工程力学第16讲 弯曲内力：不写方程直接画内力图

1、10103 3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系 1、支反力： 2 ql FF BYAY L q FAYFBY 2、内力方程 qxqlxF s 2 1 )()0(lx 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM )0(lx 3 3、讨论：、讨论： )( 2 1)( xFqxql dx xdM s )( )( xqq dx xdFs x 对dx 段进行平衡分析，有： 0)(d)(d)()( 0 xFxFxxqxF Y sss )(dd)(xFxxq s dx x q(x) q(x) M(x)+d

2、M(x) Fs(x)+d Fs(x) Fs(x) M(x) dx A y xq x xFs d d 剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 q(x) M(x)+d M(x) Fs(x)+d Fs(x) Fs(x) M(x) dx A y 0)(d)()()(d( 2 1 )d( , 0)( 2 xMxMxMxxqxxF Fm s iA )( d )(d xF x xM s 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 )( d )(d 2 2 xq x xM xq x xFs d d

3、 )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM 二、微分关系的应用二、微分关系的应用 2 2、分布力、分布力q(x)=q(x)=常数时常数时剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。 1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0时时剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。 Fs图：图： M图：图： （1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凹的二次曲线。 Fs图：图： M图：图： M(x) 4 4、集中力偶处、集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有突变， 突变值的大小等于集中力偶的大小。 5 5、弯矩极值处、弯矩极

4、值处剪力为零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。 3 3、集中力处、集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小； 弯矩图有折角。 （2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。 Fs图：图： M图：图： M(x) 外力外力 无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶 q=0 q0q0 Fs Fs0 x 斜直线 增函数 x Fs x F s 降函数 x Fs C Fs1 Fs2 Fs1Fs2=F 自左向右突变 x Fs C 无变化 斜直线 M x 增函数 x M 降函数 曲线 x M 盆状坟状 x M 自左向右折角 自左向右突变 x

5、 M 折向与F同向 三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图 M mMM 12 与 m 同 x M1 M2 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。 控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。 四、简易法作内力图法（利用微分规律）四、简易法作内力图法（利用微分规律）: : 利用内力和外力的 关系及特殊点的内力值来作图的方法。 基本步骤基本步骤：1、外力图； 2、剪力图；集中力突变，无集中力处水平直 线、倾斜直线或曲线。 3、弯矩图；集中力偶处突变，无集中力偶处 根据剪力图积分一次来画。 左端

6、点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 右端点：弯矩图有突变，突变值右端点：弯矩图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 qa2 2 2 3 qa qa x M aa qa q A 解解：1、确定支反力（可省略） 左侧段左侧段：剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线 右侧段右侧段：剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凹的二次曲线。 2、画内力图 Fy m 2 2 3 ; 0qamF Y F s x Fs Fs(x) x 2kN 2kN 解解：1、支反力 )( 2);( 2 04321210 02120 kNFkNF FM FF

7、Y BYAY AYB BYAY 2、画内力图 AC段段：剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线 BD段段：剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。 CD段段：剪力图为零； 弯矩图为一条水平线。 A、C、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变； 突变值的大小为其集中力的值。突变值的大小为其集中力的值。 1kN/m A B C D 2kN 2m1m1m FAYFBY M(x) x 2kN、m 2kN、m 1m4m 10kN/m 20kN 40kN、m C B A 解解：1、支反力 FAYFBY ).(25);(35 044052024100 0410200 kNFkNF FM FFY

8、BYAY AYB BYAY 2、画内力图 CA段段：剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线 AB段段：剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。 C、A、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变； 大小为其集中力的值。大小为其集中力的值。A截面弯截面弯 矩图有突变；大小为其集中力矩图有突变；大小为其集中力 偶的值。偶的值。Q=0处处M有极值有极值 20 15 25 Fs(x) x （kN） M(x) x kNm 20 2.5m 31.25 20 解：求支反力 2 ; 2 qa F qa F DYAY 0; 2 M qa s F 左端点A： 2 2 1 ; 2 qaM qa s FB点左

9、： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F B点右： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F C点左： M 的驻点： 2 8 3 ; 0qaM s F 2 2 1 ; 2 qaM qa s FC点右： 0 ; 2 1 Mqa s F右端点D： Fs x qa/2 qa/2 qa/2 + qa2 qa AB C D x M 3qa2/8 q qa2/2 qa2/2 qa2/2 FAYFDY aaa 104 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。 一、前提条件一、前提条件：小变形、梁

10、的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性限度内满足虎克定律。 三、步骤：三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。 例例 按叠加原理作弯矩图(AB=L，力F作用在梁AB的中点处）。 q F AB F q =+ A A B B x M2 8 2 qL + x M84 2 qLFL = x M1 4 FL 四、对称性与反对称性的应用：四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下对称结构在对称载荷作用下 F

11、s 图反对称，图反对称，M 图对称；图对称； 对称结构在反对称载荷作用下对称结构在反对称载荷作用下 Fs 图对称，图对称，M 图反对称。图反对称。 例例7 作下列图示梁的内力图。 FL F FL LL LL LL 0.5F 0.5F 0.5F 0.5F F 0 Fs x Fs1 x Fs2 x 0.5F 0.5F 0.5F + F F 0.5F F LL 0.5F FL LL 0.5F 0.5F FL LL F 0 M2 x 0.5FL 0.5FL M1 x 0.5FL M x FL 例例 绘制下列图示梁的弯矩图。 2F aa F = 2F F + M1 x = 2Fa x M2 + 2Fa

12、x MFa q q = + + x M2 3qa2/2 x M1 = qa2/2 a a q q x M qa2 F L/2L/2 FL/2 x M FL/2 x M2 + FL/2 = FL/4 x M1 = + F FL/2 50kN aa 20kNm 20kNm = + 50kN 20kNm 20kNm x M2 + 50kNm = 20kNm x M1 M x 20kNm 30kNm 20kNm 105 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 一、平面刚架一、平面刚架 平面刚架：平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆的内力有：

13、刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。 1、刚架：由刚性节点联成的框架 2、节点：两杆之间的交点。 3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不 能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。 4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。 二、平面刚架内力图规定二、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受压压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画 在刚架的外侧），但须注明正、负号。 三、平面曲杆：三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。 四、平面曲杆内力图规定四、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规

14、定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压压的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。 例例 试作图示刚架的内力图。 F1 F2 a l A B C FN 图 F2+ Fs 图 F1 + F1a M 图 F1a+ F2 l F1 F1a 例例 已知：如图所示，F及R 。试绘制Fs、M、FN 图。 O FR q m m x 解解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面mm的位置。 )(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM )(0 cos)( 2 qqqFFFN )(0 sin)( 1 qqqFFFs A B F1 F F2 A B O

15、 M图 O O + Fs图 FN图 2FR F F + q m m xO F R A B )(0 )cos1 ()cos()(qqqqFRRRFFxM )(0 cos)(qqqFFN )(0 sin)(qqqFFs F 例例 改内力图之错。 a2aa q qa2 A B 4 7 ; 4 qa F qa F BYAY Fs x x M + qa/4qa/4 3qa/4 7qa/4 qa2/4 5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32 FAyFBy 例例 已知 Fs 图，求外荷载及M图（梁上无集中力偶）。 Fs(kN) x 1m1m2m 2 3 1 5kN1kN q=2kN/m + + q=2

16、kN/m M(kNm) x 1 1 1.25 弯曲内力小结弯曲内力小结 一、一、弯曲的概念弯曲的概念： 受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点变形特点杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 二、平面弯曲的概念：二、平面弯曲的概念： 受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。 三、弯曲内力的确定三、弯曲内力的确定 1、内力的正负规定内力的正负规定: : （1 1）、截面法）、截面法截开；代替；平衡。 剪力剪力Fs: :在保留段内任取一

17、点，如果剪力的方向对其点之矩为 顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。 弯矩弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。 2、内力的计算：、内力的计算： 注意的问题注意的问题a a、在截开面上设正的内力方向。、在截开面上设正的内力方向。 b b、在截开前不能将外力平移或简化。、在截开前不能将外力平移或简化。 （2 2）、简易法求内力：）、简易法求内力： Fs=Fs=F Fi i（一侧）（一侧） ， M=M=m mi i。（一侧）。（一侧）。 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。 重点 四、剪力方程、弯矩方程四、剪力方程、弯矩方程： Fs=Fs

18、(xFs=Fs(x）剪力方程 M=M(x) M=M(x) 弯矩方程 注意注意：不能用一个函数表达的要分段，不能用一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。分布力的起点、终点。 五、五、 剪力、弯矩与分布荷载间的剪力、弯矩与分布荷载间的微分微分关系关系 xq x xFs d d )( d )(d xF x xM s )( d )(d 2 2 xq x xM 六、微分关系的应用六、微分关系的应用 1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0时时剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。 2 2、分布力、分布力q(x)

19、=q(x)=常数时常数时剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。 难点 重点 （1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时剪力图为斜向上的斜直线； 弯矩图为上凹的二次曲线。 3 3、集中力处、集中力处剪力图有突变，突变值等于集中力的大小； 弯矩图有折角。 （2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为下凹的二次曲线。 Fs图：图： M图：图： M(x) Fs图：图： M图：图： M(x) 七、剪力图和弯矩图：七、剪力图和弯矩图： 1、利用方程画、利用方程画剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图 步骤：（1）、利用静力方程确定支座反力。 （2）、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。 （3）、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的 形状描点绘出剪力图、弯矩图。 （4）、确定最大的剪力值、弯矩值。 4 4、集中力偶处、集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有突变， 突变值的大小等于集中力偶的大小。 5 5、弯矩极值处、弯矩极值处剪力为零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。 控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。 2 2、简易法作内力图（利用微分规律）、简易法作内力图（利用微分规律） 基本步骤基本步骤：（1）、确