圆交于M、N两点，问：在x轴上是否存在点P，使得点M、N、P构成以MN为底边的等腰三角形，若存在，求出P点横坐标满足的条件；若不存在，说明理由20已知函数f（x）=alnx+（xc）|xc|，a0，c0（1）当a=，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）对x（c，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1）、Q（x2，f（x2）两处的切线分别为l1、l2若x1=，x2=c，且l1l2，求实数c的最小值2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二

6、（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1在复平面内，复数z=1+i2015（i为虚数单位）对应点在第三象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用虚数单位i的运算性质化简，求出z的坐标得答案【解答】解：z=1+i2015=1+i4503i3=1i，复数z=1+i2015对应点的坐标为（1，1），在第三象限故答案为：三2抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，）【考点】抛物线的简单性质【分析】先将方程化成标准形式，即，求出 p=，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y=2x2的方程即 x2=y，p=，故焦点坐标为

7、（0，），故答案为：（0，）3设命题p的否定是“”，则命题p是x0，【考点】命题的否定【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p的否定是“”：则命题为：x0，故答案为：x0，4已知复数z满足（1+i）z=1+5i（i为虚数单位），则|z|=【考点】复数求模【分析】把已知等式变形，求出z，再由模的运算得答案【解答】解：（1+i）z=1+5i，|z|=故答案为：5双曲线一个焦点F（5，0）到渐近线的距离为4，则其渐近线方程为y=x【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得c=5，即a2+b2=25，运用点到直线的距离公式可得b=4，a=3

8、，即可得到所求双曲线的渐近线方程【解答】解：由题意可得c=5，即a2+b2=25，焦点F（5，0）到渐近线y=x的距离为4，可得=4，解得b=4，a=3，可得渐近线方程y=x，即为y=x故答案为：y=x6给定两个命题p，q，p是q的必要而不充分条件，则p是q的充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据逆否命题的等价性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若p是q的必要而不充分条件，则q是p的必要而不充分条件，即p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要条件7曲线y=x+sinx在点（0，0）处的切线方程是y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析

9、】求函数的导数，利用导数的几何意义求切线斜率，然后利用点斜式方程求切线方程【解答】解：因为y=x+sinx，所以y=1+cosx，所以当x=0时，y=1+cos0=1+1=2，即切线斜率k=2，所以切线方程为y0=2（x0），即y=2x故答案为：y=2x8设mR，命题p：方程表示双曲线，命题q：xR，x2+mx+m0若命题pq为真命题，则m取值范围是（1，0）【考点】复合命题的真假【分析】求出命题的p，q成立的等价条件进行求解即可【解答】解：若方程表示双曲线，则（m+1）（m1）0，即1m1即p：1m1，若：xR，x2+mx+m0，则判别式=m24m0，即m4或m0，即q：m4或m0，若命题p

10、q为真命题，则命题p，q都为真命题，即，得1m0，故答案为：（1，0）9已知过圆C：x2+y2=R2上一点M（x0，y0）的切线方程为，类比上述结论，写出过椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程=1【考点】类比推理【分析】由过圆x2+y2=R2上一点的切线方程x0x+y0y=R2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得过椭圆上一点P（x0，y0）的切线方程为=1故答案为： =110设P是椭圆上一点，过椭圆中心作直线交椭圆于A、B两点，直线PA、PB的斜率分别为k1，k

11、2，且，则椭圆离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】设A（m，n），B（m，n），又设P（x0，y0），分别代入椭圆方程，作差，再由直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：设A（m，n），B（m，n），即有+=1，又设P（x0，y0），即有+=1，两式相减可得， +=0，即有=，则k1=，k2=，k1k2=，即为a=2b，c=a，即有离心率为e=故答案为：11二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3；四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，则猜想其四维测度W=2r4【考点

12、】类比推理【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W=V，从而求出所求【解答】解：二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2，观察发现S=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3，观察发现V=S四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，猜想其四维测度W，则W=V=8r3；W=2r4；故答案为：2r412设，若对任意恒成立，则m的取值范围是，+）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；即h（x）=f（x）x在（0，+）上单调递减；h（x）0，求出m

13、的取值范围【解答】（）对任意ba0，1恒成立，等价于f（b）bf（a）a恒成立；设h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），则h（b）h（a）h（x）在（0，+）上单调递减；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=（x）2+（x0），m；对于m=，h（x）=0仅在x=时成立；m的取值范围是，+）13设a，b都为正实数且a+b=1，则的最小值为【考点】不等关系与不等式【分析】换元可化问题为正数s+t=4，求+2的最小值，代入由基本不等式可得【解答】解：令a+1=s，b+2=t，则a=s1，b=t2，由题意可得s，t为正数且s1+t2=1，即s+t=4，=+=s2+t4+=+2=（+）（s

14、+t）2=（5+）2（5+2）2=当且仅当=即s=且t=即a=且b=时取等号故答案为：14已知函数f（x）=ex1+x2（e为自然对数的底数）g（x）=x2axa+3若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，则实数a的取值范围是2，3【考点】函数与方程的综合运用【分析】求出函数f（x）的导数，可得f（x）递增，解得f（x）=0的解为1，由题意可得x2axa+3=0在0x2有解，即有a=（x+1）+2在0x2有解，求得（x+1）+2的范围，即可得到a的范围【解答】解：函数f（x）=ex1+x2的导数为f（x）=ex1+10，f（x）在R上递增，由f（1）=0，可得f（

15、x1）=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0且|x1x2|1，即为g（x2）=0且|1x2|1，即x2axa+3=0在0x2有解，即有a=（x+1）+2在0x2有解，令t=x+1（1t3），则t+2在1，2递减，2，3递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是2，3故答案为：2，3二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1（1）求证：平面PAD平面PCD；（2）求直线AC与直线PB所成角的余弦值【考点

16、】平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角【分析】（1）由底面为直角梯形可得CDAD，由PA底面ABCD可得PACD，故而CD平面PAD，推出平面PAD平面PCD；（2）建立空间直角坐标系，求出的坐标，代入向量的夹角公式计算异面直线所成的角【解答】证明：（1）ABCD，DAB=90，CDAD，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又PA平面PAD，AD平面PAD，ADPA=A，CD平面PAD，CD平面ACD，平面PAD平面PCD（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1）=（1，1，0），=（0，2，1），=2，|=，|

17、=，cos=直线AC与直线PB所成角的余弦值为16（1）已知不等式ax2+bx10解集为x|3x4，解关于x的不等式；（2）已知函数，求f（x）的值域【考点】其他不等式的解法【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系进行转化求解即可（2）根据基本不等式的性质进行转化求解【解答】解：（1）不等式ax2+bx10解集为x|3x4，3，4是对应方程ax2+bx1=0的两根，且a0，则34=12，即a=，3+4=12a=7，则b=，则不等式式等价为0，即0，得12x，即不等式的解集为（12，（2）f（x）=x+=x2+2，若x2，则x20，则f（x）=x2+22+2=2+8=10，当且仅

18、当x2=，即（x2）2=16，x2=4，x=6时取等号，若x2，则x20，则f（x）=x2+222=28=6，当且仅当（x2）=，即（x2）2=16，x2=4，x=2时取等号，综上f（x）10或f（x）6，即函数的值域为（，610，+）17某唱片公司要发行一张名为春风再美也比不上你的笑的唱片，包含新花好月圆、荷塘月色等10首创新经典歌曲该公司计划用x（百万元）请李子恒老师进行创作，经调研知：该唱片的总利润y（百万元）与（3x）x2成正比的关系，当x=2时y=32又有（0，t，其中t是常数，且t（0，2（）设y=f（x），求其表达式，定义域（用t表示）；（）求总利润y的最大值及相应的x的值【考点

19、】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用【分析】（）设出正比例系数，把x=2，y=32代入函数关系式，求得正比例系数，则函数解析式可求，再由（0，t求解分式不等式得x得取值范围；（）求出利润函数的导函数，由导函数的零点在不在定义域范围内研究原函数的单调性，并求函数的最值【解答】解：（）设y=k（3x）x2，当x=2时，y=32，k=8，则y=24x28x3，（0，t，即，解得：0x3解得：或x3；（）由y=24x（x2）=0，得x=0或x=2若，即1t2时，f（x）在（0，2）单调递增，在（2，）上单调递减ymax=f（2）=32；若，即0t1时，f（x）0，f（x）在（0，）

20、上为增函数综上述：当1t2时，ymax=f（2）=32；当0t1时，18（1）设a，b，c均为正数，求证：中至少有一个不小于2；（2）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0（其中f（x）是f（x）导函数）已知g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）nN*（1）求g1（x），g2（x）；（2）猜想gn（x）表达式，并用数学归纳法证明【考点】数学归纳法；反证法与放缩法【分析】（1）假设都小于2，则a+b+c+6，利用基本不等式可得：a+b+c+6，得出矛盾，即可证明；（2）：f（x）=，（x0）g（x）=xf（x）=，g1（x）=g（x）=，g2（x）=g（g1（x

21、）=猜想：gn（x）=利用数学归纳法证明即可得出【解答】（1）证明：假设都小于2，则a+b+c+6，而a+b+c+6，矛盾，因此假设不成立，故中至少有一个不小于2；（2）解：f（x）=，（x0）g（x）=xf（x）=，g1（x）=g（x）=，g2（x）=g（g1（x）=猜想：gn（x）=下面：利用数学归纳法证明：当n=1时，g1（x）=g（x）=，成立假设n=k时，gk（x）=则n=k+1时，gk+1（x）=g（gk（x）=，当n=k+1时也成立，nN*，gn（x）=19已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆方程；（2）过R（1，1）作直线l与椭圆交于A、B两点，若R是线段AB中点，求直线l方程

22、；（3）过椭圆右焦点作斜率为k的直线l1与椭圆交于M、N两点，问：在x轴上是否存在点P，使得点M、N、P构成以MN为底边的等腰三角形，若存在，求出P点横坐标满足的条件；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用作差法和中点坐标公式和直线的斜率公式，计算即可得到所求直线的方程；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），l1：y=k（x1），代入椭圆的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，设P（m，0），两直线垂直的条件：斜率之积为1，计算即可得到m的范围【解答】解：（1）由题意可得b=，e=，又a2c2=b2=3，解得a=2，c=1，即有椭圆的方程为+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，相减可得3（x1x2）（x1+x2）+4（y1y2）（y1+y2）=0，由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得AB的斜率为k=，即有直线的方程为y1=（x1），即为3x+4y7=0；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），l1：y=k（x1），代入椭圆的方程，可得（3