2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4讲 正、余弦定理及解三角形试题2

1、2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4讲 正、余弦定理及解三角形试题22022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4讲 正、余弦定理及解三角形试题2年级：姓名：第 11 页 共 11 页第四章三角函数、解三角形第四讲正、余弦定理及解三角形1.2021湖北省四地七校联考在一幢20 m高的楼顶测得对面一座塔吊顶的仰角为60,塔基的俯角为45,如图4-4-1,那么这座塔吊的高是()a.20(1+33) m b.20(1+3) mc.10(6+2) m d.20(6+2) m 图4-4-12.2021南京市学情调研在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c.若2bc

2、os c2a-c,则角b的取值范围是()a.(0,3b.(0,23c.3,)d.23,)3.2021贵阳市四校第二次联考已知abc的内角a,b,c的对边分别是a,b,c,若bsina=2csin b,cosb=14,b=3,则abc的面积为()a.915b.91516c.31516d.9164.2020南昌三模在abc中,角a,b,c所对应的边分别为a,b,c,若ca+b+ba+c=1,则下列说法不一定成立的是()a.abc可能为正三角形b.角a,b,c成等差数列c.角b可能小于3d.b+c为定值5.2020大同市高三调研在abc中,b=4,bc边上的高等于13bc,则sinbac=.6.20

3、21洛阳市统考在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若2c-ba=sin ctana-cos c.(1)求a;(2)若b=32,c=2,点d为bc的中点,求a及ad.7.2020长春市质检abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,a=btana,ab.(1)求证:abc是直角三角形.(2)若c=10,求abc的周长的取值范围.8.2020惠州市模拟已知abc的内角a,b,c满足sina-sinb+sincsinc=sinbsina+sinb-sinc.(1)求角a;(2)若abc的外接圆的半径为1,求abc的面积s的最大值.9.2021江西重点中学第二次联考在abc中,角a,

4、b,c所对的边分别为a,b,c,若sin bsinc=3sin a,abc的面积为332,a+b=33,则c=()a.21b.3c.21或3d.21或310.2021晋南高中联考平面四边形abcd为凸四边形,且a=60,addc,ab=3,bd=2,则bc的取值范围为()a.72,2)b.(72,2)c.(2,7)d.72,7)11.2021福建五校第二次联考锐角abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c且a=1, bcosa-cos b=1,若a,b变化时,sin b-2sin2a存在最大值,则正数的取值范围是()a.(0,33)b.(0,12)c.(33,22)d.(12,1)12.20

5、20四川五校联考在abc中,角a的平分线交bc于点d,bd=2cd=2,则abc面积的最大值为()a.32b.22c.3d.413.2020陕西省百校联考在abc中,d为ac的中点,若ab=463,bc=2,bd=5,则cosabc=,sinc=.14.2020福建宁德模拟海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4-4-2所示的海洋蓝洞的口径(即a,b两点间的距离),现取两点c,d,测得cd=80 m,adb=135,bdc=dca=15,acb=120,则图4-4-2中海洋蓝洞的口径为m.图4-4-215.2

6、021陕西百校联考已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.(1)若a2,且csin 2a=4cos asinc,求a的值;(2)若sin a,sinb,sinc成等差数列,求b的最大值.16.在abc中,角a与角b的内角平分线交于点i,且5+4cos(a+b)=4sin2c.(1)求角c的大小;(2)若abc的外接圆半径为4,求abi周长的最大值.17.在abc中,ab=4,bc=3,则当函数f(b)=cos 2b-cos(b+3)-3sin(b+3)+5取得最小值时,ac=()a.13b.23c.4d.218.在abc中,若sin(2-b)=cos 2a,则ac-bcab的取值范围

7、为()a.(-1,12)b.(13,12)c.(12,23)d.(13,23)19.2020洛阳市联考已知a,b,c分别是abc的内角a,b,c的对边,且满足(a+b+c)(sin b+sinc-sin a)=bsinc.(1)求角a的大小;(2)设a=3,s为abc的面积,求s+3cos bcosc的最大值.答 案第四讲正、余弦定理及解三角形1.b由题图知be的长度即所求塔吊的高.易知四边形abcd为正方形,cd=bc=ad=20 m.在rtdce中,edc=60,ec=cdtanedc=203(m),这座塔吊的高be=bc+ce=(20+203) =20(1+3)(m).故选b.2.a由2

8、bcos c2a-c及余弦定理,得2ba2+b2-c22ab2a-c,整理,得a2+c2-b2ac1,即2cos b1,所以cos b12,所以b(0,3,故选a.3.b因为bsina=2csin b,所以由正弦定理得a=2c,因为cos b=14,b=3,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得9=4c2+c2-22cc14,解得c=32,所以a=3.因为b(0,),所以sin b=1-cos2b=154,所以abc的面积sabc=12acsin b=12332154=91516,故选b.4.b由ca+b+ba+c=1,得c(a+c)+b(a+b)(a+b)(a+c)=1,即c2

9、+b2+ac+ab=a2+bc+ab+ac,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=12,由于0a,所以a=3,所以b+c=23为定值.当且仅当a=b=c=3时,abc是正三角形,故abc可能为正三角形.若角a,b,c成等差数列,则 2b=a+c=3+c,又b+c=23,所以b=c=3,即当且仅当b=c=a=3时,角a,b,c成等差数列,故角a,b,c可能成等差数列,故b选项错误.因为b+c=23,所以角b可能小于3.故选b.5.31010解法一记内角a,b,c的对边分别为a,b,c,作adbc交bc于点d,则ad=13a,abc的面积s=12a13a=12a

10、csin b,可得a=322c.由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得b=102c.由正弦定理得322csinbac=102csinb,所以sinbac=31010.解法二作adbc交bc于点d,则ad=13bc,设bc=3,则ad=1.由b=4,可知bd=1,则dc=2,ac=5.由正弦定理得sinbacsin4=35,所以sinbac=3522=31010.6.(1)由题意及正弦定理,原式可化为2sinc-sin b=sin a(sin ctana-cos c),即2sin c-sin (a+c)=sin a(sin ctana-cos c),所以2sin c-sin acosc

11、-cos asinc=sin csin2acosa-sin acosc,化简可得2sin c-cos asinc=sin csin2acosa,因为sin c0,(此条件不能省略)所以sin2acosa+cos a=2,即sin2a+cos2a=2cos a,所以cos a=22,又0ab,知ab,所以b+a+2=,即a+b=2,所以abc是直角三角形.(2)abc的周长l=10+10sin a+10cos a=10+102sin(a+4),由ab可知,4a2,因此22sin(a+4)1,即20l10+102.故abc的周长的取值范围为(20,10+102).8.(1)记abc的内角a,b,c

12、的对边分别为a,b,c,则由正弦定理和已知条件,得a-b+cc=ba+b-c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=12,0a,a=3.(2)记abc外接圆的半径为r,由正弦定理得asina=2r,得a=2rsin a=2sin3=3,由余弦定理得a2=3=b2+c2-bc2bc-bc=bc,即bc3(当且仅当b=c时取等号),故s=12bcsin a12332=334(当且仅当b=c时取等号).即abc的面积s的最大值为334.9.d因为sin bsinc=3sin a,sinb0,所以sin c=3sinasinb=3ab,又abc的面积为332,所

13、以12absin c=32a2=332,解得a=3.又a+b=33,所以b=23,sin c=32,当0c,所以cos c=12或cos c=-12.当cos c=12时,c=a2+b2-2abcosc=3,当cos c=-12时,c=a2+b2-2abcosc=21.故选d.10.d在abd中,设ad=x,则由余弦定理得bd2=ab2+ad2-2abadcosa,即x2-3x-1=0,得ad=x=3+72.已知adcd,a=60,延长ab,dc交于点e,所以在rtade中,e=30,ae=2ad=3+7,因为ab=3,所以be=7,所以当bccd时,bc最短,此时,在rtbce中,bc=12

14、be=72.在bde中,bd=2,be=7,所以bcbe=7,所以bc的取值范围是72,7).故选d.11.aa=1,bcos a-acosb=a,由正弦定理得sin bcosa-sin acosb=sin a,即sin(b-a)=sin a,b-a=a或b-a=-a,b=2a或b=(舍).abc为锐角三角形,0a2,0b=2a2,2a+b=3a,解得6a4.解法一sin b-2sin2a=sin 2a-(1-cos 2a)=sin 2a+cos 2a-=1+2sin(2a+)-(其中tan =).32a2,要使sin b-2sin2a取得最大值,只需存在,满足2a+=2,06,tan 0=t

15、an tan 6,即033.故选a.解法二sin b-2sin2a=sin 2a-2sin2a,令f(a)=sin 2a-2sin2a(6a4),则f(a)=2cos 2a-2sin 2a=2cos 2a(1-tan 2a).当tan 2a0,f(a)单调递增,当tan 2a1时,f(a)0,ac0,所以cos b=38(ca+ac)-14382caac-14=12,当且仅当ca=ac,即a=c时,“=”成立.因为cos b1,所以cos b12,1),因为b(0,),(角b的范围要写上)所以b(0,3,所以b的最大值为3.16.(1)a+b+c=,a+b=-c,cos(a+b)=-cos c

16、.5+4cos(a+b)=4sin2c,5-4cos c=4(1-cos2c),即4cos2c-4cos c+1=0,解得cos c=12,又0c,c=3.(2)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,abc的外接圆半径为4,由正弦定理得csinc=8.c=3,c=43,abc+bac=23,又角a与角b的内角平分线交于点i,abi+bai=3,aib=23.设abi=,则03,bai=3-.在abi中,由正弦定理bisin(3-)=aisin=absinaib=8,得bi=8sin(3-),ai=8sin ,abi的周长为43+8sin(3-)+8sin =8sin(+3)+43.0

17、3,3+323,当+3=2,即=6时,abi的周长取得最大值,为8+43,abi周长的最大值为8+43.17.a由题意知函数f(b)=2cos2b-1-2cos(b+3-3)+5=2cos2b-2cos b+4=2(cos b-12)2+72,所以当cos b=12时,函数f(b)取得最小值,此时,由余弦定理,得ac=ab2+bc2-2abbccosb=42+32-24312=13.18.b因为sin(2-b)=cos 2a,所以cos b=cos 2a,又a,b,c为abc的内角,所以b=2a,a3.由正弦定理得ac-bcab=sinb-sinasinc=sinb-sinasin(a+b)=sin2a-sinasinacos2a+cosasin2a=2sinacosa-sinasina(2cos2a-1)+2sinacos2a=2cosa-14cos2a-1=12cosa+1,由0b,0c,得02a,0-3a,得0a3,故12cos a1,所以ac-bcab的取值范围为(13,12),故选b.19.(1)(a+b+c)(sin b+sinc-si