小波分析-第二部分-傅里叶级数 (2)

1、傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 一、引言 v三角级数 的级数称为三角级数 其中a0 an bn(n1 2 )都是常数. 1 cos x sin x cos 2x sin 2x cos nx sin nx . v三角函数系 v三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在 上的积分等于零 而任 何两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于零. )sincos( 2 1 1 0 nxbnxaa nn n 设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数: 且假定三角级数可逐项积分 则 系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数. v傅里叶系数 1 0 )sincos( 2 )(

2、 k kk kxbkxa a xf dxxfa)( 1 0 nxdxxfancos)( 1 (n 1 2 ) nxdxxfbnsin)( 1 (n 1 2 ). 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 二、傅里叶变换 傅里叶级数及变

3、换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 三、傅里叶变换性质 傅里叶级数及变换傅里叶级数及变换 根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即 2021-6-2823 1. 线性线性 若 ),()(),()( 2211 jFtfjFtf 且设a1, a2为常数，则有 )()()()( 22112211 jfajfatfatfa 2021-6-2824 2. 时移

4、性时移性 若f(t) F(j)， 且t0为实常数(可正可负)，则有 0 )()( 0 tj ejFttf 此性质可证明如下。 dtettfttfF tj )()( 00 )()( )()( 00 0 )( 0 jFedtefe dtefttfF tjtjtj ttj 2021-6-2825 3. 频移性频移性 2021-6-2826 频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t, 从而得到f(t) cos 0t或f(t) sin 0t 的信号。因为 2021-6-2827 4. 尺度变换尺度变换 2021-6-2828 当a0时： 2021-6-2829 图 3.5-3 信

5、号的尺度变换 F1(j) (b) f1(t) t0 1 0.5 (a) o40.5 2 F2(j) (d) f2(t) t0 1 0.2 (c) o0.21010 0.2 1 2021-6-2830 图 3.5-3(a)所示的信号f1(t), 可写成宽度等于1的门函数，即 2021-6-2831 尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中， 为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用 中要权衡考虑。 在尺度变换性质中， 当a=-1时，有 )()(jFtf 也称为时间倒置定理倒置定理。 2021-6-2832 解解 此题可用不同的方法来求解。此题

6、可用不同的方法来求解。 2021-6-2833 (2) 先利用尺度变换性质，有先利用尺度变换性质，有 2021-6-2834 5. 对称性对称性 2021-6-2835 我们知道 2021-6-2836 图3.5-4 取样函数 及其频谱 )( tSa (a) 0 o 1 (b) t 11 22 g2() Sa(t) 1 2021-6-2837 6. 时域卷积时域卷积 2021-6-2838 在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与 频域方法紧密联系在一起。在时域分析中， 求某线性系统的零状态响应时，若已 知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 则有 )()(

7、)(thtfty f 在频域分析中，若知道F(j)=Ff(t)，H(j)=Fh(t)， 则据卷积性质 可知 )()()(jFjHtyF f 2021-6-2839 7. 频域卷积频域卷积 2021-6-2840 应用频移性质，可知 2021-6-2841 8. 时域微分时域微分 2021-6-2842 9. 时域积分时域积分 2021-6-2843 例例 3.5-4 求图 3.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。 解解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jt的繁复积分求解问题。而 利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 3.5-5(c)所 示的f2(t)， 显然有 )()()()( )()()( 12 btatatbt ab A tftftf 2021-6-2844 图 3.5-5 梯形信号及其求导的波形 to A b (a) a abto b (b) a f1(t) f (t) a b A b a A b a to b (c) a f2(t) f (t) a b A b a A b a f (t) 2021-6-2845 据时移性质有据时移性质有 2021-6-2846 2021-6-2847 图 3.5-6 另一种梯形信号 to A