工程流体力学 第2章 流体静力学

1、教学内容教学内容 第第0 0章章 绪论绪论 第1章 流体的主要物理性质 第2章 流体静力学 第3章 流体流动的基本方程 第4章 势流理论 第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动 第2章 流体静力学 1. 流体处于绝对静止或相对静止状态下的 力学规律。 2. 静止流体内部压强的分布规律，静止流 体对物体表面的作用力的计算方法。 流体处于静止时，表面力中粘性力可 不予考虑,仅考虑静压强。 主要研究内容： 作用于静止流体上的力的平衡问题。 第2章 流体静力学 2.1 静止流体的压强特点 只有法向应力的作用，亦即压应力或压强。 属于表面力，作用于流体微团表面

2、，具有传递性。 （1）压强的作用方向沿作用面的内法线方向 静止流体内部，切应力为零， 只有沿作用面内法线方向的应力 压强 0 lim F A A p 第2章 流体静力学 （2）压强的大小与作用面的方向无关 p y z x py p p dz dy dx A O 图 .7 1微分四面体平衡 2/ 2/ 2/ dxdypP dxdzpP dydzpP SpP zz yy xx nn 斜 面： YOZ平面： XOZ平面： XOY平面： 0)cos(0XxnPPF nxx 11 co0 26 s() xnx Snpdydzpfdxdydxz X , fx 质量力和单位质量力 取流场中微元四面体，做受力

3、分析： cos 2 () 1 Sn xdydz 第2章 流体静力学 111 0 226 xnx pdydzpdydzfdxdydz 0 3 1 dxfpp xnx 对于无限小的流体质点，dx0, 即可得： ppp nx pppp zyx 同理，可得： 在静止流体中，压强的大小与作用面的方向无关！ 沿任意方向压强的变化，可以用下式来表示： ppp dpdxdydz xyz 第二次课 第2章 流体静力学 2.2 静止流体平衡方程 dx dy dz p p pdx x y z x o 在静止流体内部取六面体，做x轴 方向受力分析： 表面力： x轴正方向 x轴负方向 质量力： x轴正方向上的分量 pd

4、ydz () p pdx dydz x x f dxdydz x轴方向力的平衡方程为： ()0 x p f dxdydzpdydzpdx dydz x 第2章 流体静力学 整理可得： x p f x 同理： z p f z y p f y 写成矢量式：p f 上式称为静止流体平衡方程静止流体平衡方程，或欧拉平衡微分方程 （Euler，1755）。 方程式的物理意义： 在静止流体中，作用在单位体积流体上的质 量力与压强合力（压强梯度）平衡。 在静止流体内部，如果压强在某个方向有变 化，即压强有梯度，必是由于那个方向有质 量力分量存在。 第2章 流体静力学 左式中，第一、第二及第三式两端分别乘以d

5、x 、dy及dz，然后等号的左边和右边分别相加，并 考虑到 可得： ppp dpdxdydz xyz () xyz dpf dxf dyf dz z p f y p f x p f z y x 该方程是流体静力学基本方程的另一种形式，也称为压差 公式（直角坐标系下）。 欧拉平衡微分方程既适用于不可压缩流体，也适用于可压 缩流体。它既适用于绝对静止的流体，也适用于相对静止的 流体。 第2章 流体静力学 圆柱坐标系中的压差公式： () rz rf ddpf drf dz 等压面 将连通的同种流体内部压强相等的点连接起来 所得到的曲面。 constxyxp),( 0dzfdyfdxfdp zyx 0

6、dzfdyfdxf zyx 0 lf d质量力与等压面垂直 在等压面上，即dp=0 则： 可得： 写成矢量式： 第2章 流体静力学 图(a) 当流体处于绝对静止时，等压面是水平面。 图(b) 当流体在作相对运动时，此时等压面是倾斜的平面。 图(c) 两种重度不同互不相混的液体在同一容器中处于静止状 态。两种液体之间的分界面也是等压面。 A g (a) (b) (c) g 1 2 图 .3 2质量力与等压面 a 质量力与等压面 第2章 流体静力学 2.3 重力场中静止流体内部的压强 2.3.1 不可压缩流体 . h z p0 B gfff yx z ; 0; 0 gdzdzfdyfdxfdp z

7、yx 当质量力为重力时： 由压差公式得： 在等压面上，dp=0，则dz=0, 故等压面方程为： z=常数 即重力场中，水平面为等压面。 对为常数的不可压缩流体，积分压差公式： Cgzp 第2章 流体静力学 设液体表面压强为p0，即z=0时，p=p0，故积分常数 C=p0，由此可得： 式中：p 静止液体内某点的压强； p0 液体表面压强； z 垂直坐标，水面处z=0，向上为正。 0 pgzp 据此，水面下B点的压强P为：z=-h 0 ppgh 可见，液体内部的力由液面压力和液柱自身产生的重力两 部分组成。 流体静力学基本方程流体静力学基本方程 第2章 流体静力学 静水压强等值传递帕斯卡定律 如果

8、液面压强 p0 有所增减 p0，那么内部压强p 亦相应地有所增减 p，且 p = p0。 关于压强的几点说明： （1）压强的表示方法 以大气压 为基准相对压强（表压） 以完全真空为基准绝对压强 ea ppp a ppgh 相对压强为负值真空度 va ppp e p p v p a p 第2章 流体静力学 绝对压强 真空度 p pv v 绝对压强 大气压强 绝对真空 压强值 表压强（相对压强）pe a pp a p a pp 0p 各种压强之间的关系： （2）压强的大小只与深度有关，沿深度呈线性分布。 深度相同，底面积相同，产生的压力就相同，与 液体多少无关。 第2章 流体静力学 （3）压强的度

9、量单位 a.从压强的基本定义出发，用单位面积上的力来表示，在 国际单位制（SI）中以N/m2来表示或者是帕（帕斯卡），用 Pa表示。 工程单位中规定大气压用符号at表示（海拔200m处正常大 气压）为1kgf/cm2，即1at= 1kgf/cm2，称为工程大气压。 b.以大气压来表示。国际上规定标准大气压用符号atm 表示(温度为0C时海平面上的压强)。 5 11.01325 10atmPa 4 19.81 10atPa Patm Pat 第2章 流体静力学 c.以液柱高度来表示。通常用水柱高度或者汞柱高度，单 位为mH2O、mmH2O或mmHg。例如一个标准大气压相应的 水柱高度为： 2 2

10、 32 101325N/m 10.33mH O 1000/9.81/ atm P h gkg mm s 水 相应的汞柱高度为 2 332 101325N/m 0.76mHg760mmHg 13.6 10/9.81/ atm P h gkg mm s 汞 一个工程大气压相应的水柱和汞柱高度分别为： 42 2 32 9.81 10 N/m 10mH O 1000/9.81/ at P h gkgmm s 水 735.5mmHg at P h g 汞 第2章 流体静力学 2.3.2 气体压强的分布 1.1.按按不可压缩流体不可压缩流体计算计算 气体的密度很小，对于一般的仪器、设备，由于高 度z有限，

11、重力对气体压强的影响很小，可以忽略， 故可以认为各点的压强相等，即 pC 2 2. .大气层压强的分布大气层压强的分布 大气受重力作用，密度、温度都随高度变化。 标准大气（温度、压强、密度） 对流层、同温层划分，温度变化规律 规定 第2章 流体静力学 （1）对流层标准大气压分布 5.256 101.31 44300 z p （2）同温层 11000 22.6exp 6334 z p 式中，z=011000m，p的单位为Pa 式中，z=1100024000m，p的单位为Pa 第2章 流体静力学 2.4 非惯性坐标系中的静止液体 流体质点随特定坐标系一起运动，质点有加速度，非静 力学问题仍可使用静

12、止流体平衡方程和压差公式。 质量力 = 重力 + 惯性力 2.4.1 等加速直线运动中的相对静止液体 g a a hs h z x A f pa 盛液容器以加速度a作直线运动，液 面与水平面呈角度，建坐标随容器一 起运动，液体相对静止。 物体受与加速度相反方向的惯性力作 用质量力 第2章 流体静力学 g a a hs h A f pa z x 作用于A点上的质量力： ,0, xyz faffg 质量力的合力： 22 fga 质量力与等压面（与水面呈角的平 面族，虚线）垂直，且tan=a/g d()() xyz pf dxf dyf dzadxgdz 由压差公式得： 积分并带入边界条件x=0,

13、z=0, p=pa,可得： ()()(tan) aaa a ppaxgzpgxzpgxz g () asa pg hzpghz =-(h+hs) ！ 相对静止液体和绝对静止液体内的任意一点压强完全相同！ 【例】如图，为了测定运动物体的加速度，在运动物体上装一 直径为d的U形管，测得管中液面差h=0.05m，两管的水平距离 l=0.3m，求运动物体的加速度a。 【解】 选动坐标系Oxyz xyz dpf dxf dyf dz 质量力 x fa 0 y f z fg 图 .10 2物体加速度的测定 第2章 流体静力学 代入压差公式 ()adxgdz dpadxgdz paxgzC 积分 第2章 流

14、体静力学 边界条件1 x =0，z =0，p =0（大气压为相对压强，即表压） C=0 2 0.05 9.807 1.635m/s 0.3 h ag l x = l，z = h，p =0 带入得： 边界条件2 paxgz 带入上式得： 0algh 第2章 流体静力学 2.4.2 等角速度旋转运动中的相对静止液体 r z r pa o 盛液容器以角速度 作旋转运动达到稳定状态，液体与 容器之间处于相对静止状态。取如图所示柱坐标。 液体的离心力质量力 z0 z fg 2 r fr 0f 使用圆柱坐标系下的压差公式得： () rz dpf drrf df dz 2 ()rdrgdz 积分得： 2 2

15、 () 2 r pgzC 第2章 流体静力学 代入边界条件：r=0, z=z0时，p=pa，得 0a Cpgz 22 0 1 () 2 a pprg zz所以压强分布 在等压面上， 2 ()0dprdrgdz 积分得： 2 2 2 r gzC 等压面方程 设自由表面的z坐标为zs，则有边界条件：r=0时，zs=z0 得C=-gz0，则自由表面方程为： 22 0 1 2 s zzr g 22 0 1 () 2 s rg zz 代入压强分布方程得： 00 ()() aas pppg zzgzgzh 第2章 流体静力学 2.5 静止液体对平板的作用力 平板AB，斜放于静水液体中，自由表面为大气压。建

16、立 如图所示直角坐标系。阴影为AB的正视投影。 2.5.1 作用力的大小 一般取相对压强进行计算。 作用在微分面积dA上的压力： sindFg dAdhgyA 作用在整个面积A上的合力： sin A ydAFdFg A ydA AB平面对Ox轴的面积矩 c A AydAy yc为面积A形心的纵坐标 第2章 流体静力学 则：sin ccc FgAyg Ap Ah 式中：FAB上静水总压力；hc形心C的淹没深度； pc形心C点的压强 作用在任意位置、任意形状平面上的总压力，等于该平面 面积与其形心点所受静压强的乘积。总压力的方向沿平面的 内法线方向。 2.5.2 力的作用点 作用在AB上的相对总压

17、力作用点为D（压强中心），在 形心C以下。到x轴距离yD，由合力矩定理得： 2 sinsin A D A F ydF ygydy dA yAg 2 x A y dAI AB平面对Ox轴的惯性矩 第三次课 第2章 流体静力学 sinsin cDx gy A ygI x D c I y y A 惯性矩的平行移轴定理： 2 xCC IIy A代入上式 C DCC C I yyye y A 式中：yD相对总压力作用点D到Ox轴的距离 yCAB平面形心到Ox轴的距离 ICAB平面对通过形心C的形心轴xC的惯性矩 e 压强中心对形心的纵向偏心距 相对总压力作用点D到Oy轴的距离： xyC DCC C I

18、xxxf y A 第2章 流体静力学 式中：xC AB平面形心到Oy轴的距离 IxyCAB平面对平行x、y轴的形心轴xC、yC的惯性矩 f 压强中心对形心的横向偏心距 xyC A IxydA 工程中，AB平面形状往往有纵向对称轴（与Oy轴平行） ，故相对总压力作用点D必定在对称轴上（f=0)。实际计算 只需算出yD，作用点的位置即可完全确定。 常见图形的几何特征量可查表 （找到yC, Ix的计算公式） 第2章 流体静力学 2.6 静止液体对曲面的作用力 在工程中，还经常要计算如圆形储水池壁面、弧形 闸门以及球形容器等，这些壁面多为柱面或球面。其 计算方法可推广到其它的曲面。 液体作用在柱面上的

19、总压力空间力系，合成总压力 第2章 流体静力学 2.6.1 柱面上的总压力 图 .15 2曲面上的总压力 dF dFz dFx A x z dAx dAz O ( ) y B Vp F Fz Fx 柱型曲面AB，一侧受静止液体压力，建立如图所示直角坐 标系，z轴垂直向下，xOy为自由表面。 沿柱面母线方向取一条形微分 面积dA，受到的相对总压力为 dF，其大小为 dFghdA h 分解为水平和垂直分力： coscos xx dFdFghdAghdA sinsin zz dFdFghdAghdA dAx 、dAzdA在铅垂平面和水平平面上的投影 第2章 流体静力学 相对总压力的水平分力 x x

20、A xx FAFdghd 其中 是柱面在铅垂平面上的投影面Ax对Oy轴的静矩： d x x A h A xcxcx Fgh Ap A Fx柱面上总压力的水平分力 Ax柱面在铅垂平面上的投影面积 hc投影面Ax的形心点的淹没深度 pc投影面Ax形心点的压强 水平分量Fx静止液体对平面的作用力,作用线通过压力中心 第2章 流体静力学 若曲壁在水平方向的投影有重叠 部分，如右图A-B-C-D曲线中的BCD 段，BC和CD段的水平分力大小相等 ，方向相反，合力为零，总压力的 水平分力则由AB段决定。 图 .16 2曲壁上的水平分力 z x O BD A C 相对总压力的垂直分力 p Z zz A z

21、hdFdgVAFg 是柱面到自由液面（或者是到自由液面的延伸面） 之间铅垂柱体（称为压力体压力体）的体积。 p d z z A h AV 垂直分量Fz压力体内液体的重量，作用线通过压力体重心 第2章 流体静力学 液体作用在柱面上的相对总压力为： 22 xz FFF 相对总压力方向与水平面的夹角为： tg,arctan zz xx FF FF 即 相对总压力的作用点： 静止流体对二维曲壁总压力的水平分力Fx的作用 线和垂直分力Fz的作用线交于一点，相对总压力的 作用线通过该点，并与水平方向的夹角为。 第2章 流体静力学 2.6.2 压力体的概念 压力体的界定范围界定范围： 假设沿着柱面边缘上每一

22、点作自由液面（或延伸面）的铅垂 线，这些铅垂线围成的壁面和以自由液面为上底、柱面本身为 下底的柱体压力体压力体。 通常压力体有以下三种情况： 实压力体 虚压力体 半虚半实压力体 图 .17 2压力体 (a) (b) (c) 第2章 流体静力学 （a）实压力体 压力体和液面在柱面的同侧，压力 体内充满液体。Fz方向向下， Fx方向 向右。 （b）虚压力体 压力体和液面在柱面的两侧，一般 上底为自由液面的延伸面，压力体内 无液体。Fz方向向上，Fx方向向左。 （c）半实半虚压力体 压力体和液面在柱面同侧，但其为 自由液面的延伸面，压力体部分充有 液体。Fz方向向下，Fx方向向右。 图 .20 力2

23、圆滚门上的总压 H1 H2 D 第2章 流体静力学 第2章 流体静力学 第2章 流体静力学 【例】密闭盛水容器，水深h1=60cm、h2=100cm，水银测压 计读值h=25cm，试求半径R=0.5m的半球形盖AB所受总压力 的水平分力和铅垂分力。 【解】由于 HgH O 2 01 pg hgh 自由液面上压强不是大气压， 需虚设一个自由面（用水来代替 p0的压强），其上移的高度为： 图 .182 B A R h2 h1 h P0 Hg H O 22 0 1 13.6 0.25 0.62.8m H O g p h h gg 2 0 H O p g 球盖AB所受总压力的水平及铅垂分力为： H O

24、 2 22 2 () 9807 (12.2.88) 3.14 0.529.25kN x hFgR H OH O 22 33 4 9807 0.53.14 0.52.566kN 3 1 4 2 3 zP VgRFg 方向向左 （把半球 分成上下 两部分） 方向向下 第2章 流体静力学 【例】一半径R=10m的圆弧形闸门如图，上端淹没深度h=4m， 设闸门的宽度b=8m，若圆弧的圆心角=30o，求: （1）闸门上受到水的相对总压力F的大小和方向 （2）相对总压力的作用点D的淹没深度 图 .19 2圆弧形闸门上的总压力 O ( )y hD h a A B e bx z F D 【解】选取O-xyz坐

25、标：在自由液面上 取原点O，取自由液面为xOy平面，z轴 铅垂向下。 闸门AB所受的水总压力F在x方向的 分力大小Fx： sin sin 2 xCxCx R Fp Ag hb Rgh A 2549.8kN （方向向右） 第2章 流体静力学 水总压力F在z方向的分力大小Fz： pz FgV 其中压力体Vp是图中abeBAa所围成的柱体体积。 23 p 2 1 sincos 2 79.cos 360 12VRRhRmRb p 9807 79.12775.93kN z FgV （方向向上） 22 2665.25kN xz FFF 775.93 arctgarctg16.93 2549.8 z x F

26、 F 相对总压力： 相对总压力与水平面的夹角： 圆弧形闸门，构成平面汇交力系，总压力的作用线通过圆 心，过圆心作与x轴成=16.93的力作用线交闸门于D。D点 即是总压力F的作用点。故D的淹没深度为： sin4 10 sin16.936.91m D hh R 第2章 流体静力学 【例】有一圆滚门如图，长度l=10m，直径D=4m，上游水深 H1=4m，下游水深H2=2m，求作用于圆滚门上的水平和铅垂方 向的分压力。 图 .20 力2圆滚门上的总压 H1 H2 D 【解】求圆滚门的左侧水平及铅 垂方向分力 1 1 4 98074 10784.56kN 22 x H FgD l （方向向右） 22

27、 1 9807410616.19kN 88 z FgDl （方向向上） 圆滚门的右侧 2 22 2 98072 10196.14kN 22 x H FgHl 22 2 9807410308.1kN 1616 z FgDl （方向向左） （方向向上） 第2章 流体静力学 故圆滚门上水总压力的水平分力大小 12 588.42kN xxx FFF （方向向右） 铅垂分力大小 12 924.29kN zzz FFF（方向向上） 2.7 浮力 2.7.1 浮力基本定律 沉没在液体内的物体表面受到液体作 用力的合力方向垂直向上，大小等于沉 没物体排开液体的重力。 AB C D E F G H z y x

28、MN P Q 物体表面受到的作用力在x、y方向分量为零 如右图所示： 第2章 流体静力学 z方向铅垂分力： ()() () zz ABCDz EFGHABCD MNPQEFGH MNPQ FFgVVFg V 物体 阿基米德浮力定律 2.7.2 液体比重计 中空玻璃，头部有重物， 上部圆杆上有刻度。在液体 中受到的浮力等于比重计的 重力。放入不同密度的液体 中，圆杆露出液面的长度不 同，由圆杆上刻度读出液体 比重。 第2章 流体静力学 2.8 流体静压强的测量 2.8.1 重力作用下流体静力平衡方程的几何意义 z zA g A p A B pp 0a B p zB 00 测压管水头线 g v在各

29、点的测压管水头必然相等 v当p0= pa时，测压管液面和容器液面在同一水平面。 0 pgzp g p z g p 0 Constz g p z g p B B A A 在如右图所示的坐标系下，静力 平衡方程可表示为： papa () pf z z A g A p A B pp 0a B p z B 0 0 测压管水头线 pa pa h2 h1 第2章 流体静力学 01 02 A B ppgh ppgh 12 AB pp hh gg 12 12 AB AB zhzh hzzh 22 AB AB pp zzhh gg AB AB pp zz gg 第2章 流体静力学 上式写成： p zC 其中 g

30、 流体重度 式中各项物理意义： z位置水头位置水头，即某流体质点（如图中A、B点）在基准面以 上的高度，可以直接测量。 物理意义单位重量液体具有的重力势能（或称位能） 压强高度压强高度，在某流体质点处设置一竖直向上的开口玻 璃管，称为测压管，液体沿测压管上升的高度 /p / p hp hp称为压强水头压强水头。 物理意义单位重量液体具有的压强势能（简称压力能） 单位重量液体具有的重力势能和压强势能之和称为单位重 量的流体质点具有的总势能总势能，亦称为测压管测压管水头水头。 第2章 流体静力学 注意：注意： 1.使用条件为同种、连续、静止液体。如果不是， 应根据水静力学基本公式分别计算每一种液体

31、所 产生的压力。 2.方程式中各物理量单位统一。各测点位置水头基 准面要统一。 2.8.2 静压力的测量 1.U形管测压计 流体力学研究、实际工程中，测量流体中的压强分布 第2章 流体静力学 一端与测点相连，一端与大气相连。 求pA（A处是水，密度为，测压计内 是密度为 的水银） 正U形管1 水平面12为等压面，则 ghgapA 所以，gaghpA 正U形管2 用于测量两个容器或同一容器（如管 道）流体中不同位置两点的压强差。 水平面12为等压面，则 )( 11 hhgpp AA 第2章 流体静力学 ghghpp BB 22 )( 12 hhgghghpp ABBA 所以， 倒立U形管 上例，

32、U形管测压计也可以倒立使用。 两端流体密度分别为1、 2 ，U形管内 流体密度为 ，且 1， 2 2 1 水平面BB为等压面，则 111222 pghghpgh 所以， 121 122 ppghhhg U形管测压计广泛应用与科研、实 际工程。 第2章 流体静力学 2.多管组合测压计 当两点的压差很大时，采用多管测压计。 在如右图所示的双U形管测压计中，水平面11、22 和33为等压面，则 111232 322315434 () A B ppghpgh ppghpg hhgh 所以， 23211 22315434 () A B ppghgh ppghg hhgh 32342311154 () AB ppghghghghg hh 若给定流体和指示液密度以及各高度，可计算出A、B两 点的压强差。 第2章 流体静力学 3.微压计 当压强或压差值非常小时