八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定学案 （新版）华东师大版

1、学必求其心得，业必贵于专精2直角三角形的判定课前知识管理1。勾股定理的逆定理“如果三角形三边分别为a、b 、c，且满足abc。那么这个三角形是直角三角形” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理如图所示，在abc中，如果acbcab，那么abc就是直角三角形 2勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与abc有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形.区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“abc；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足abc”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是

2、否是直角三角形的一个方法 名师导学互动典例精析:知识点:勾股定理逆定理例1、已知三角形的三边长分别为7，40，42；，1；2mn,（m2-n2)，（m2+n2)2,是直角三角形的序号是 .【解题思路】运用勾股定理的逆定理判断。对于72+402=49+1600=1649 ，422末位是4,故72+402422；对于 (）2+（）2=+=1；对于（2mn）2+(m2n2)2=4m2n2+m42m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2.【解】填。【方法归纳】如果三角形的三边长a、b、c（c为最大边)有下面关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。对应练习:如图所示，在某市的地

3、图上有三个景点a、b、c,已知景点a、b之间的距离为04cm，景点c、d之间的距离为03cm,景点a、c之间的距离为05cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？知识点2：勾股定理及其逆定理的综合运用例2、 如图,在四边形中，且，求四边形的面积【解题思路】连接，由已知条件,易知，抓住数字特征：“，”,联想勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，于是,求出与的面积之和,即为四边形的面积【解】连接，由,知是直角三角形，由勾股定理，得 又，即，所以是直角三角形于是，【方法归纳】在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边

4、的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数 对应练习:如图，abc和dce都是边长为2的等边三角形,点b、c、e在同一条直线上，连结bd，则bd2的长为 .知识点3：运用勾股定理逆定理判定三角形的形状例3、已知：在abc中，a、b、c的对边分别是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n1）判定abc是否为直角三角形【解题思路】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形【解】由于a2+b2=（n21)2（2n

5、)2=n42n21，c2=(n21）2= n42n21，从而a2+b2=c2，故可以判定abc是直角三角形【方法归纳】要证c=90,只要证abc是直角三角形，并且c边最大，根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可知识点3:运用勾股定理逆定理计算线段长度例4、如图，在abc中，d是bc边上的点，已知ab=13，ad=12,ac=15，bd=5，求dc的长【解题思路】已经知道了ad=12,ac=15,要求dc的长,只需知道adc为直角即可，而abd的三边知道，可以由勾股定理逆定理判定adb为直角，从而得出adc为直角。【解】在abd中，由ad2+bd2=122+52=132=ab2,可知a

6、d2+bd2=ab2，则由勾股定理的逆定理知adb= 90，在rtadc中，dc2 =152122=81=92.所以dc=9.【方法归纳】当题目中要求的问题与线段的长有关时，用勾股定理来解答是常见思路。对应练习：已知:如图,在abc中,ab=17,bc=16,bc边上的中线ad=15。求证： abc为等腰三角形.知识点4：运用勾股定理逆定理计算图形面积例4、如图所示，在四边形abcd中，a=90，且ab=9，bc=20,cd=12，求四边形abcd的面积. 【解题思路】连结bd，如图，由已知条件易知bd=15，通过观察“15，20，25”这组数,可知这组数是我们熟悉的一组勾股数,那么根据勾股定

7、理的逆定理可得bcd是直角三角形，于是，求出rtabd与rtbcd的面积之和,即可求得四边形abcd的面积。【解】连结bd,如图。由a=90知abd是直角三角形，根据勾股定理得bd2=ab2+ad2=92+122=225=152，所以 bd=15.又因为“15、20、25是一勾股数,即152+202=252,故bd2+bc2=cd2，则根据勾股定理的逆定理可得bcd是直角三角形,故有： s四边形abcd=sabd+sbcd=54+150=204.【方法归纳】要求三角形的面积,首先要确定这个三角形的形状,是否是直角三角形,可由直角三角形的判别方法来判别,如果是直角三角形，它的面积就易于求得，若不

8、是直角三角形，其面积也能求出,但过程相对要繁琐些.对应练习：有如图所示的一块地,已知ad=4米,cd=3米， ab=13米，bc=12米，求这块地的面积.知识点5：运用勾股定理逆定理证两角互补例5、已知:如图,ab=20，bc=15,cd=7，da=24, 。求证：a与c互补。【解题思路】由勾股定理，求得ac，加上其他条件，再由勾股定理的逆定理知adc也为直角三角形，再求得角度的关系.【解】连结ac,在rtabc中,由勾股定理,得而在adc中，故由勾股定理的逆定理知adc也为直角三角形.dab+dcb=bd=即a与c互补.【方法归纳】在adc中运用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算出d的度

9、数。对应练习：如图,正方形abcd的边长为4,e是bc的中点，f在cd上，且df=3cf。求证:aeef。（提示：连接af)知识点6：运用勾股定理逆定理求角度数例6、在四边形abcd中，已知：ab：bc：cd:da=2:2:3:1，且求dab。【解题思路】根据ab：bc=2：2, 所以abc是等腰直角三角形，所以再根据勾股定理的逆定理判定【解】连结ac，设da=x，则ab=bc=2x,cd=3x.故在rtabc中, 由勾股定理，得由勾股定理的逆定理知dac为直角三角形，故【方法归纳】已知线段的比时，可引入辅助元素来表示。对应练习：如图所示，在abd中，a 是直角，ab3，ad 4,bc12，d

10、c12，求bdc的度数.知识点7：勾股数例7、下列各组数是勾股数是的有 (只填序号）.12，15,18； 3,4，5; 1.5，2,2.5。【解题思路】因为，所以,所以12、15、18不是勾股数；因为，所以，所以3，4，5是勾股数；虽然，但1.5、2.5不是整数，所以1。5、2、2.5不是勾股数.【解】填。【方法归纳】满足的三个正整数称为勾股数。每组勾股数的整数倍仍是勾股数，例如3、4、5是一组勾股数，3、4、5的2倍6、8、10，3倍9、12、15等都是勾股数.给定三个正整数，只要能验证其中最大的数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数。对应练习：试说明（其中大于1的正奇数）是一组

11、勾股数。易错警示1、审题不仔细，受定势思维影响例8、 在abc中,的对边分别为，且，则( )(a）为直角 （b）为直角 （c)为直角 (d）不是直角三角形错解：选(b）错解分析：因为常见的直角三角形表示时,一般将直角标注为,因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错误。该题中的条件应转化为,即，因根据这一公式进行判断。正解：，。故选(a)2、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例9、 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）(a）1、2、3 （b） (c) （d)错解：选（b)错解分析:未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面

12、形式。判断直角三角形时,应将所给数据进行平方看是否满足的形式.正解:因为,故选（c）。课堂练习评测考点1：用勾股定理逆定理判定三角形形状1、三角形的三边为（1)9，40,41；（2）4,6，8；(3)6，8，10；(4）5，13，12；(5）24，25，7；（6）8,15，16，其中能构成直角三角形的有( ）a、3组 b、4组 c、5组 d、6组2、如图所示，a、b、c分别表示三个村庄，ab1000米，bc600米，ac800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心p点的位置应在( ）。（友情提醒:直角三角形斜边上的中线

13、等于斜边的一半。）aab中点 bbc中点cac中点 dc的平分线与ab的交点3、若三角形的三条边满足关系式，则此三角形形状是考点2：用勾股定理逆定理计算角的度数4、如图,在四边形中,，且，求：的度数考点3：用勾股定理计算线段长度5、rtabc中，bac=90，ab=ac=2，以ac为一边，在abc外部作等腰直角三角形 acd ，则线段bd的长为 . 考点4：勾股数6、有一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮助他找出来，是下列选项中的（ )。a。13、12、12 b.12、12、8 c。13、10、12 d.5、8、47、下列四组数：（1）

14、9，12，15;（2）7,24，25;(3)；(4）3，4,5（0）中，可以构成直角三角形的边长的有（ ）a.4组 b.3组 c.2组 d。1组课后作业练习1、在rtabc中，若ac，bc,ab4，则下列结论中正确的是（ ）ac90 bb90cabc是锐角三角形 dabc是钝角三角形2、直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ） a。 仍是直角三角形 b。 不可能是直角三角形 c. 是锐角三角形 d. 是钝角三角形3、设一个直角三角形的两条直角边长为、，斜边上的高为 ，斜边长为,则以 ,，为边的三角形的形状是（ ）a。 直角三角形 b。 锐角三角形 c。 钝角三角形 d. 不

15、能确定4、有四个三角形:（1)abc的三边之比为345；（2）abc的三边之比为51213；（3）abc的三个内角之比为123；(4）cde的三个内角之比为112，其中直角三角形的有（ ）a（1）（2） b（1）(2）（3） c（1）（2）（4） d(1)（2）（3)（4）5、在下列说法中是错误的( )a在abc中,c=ab,则abc为直角三角形b在abc中，若abc=523，则abc为直角三角形c在abc中，若a=c，b=c，则abc为rtd在abc中，若a：b：c=224，则abc为直角三角形6、下列线段不能组成直角三角形的是（ ）aa=6,b=8，c=10 ba=1，b=2，c=6ca=

16、,b=1，c= da=2，b=3，c=7、三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（ ）a直角三角形 b钝角三角形 c锐角三角形 d不能确定8、已知三角形的三边长分别是，当_时，这个三角形是直角三角形9、已知两条线段的长为3cm和2cm,当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。 10、三条线段m、n、p满足m2一 n2 p2,以这三条线段为边组成的三角形为 。11、如果3条线段的长a,b,c满足c2=a2b2，那么这3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？12、根据三角形的三边，,的长，判断三角形是不是直角三角形：（1）11,

17、60，61 (2)，1，13、小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长14、如图所示,adbc,垂足为d，如果cd=1，ad=2，bd=4,那么bac是直角吗？请说明理由15、如图所示，abc中，ab=26，bc=20，bc边上的中线ad=24，求ac 16、如图,是一个机器零件示意图，acd=90是这种零件合格的一项指标.现测得ab=4cm，bc=3cm，cd=12cm，ad=13cm，abc=90，根据这些条件,能否知道acd等于90？17、如图，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直,因此，从离地面6m的处向地面拉一

18、条长6。5m的钢绳，现测得地面钢绳固定点a到电线杆底部b的距离为2.5m，请问:张师傅的安装方法是否符合要求？请说明理由14。1.3对应练习答案1.解：因为03 0405,所以这个三角形一定是直角三角形2.答案:解：作dfbe于f,因为dce为等边三角形，所以df也是dce的中线,所以bf=bc+cf=2+1=3,在rtdfc中，由勾股定理得df2=dc2cf2=2212=3。在rtdfb中,由勾股定理得bd2=bf2+df2=32+32=18。3.解：bc=16,ad为bc边上的中线，dc=bd=而ad=15,ab=17,由勾股定理的逆定理知adb为直角三角形。adbc, 故adc为直角三角形.又由勾股定理，得ac=abc为等腰三角形。4。解：连结ac。 adc为直角三角形,由勾股定理，得而由勾股定理的逆定理知acb也为直角三角形。这块地的面积= (平方米).5.解:e为bc的中点，又正方形边长为4，df=3cf，be=ec=2,fc=1，df=3.连结af,在rtabe， rtcfe和rtfda中,应用勾股定理可求得由勾股定理的逆定理知aef为直角三角形， aeef.6。答案：解:dbc=90.理由：在rtbad中,根据勾股定理，得bdadab334225,所以bd5。在dbc