☆教学生学会思考——新授课教学

1、中中 国国 数数 学学 教教 学学 的的 继继 承承 与与 发发 展展 南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹 rbtu304 hotmailrbtu304 hotmail 1380518373013805183730 中国数学教育的优势在哪里中国数学教育的优势在哪里 美国前驻中国公使美国前驻中国公使 威廉威廉麦克希尔在麦克希尔在美国美国时代时代周刊周刊2009第第11期期撰文，撰文， 建议奥巴马总统向中国学习五件事，第二件是学习中国的中小学教育。他说：建议奥巴马总统向中国学习五件事，第二件是学习中国的中小学教育。他说： 从根本上看，中国教育做的是打基础的工作，特别是数学和科学从根本上看，中国

2、教育做的是打基础的工作，特别是数学和科学. 这方面，他们的孩子已经走在了美国的前头，我们也要这么做这方面，他们的孩子已经走在了美国的前头，我们也要这么做. 这是国际上重新识中国数学教育以来这是国际上重新识中国数学教育以来, 最为中肯和准确的评价。最为中肯和准确的评价。 中国数学教育的优势在于重视基础中国数学教育的优势在于重视基础 中国数学教育是如何打基础的呢？中国数学教育是如何打基础的呢？ 中国数学教育的弱势在创造能力的培养中国数学教育的弱势在创造能力的培养 中国数学教育应该如何培养学生的创造力呢？中国数学教育应该如何培养学生的创造力呢？ 探讨和建议探讨和建议 就中国数学教学中重视打好基础的特

3、点和方法进行探讨，就中国数学教学中重视打好基础的特点和方法进行探讨， 就中国数学教学中如何培养学生的创造力提出建议。就中国数学教学中如何培养学生的创造力提出建议。 引引 言言 重视打好基础重视打好基础 中国数学教学的传统中国数学教学的传统 中国数学教学的中国数学教学的 主导思想主导思想 一、加强一、加强 “双基教学双基教学” 的思想的思想 二、培养数学思维能力的思想二、培养数学思维能力的思想 三、坚持启发式教学的思想三、坚持启发式教学的思想 四、贯彻数学活动教学的思想四、贯彻数学活动教学的思想 中国数学教学中打基础的主要方法中国数学教学中打基础的主要方法 一、目标具体，知识细化一、目标具体，知

4、识细化 四、变式练习，深化理解四、变式练习，深化理解 五、数学交流，师生互动五、数学交流，师生互动 六、渗透思想，掌握方法六、渗透思想，掌握方法 七、发展思维七、发展思维，培养能力培养能力 八、考试导向，良莠具存八、考试导向，良莠具存 二、复习旧知，引出新知二、复习旧知，引出新知 三、双基教学，熟能生巧三、双基教学，熟能生巧 中国数学教育存在的问题也很多中国数学教育存在的问题也很多 学生学业负担过重，学生普遍厌倦学习学生学业负担过重，学生普遍厌倦学习 高分低能现象严重，分高德下趋势蔓延高分低能现象严重，分高德下趋势蔓延 数学教学中存在的数学教学中存在的 错误倾向错误倾向 灌输告诉严重，启发引导

5、薄弱灌输告诉严重，启发引导薄弱 重知识轻方法，重理论轻应用重知识轻方法，重理论轻应用 重记忆轻思考，重显性轻隐性重记忆轻思考，重显性轻隐性 重演绎轻归纳，重证明轻发现重演绎轻归纳，重证明轻发现 重复习轻新授，重师承轻创造重复习轻新授，重师承轻创造 最大不足：忽视最大不足：忽视“人人”培养，忽视创造力的培养培养，忽视创造力的培养 中国数学教育存在的问题中国数学教育存在的问题 这些错误倾向这些错误倾向 不同程度地侵蚀着不同程度地侵蚀着 中国数学教育事业中国数学教育事业 发展中国数学教学发展中国数学教学 教学生教学生学会思考学会思考 重视培养创造力重视培养创造力 基基 本本 理理 念念 一、教育的一

6、、教育的 科学发展观科学发展观 教育的大目标是教育的大目标是“培养人培养人” 教育科学发展观的核心教育科学发展观的核心培养什么样的人！培养什么样的人！ “国家的教育方针国家的教育方针”是什么？是什么？ 培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。培养德、智、体全面发展的社会主义劳动者。 劳动者劳动者用自己的劳动用自己的劳动为自己获得利益为自己获得利益，为社会创造价值。为社会创造价值。 社会主义社会主义人的人的 社会属性，社会责任，社会属性，社会责任， 国家国家和和民族；民族；人类人类和和历史；历史；现在现在和和未来。未来。 条件条件 (德、智、体德、智、体)全面发展；全面发展； 是什么？是什么？

7、打基础打基础 教育的教育的 科学发展观科学发展观 全面发展全面发展 条件条件 (终身学习终身学习)可持续发展。可持续发展。 使学生充满对学习的热情使学生充满对学习的热情爱学爱学 充满充满 好奇心好奇心, 求知欲求知欲, 学习兴趣学习兴趣, 探求世界的积极态度探求世界的积极态度； 教师应该尽最大努力爱护教师应该尽最大努力爱护, 培养和激励学生的学习热情。培养和激励学生的学习热情。 使学生学会学习使学生学会学习会学会学 掌握学习的方法，学会掌握学习的方法，学会 自己独立地获取知识；自己独立地获取知识； 掌握科学研究的方法，学会从不知开始，一步一步掌握科学研究的方法，学会从不知开始，一步一步 地地

8、达到问题的核心，直至最终的构建和解决。达到问题的核心，直至最终的构建和解决。 发展学生的认识力发展学生的认识力 对世界对世界 (客观世界和主观世界客观世界和主观世界) 各种事物的认识能力。各种事物的认识能力。 科学的视角，创造力，想象力，洞察力，判断力，预见力。科学的视角，创造力，想象力，洞察力，判断力，预见力。 教育的教育的科学发展观科学发展观可持续发展可持续发展 教育的教育的科学发展观科学发展观数学教育价值观数学教育价值观 核心问题核心问题为全面发展、可持续发展作出什么样贡献为全面发展、可持续发展作出什么样贡献 数学的核心价值数学的核心价值发展人的思维发展人的思维使人变得更聪明使人变得更聪

9、明 知识是会忘记的，留下来的是教育。知识是会忘记的，留下来的是教育。爱因斯坦爱因斯坦 这个这个留下来的教育留下来的教育是什么？是什么？就是人的认识力。就是人的认识力。 培根说：知识就是力量。培根说：知识就是力量。 爱因斯坦说：想象力比知识更重要。爱因斯坦说：想象力比知识更重要。 知识重不重要？重要！知识重不重要？重要！ 知识知识 生活的基本常识，专业发展的基础。生活的基本常识，专业发展的基础。 知识知识 通向认识力的必经之路，通向认识力的必经之路， 没有知识，认识力的发展就要落空。没有知识，认识力的发展就要落空。 相对而言，发展认识力比掌握知识更重要。相对而言，发展认识力比掌握知识更重要。 掌

10、握知识不是最终目的，掌握知识不是最终目的，发展发展认识力认识力才是才是教育的最大目标。教育的最大目标。 发展人的思维，使人更聪明发展人的思维，使人更聪明数学具有的特殊力量数学具有的特殊力量。 二、数学教学的二、数学教学的“二重对应二重对应”原原 理理 教与学对应原理教与学对应原理 教师的教教师的教 建立在建立在 学生的学学生的学 基础之上。基础之上。 教与数学对应原理教与数学对应原理 克服克服 教师教育中教师教育中“去数学化去数学化”的倾向，的倾向， 克服克服 课堂教学中课堂教学中 “活动脱离数学活动脱离数学”的倾向。的倾向。 教学的内容与数学知识对应教学的内容与数学知识对应 教学的知识结构与

11、数学知识结构对应教学的知识结构与数学知识结构对应 教学情境与数学对象的本质对应教学情境与数学对象的本质对应 教学的思维方法与数学思维方法对应教学的思维方法与数学思维方法对应 教学中的研究方法与数学研究方法对应教学中的研究方法与数学研究方法对应 教学中的表达方式与数学的表达方式对应教学中的表达方式与数学的表达方式对应 教学中教学中把握把握数学核心概念，数学核心概念，教教数学的数学的“大方法大方法” 教学的首要任务教学的首要任务教教“怎样思考怎样思考” 经常听到学生说：经常听到学生说：“老师讲的我都懂，但自己做就不会了。老师讲的我都懂，但自己做就不会了。” 什么原因？你老师没有把什么原因？你老师没

12、有把“让他自己会做让他自己会做”的方法教给他。的方法教给他。 首先是解决首先是解决“你是怎么想到的你是怎么想到的”？然后解决怎样让他也想到？然后解决怎样让他也想到？ 好的教师好的教师“想给学生听想给学生听”，“想给学生看想给学生看”。 差的教师做给学生看，或差的教师做给学生看，或 让好学生做给差学生看。让好学生做给差学生看。 教大多数学生能想到的方法教大多数学生能想到的方法“教育效法自然教育效法自然” (卢梭卢梭)。 教本原的方法，有教本原的方法，有“技巧技巧”也要教技巧怎么想出来的。也要教技巧怎么想出来的。 求求 1+2+3+100，要想高斯怎么会想到要想高斯怎么会想到“首尾相加首尾相加”的

13、的? 而不是仅学习而不是仅学习“首尾相加首尾相加”这一操作。这一操作。 教教“怎样思考怎样思考”，“怎样才能想到怎样才能想到”是数学教学的首要是数学教学的首要 任务。任务。 教学生学会思考教学生学会思考 南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹新新 授授 课课 教教 学学 1. 教学教学教教 学生学生“学学” 教学生教学生 通过通过 学习知识学习知识 学会思考学会思考 学学 提出提出 问题问题( (课题课题) ) ， 学学 寻找寻找 解决问题的方法，解决问题的方法， 学学 建构建构 新概念、新方法，新概念、新方法， 学学 研究问题研究问题 的的一般方法；一般方法； “怎

14、么学怎么学” 用用 研究问题的一般方法研究问题的一般方法 去学。去学。 ( (在游泳中学游泳；在做中学；在用方法的过程中学方法在游泳中学游泳；在做中学；在用方法的过程中学方法) ) 教学生教学生“学什么学什么”？ 教学生教学生 “怎么学怎么学” 学知识学知识？学思考？学思考？ “学思考学思考” 2. 运用运用研究问题的一般方法研究问题的一般方法教学教学 (1)提出或形成提出或形成 解决问题解决问题 问题问题 假设和猜想假设和猜想 研究对象研究对象 研究研究 方法方法 (2)构建构建 (4)提出提出 概念或关系概念或关系 (6)语言语言表述表述 (3)设计或创造设计或创造 (5)验证验证 建立建

15、立 修正猜想修正猜想 理论和方法理论和方法 解决问题的解决问题的 形成问题形成问题 构建概念构建概念 寻找方法寻找方法 提出假设提出假设 验证猜想验证猜想 语言表述语言表述 新概念或关系新概念或关系 美国数学家美国数学家 哈尔莫斯：哈尔莫斯：“问题是数学的心脏。问题是数学的心脏。” 数学研究首先要提出一个问题数学研究首先要提出一个问题(数学研究的一般方法数学研究的一般方法) 数学一切概念数学一切概念, 公式公式, 定理定理, 方法，是因为方法，是因为 解决问题的需要解决问题的需要 而产生的。而产生的。 对一个新问题，往往对一个新问题，往往原有的原有的概念概念 或或 方法方法不够用了不够用了,

16、就不得不去就不得不去创新创新构建构建新的概念，新的概念，创造创造新的方法。新的方法。 3. 运用运用“问题结构问题结构”推进教推进教 学学 每节课首先要提出一个问题，并且去解决它。每节课首先要提出一个问题，并且去解决它。 并为解决新问题提出并为解决新问题提出一系列子问题一系列子问题。 把把新授课新授课转变成一个转变成一个解决新问题解决新问题的过程的过程 把把 学习活动学习活动 转变成一种具有转变成一种具有 开创性开创性 的工作。的工作。 为培养学生的为培养学生的 创新意识创新意识 和和 创造能力创造能力 作出了贡献。作出了贡献。 问题引领问题引领, 形成结构形成结构, 环环相扣环环相扣, 逐个

17、解决逐个解决, 层层推进层层推进. 形成形成“问题问题解决解决问题问题解决解决”的的问题结构问题结构推进教学进程推进教学进程. 布鲁巴克布鲁巴克: “教学艺术遵循的最高准则是学生自己提出问题教学艺术遵循的最高准则是学生自己提出问题” 学生只有自己发现问题学生只有自己发现问题, 追究追究“为什么为什么”, 才能才能激起思维火花激起思维火花. . 问题意识越强烈问题意识越强烈, 思维越活跃思维越活跃, 越深刻越深刻, 越富有创造性越富有创造性. . 数学学习中学生自己提出问题几乎不可能数学学习中学生自己提出问题几乎不可能, 离不开离不开教师引导教师引导; 怎么引导？怎么引导？“创设情境创设情境,

18、提出问题提出问题”最有效方法最有效方法. . 创设情境创设情境是是前提前提和和基础基础; 提出问题提出问题是是目标目标和和核心核心. 创设情境的基本标准创设情境的基本标准 直观明了直观明了, 简单易懂简单易懂, 源于生活源于生活, 贴近学生贴近学生, 利于揭示数学本质利于揭示数学本质 如何创设情境如何创设情境 “以旧引新以旧引新”情境情境, “数学问题数学问题”情境情境, “习题评点习题评点”情境情境, “实际生活实际生活”情境情境, “经济生产经济生产”情境情境, “趣闻史话趣闻史话”情境情境, “假想模拟假想模拟”情境情境, “破绽悬念破绽悬念”情境情境, “技术构造技术构造”情境情境.

19、4. 创设情境，提出问题创设情境，提出问题 5. 进行进行从无到有从无到有的探究的探究 什么是探究？什么是探究？“从无到有从无到有” 才是探究。才是探究。 一目了然，不假思索就能知道的东西一目了然，不假思索就能知道的东西无需探究。无需探究。 “从无到有从无到有” 逐步逐步从从 不懂到懂，不会到会，不明白到明白不懂到懂，不会到会，不明白到明白 的过程。的过程。 数学探究教学数学探究教学 主要有主要有两种方式两种方式 引导式引导式 探究探究 教师引导下的教师引导下的学生主动学生主动探究探究 线索线索 引导引导 的探究。的探究。 教师教师 引导探究引导探究 的策略。的策略。 学生学生 主动探究主动探

20、究 的方式。的方式。 发现式发现式 探究探究 独立活动下的独立活动下的学生自主学生自主探究探究 寻找寻找 线索线索 的探究。的探究。 探究中探究中教的策略教的策略与与学的方式学的方式 教师引导探究的策略教师引导探究的策略 1情境设计情境设计 2评价概括评价概括 3重点问题文本化重点问题文本化 4提示语启发提示语启发 5动态画面引导动态画面引导 6肢体语言暗示肢体语言暗示 7实例比喻实例比喻 (一个例子胜过一打说明一个例子胜过一打说明) 8利用学生思维利用学生思维 (因势利导因势利导) 学生主动探究的方式学生主动探究的方式 1提出问题提出问题 2编题举例编题举例(代表学习代表学习) 3猜想本质特

21、征猜想本质特征 (抽取共同特征，意义学习抽取共同特征，意义学习) 4寻找解决方法寻找解决方法 5验证与反驳验证与反驳(理性思考理性思考) 6归纳概括归纳概括 7反思拓展反思拓展 8理解题意理解题意 (多人重复，反复多次多人重复，反复多次) 6. 用用提示语提示语“由远及近由远及近”启发启发 引导式探究引导式探究数学探究教学数学探究教学主要的主要的方式方式 数学是抽象的形式化的思想材料，全靠学生独立探究，基本不可能。数学是抽象的形式化的思想材料，全靠学生独立探究，基本不可能。 学生要从无到有的探究，学生要从无到有的探究，离不开教师的启发引导。离不开教师的启发引导。 怎么启发引导？怎么启发引导？

22、提示与暗示提示与暗示 教师教师 通过适当的引导语通过适当的引导语 给学生以必要的给学生以必要的 提示和暗示提示和暗示; 学生学生 通过自己的思维活动通过自己的思维活动 获得获得 提示和暗示。提示和暗示。 提示提示和和暗示暗示的方法的方法运用运用“启发性提示语启发性提示语”发问发问 元认知元认知提示语提示语 认知性认知性提示语提示语 方法论方法论提示语提示语 启发式教学启发式教学是最好的教学方法是最好的教学方法 启发式的核心是启发式的核心是“问题问题”启发性提示语启发性提示语回答回答靠靠学生自学生自 己己 探究探究应该是应该是全体学生全体学生的探究的探究如何如何面向全体学生探究？面向全体学生探究

23、？ 由远及近由远及近启发启发面向全体学生探究面向全体学生探究 启发性提示语启发性提示语通过发问通过发问“暗示暗示”，引导发现线索，引导发现线索 提示语提示语“指向性指向性”不能太明确，太明确了不能太明确，太明确了 学生自己无须思考学生自己无须思考 离目标离目标越远，越远，指向性指向性越隐蔽越隐蔽思维挑战性越强思维挑战性越强 离目标离目标越近，越近，指向性指向性越明了越明了思维挑战性越弱思维挑战性越弱 由远及近由远及近启发：启发： 由远及近，分级提问，给每个学生自己出力的机会。由远及近，分级提问，给每个学生自己出力的机会。 只问不答，若需回答，先弱后强，避免知道者告诉不知道者。只问不答，若需回答

24、，先弱后强，避免知道者告诉不知道者。 独立思考，不同层次学生获得不同的启发，每个人获得发展。独立思考，不同层次学生获得不同的启发，每个人获得发展。 最终实现最终实现学生学会用学生学会用启发性提问启发性提问来引导自己。来引导自己。 这就可以达到这就可以达到“教他怎么学教他怎么学”，“教他学会思考教他学会思考”了。了。 离目标近的暗示离目标近的暗示 过渡到过渡到 离目标远的暗示离目标远的暗示 对不同层次学生进行引导对不同层次学生进行引导“由远及近，分级提问由远及近，分级提问” 7. 进行进行“反思性教学反思性教学” 回顾回顾, 质疑质疑, 追问追问, 反诘反诘数学教学的常用教学手段数学教学的常用教

25、学手段. 回顾刚才，回顾过去；回顾过程，回顾方法回顾刚才，回顾过去；回顾过程，回顾方法 有什么启示？能得到什么？能否利用？有什么启示？能得到什么？能否利用？ 有什么规律？能概括出什么？能提出什么问题？有什么规律？能概括出什么？能提出什么问题？ 质疑：质疑：凭什么这样认为？凭什么这样认为？果真如此吗？这样解决严谨吗？果真如此吗？这样解决严谨吗？ 追问：追问：怎么想到的？为什么这样想？有不同意见吗？怎么想到的？为什么这样想？有不同意见吗？ 接下来会怎么想？这样做有什么好处？接下来会怎么想？这样做有什么好处？ 反诘：反诘：有什么疑问，能够完善它吗？有什么疑问，能够完善它吗？ 有没有漏洞有没有漏洞?

26、有漏洞怎么办有漏洞怎么办? 能够修正吗能够修正吗? 如何克服如何克服? 要是这样要是这样(提出反例提出反例)怎么办？怎么办？ 数学思维活动数学思维活动的基本方式的基本方式归纳归纳与与演绎演绎 爱因斯坦爱因斯坦: 西方科学发展的两大支柱是西方科学发展的两大支柱是 归纳与演绎归纳与演绎. 杨振宁杨振宁: 我在中国学到了演绎我在中国学到了演绎, 我在美国学到了归纳我在美国学到了归纳. 中国传统的数学教学普遍中国传统的数学教学普遍“重演绎重演绎, 轻归纳轻归纳”. 归纳归纳发现和提出问题发现和提出问题提供了发明和创造提供了发明和创造. 演绎演绎论证结论论证结论提供了科学性提供了科学性, 严谨性和理性思

27、维严谨性和理性思维. 在归纳与演绎之间寻找适当的平衡在归纳与演绎之间寻找适当的平衡归纳先导归纳先导, 演绎跟进演绎跟进 8. 归纳先导归纳先导, 演绎跟进演绎跟进 演绎推理演绎推理 论证反驳论证反驳 理性思维理性思维 特殊特殊 一般一般的归纳的归纳猜想猜想 具体具体 抽象抽象的归纳的归纳猜想猜想 多到一多到一 经验性经验性归纳归纳猜想猜想 合情推理合情推理 自然逻辑自然逻辑猜想猜想 “理解题意理解题意” 解题学习的第一环节解题学习的第一环节 解题第一位的是理解题意解题第一位的是理解题意, 但它却往往被学习者所忽视。但它却往往被学习者所忽视。 善于解题的人用一半时间理解问题善于解题的人用一半时间

28、理解问题, 只用另一半时间完成解答只用另一半时间完成解答 学生不能很好解题的最重要原因学生不能很好解题的最重要原因, 没有树立没有树立重视理解题意重视理解题意的意识的意识, 没有养成没有养成理解题意理解题意的良好习惯的良好习惯, 更没有掌握更没有掌握如何理解题意如何理解题意的方法的方法. 遇到一个陌生的问题，怎么去想？遇到一个陌生的问题，怎么去想？如何着手解题如何着手解题? 如何如何“从无到有从无到有” 地寻找思路地寻找思路, 由由“所有所有”探索探索“所所 无无” 如何着手解题如何着手解题?如何理解题意如何理解题意? 9. 解题教学解题教学教学生教学生“寻找解题思路寻找解题思路” 教学生教学

29、生学学 10. 教师是教师是“向导主角向导主角”, 学生是学生是“活动主活动主 体体” 教师要教师要真正真正带领学生带领学生 进行进行 “再发现再发现” 和和 “再创造再创造” 要以要以 进行发明创造进行发明创造 的方式的方式, 教教 “学什么学什么”和和“怎么学怎么学”. 教师作为教师作为 “教学向导教学向导”去去教教“学什么学什么”和和“怎么学怎么学” 教师的作用教师的作用就是就是“教学向导教学向导”启发引导启发引导, 不给答案不给答案. 把学生放在把学生放在探究探究的位置上的位置上引导引导他们他们 真正的探究靠学生自己真正的探究靠学生自己. 学生活动为主学生活动为主, 教师引导为辅教师引

30、导为辅; 独立思考为主独立思考为主, 团队合作为辅团队合作为辅; 思维活动为主思维活动为主, 外部操作为辅外部操作为辅; 人的活动为主人的活动为主, 技术支持为辅技术支持为辅. 自己自己去探究，去探究，自己自己去发现。去发现。 卢梭卢梭: 问题不在于告诉他一个真理问题不在于告诉他一个真理, 而在于教他而在于教他怎样去发现怎样去发现真理真理. 教师是教师是“主导主导” 教师是教师是教学向导教学向导的的主角主角。 学生是学生是“主体主体” 学生是学生是探究活动探究活动的的主体主体。 如何教建构新概念如何教建构新概念(1) 【案例】建构【案例】建构“分式分式”概念概念 由几个简单的实际问题建立起几个

31、方程由几个简单的实际问题建立起几个方程(创设情境，提出问题创设情境，提出问题) xx 4 1 50 5 1 1 50 10001000 xx 2 . 0 %)501 ( 3636 xx 这这三三个方程你们是不是都会解？个方程你们是不是都会解？右边两个不会解。右边两个不会解。 为什么不会解？你们发现了什么？为什么不会解？你们发现了什么？其中有从没见过的符号。其中有从没见过的符号。 哪些符号没见过？哪些符号没见过？ 保留带分数线的式子，擦去其它符号保留带分数线的式子，擦去其它符号 它们有什么不同？能不能对它们做个分类？它们有什么不同？能不能对它们做个分类？ 它们分别有什么特点？它们分别有什么特点？

32、 一组一组 未知量未知量x 不在分母上不在分母上 一组一组 未知量未知量x 在分母上在分母上 能不能给右边这组代数式下个定义？能不能给右边这组代数式下个定义？ 先只问不答；后回答由弱到强先只问不答；后回答由弱到强 xxxx xx %)301 ( 36 , 36 , 50 1000 , 1000 , 4 , 5 如何教创建新方法如何教创建新方法 (1) 【案例】解二元一次方程组【案例】解二元一次方程组代入法代入法 我教我教3个班，共个班，共132人，其中女生人数的人，其中女生人数的2倍比男生人数多倍比男生人数多39人。人。 我会提什么问题？我会提什么问题？男生、女生男生、女生 各多少人？各多少人

33、？ 你们会不会做？用什么方法？你们会不会做？用什么方法？列方程解列方程解大家列列看大家列列看 列出一元一次方程。列出一元一次方程。会不会解？会不会解？会！会！ 如果要你设：女生为如果要你设：女生为x，男生为，男生为y，怎么列方程，怎么列方程? 大家列列看大家列列看 (发现式探究发现式探究) 出现代入消元法和加减消元法。出现代入消元法和加减消元法。教师肯定代入法，对加减法不评价教师肯定代入法，对加减法不评价 你是怎么想到代入你是怎么想到代入(方法方法)的？的？ 为什么消元？为什么消元？可以化成一元一次方程可以化成一元一次方程 为什么要化成一元一次方程？为什么要化成一元一次方程？一元一次方程我们学

34、过了，会解一元一次方程我们学过了，会解 这给我们什么启示？这给我们什么启示？解决新问题可以转化成已解决的问题解决解决新问题可以转化成已解决的问题解决(思想思想) x+y=132 2x- -y=39 创创提提 设设出出 情情问问 境境题题 会不会解？大家自己解解看。会不会解？大家自己解解看。 反诘，追问：你怎么想到的？反诘，追问：你怎么想到的？ 如何教创建新方法如何教创建新方法 (2) 方程组解法学过没有？大家解解看，要独立思考。方程组解法学过没有？大家解解看，要独立思考。 (停顿停顿)看来有人不会解，那你会解什么方程？看来有人不会解，那你会解什么方程？(暗示目标暗示目标) (停顿停顿)这个方程

35、有什么不同？你打算怎么办？这个方程有什么不同？你打算怎么办？(暗示靠近目标暗示靠近目标) (停顿停顿)能不能变成自己会解的能不能变成自己会解的一元一元方程？怎么变？尝试一下。方程？怎么变？尝试一下。 (停顿停顿)二元变一元，要消去一个元，怎么消？尝试一下。二元变一元，要消去一个元，怎么消？尝试一下。 (引导式探究引导式探究) 【案例】解二元一次方程组【案例】解二元一次方程组代入法代入法 x+y=132 2x-y=39 ( (停顿停顿) )现在请哪个讲一讲？现在请哪个讲一讲？( (回答回答由弱到强由弱到强) ) 你是怎么想到代入的？你是怎么想到代入的？ 消去一个元。消去一个元。 为什么消元？为什

36、么消元？ 化成一元一次方程。化成一元一次方程。 为什么要化成一元一次方程？为什么要化成一元一次方程？ 一元一次方程我们学过了，会解。一元一次方程我们学过了，会解。 这给我们有什么启示？这给我们有什么启示？解决新问题可以转化成已会的问题解决解决新问题可以转化成已会的问题解决( (思想思想) ) 由由 启启 远远 发发 及及 提提 近近 示示 反诘，追问：反诘，追问： 你怎么想到的？你怎么想到的？ 活动一：创设情境，旧知新问活动一：创设情境，旧知新问 【情境一】套圈游戏【情境一】套圈游戏 设问：设问：游戏站成一排公平吗？怎样站才公平 ？ 设问：设问：你对圆有哪些了解？(圆心,半径,面积,轴对称,中

37、心对称) 【问题】圆究竟有怎样的特点【问题】圆究竟有怎样的特点？(要解决的核心问题课题) 如何教建构新概念如何教建构新概念(2) 活动二：自主画圆，抽取本质活动二：自主画圆，抽取本质 学生活动学生活动 用给定工具画圆用给定工具画圆 工具一：一根两端打结的棉线工具一：一根两端打结的棉线; 工具二：一根两端打结的皮筋工具二：一根两端打结的皮筋. 设问设问: 两种工具画圆有何感受？ 设问设问: 皮筋不好画，为什么？ 设问设问:皮筋有弹性怎么不好画？ (半径不确定。) 设问设问:用棉线画半径就确定啦？ 设问设问:你怎么让它确定呢？ 设问设问:棉线要保持什么样状态？ (“绷直”棉线，旋转一周) “圆圆”

38、 (围成圆形围成圆形) 设问设问:依据刚才画圆过程，圆是什么样图形？圆是什么样图形？ 设问设问:把棉线一端固定棉线一端固定是什么？是什么？ 设问设问:把棉线绷直棉线绷直，在数学上 它表示什么？表示什么？(定线段) 设问设问:另一端旋转一周另一端旋转一周是什么？是什么？ (点)固定代表？定点定点(O) ； (线)绷直代表？线段线段(OA)； 旋转一周, 另一端点另一端点(A)圆圆。 定义：定义：线段OA绕固定的一个端点O旋转一周, 另一个端点A所画出的图形叫作圆。 画圆步骤：三步曲画圆步骤：三步曲 设问设问:究竟什么是圆呢？根据画圆步骤画圆步骤用自己的语言作一个总结。 活动三：变化情境，发现关系

39、活动三：变化情境，发现关系 学生活动学生活动 用圆规再作一个圆。用圆规再作一个圆。 设问设问:两圆一样吗？怎么不一样？ (大小不同，位置不同。大小不同，位置不同。) 设问设问:圆的大小，位置由谁决定？ 半径半径决定大小决定大小, 圆心圆心决定位置决定位置. 设问：设问：为什么围成圆形 游戏就公平呢？ 圆上所有点到圆心距离相等 点在圆上点在圆上 d=r(定长定长) (圆的构造性定义) 引导概括圆的定义引导概括圆的定义启发思考，只问不答启发思考，只问不答 数量表示数量表示? 活动四：又变情境，深究关系活动四：又变情境，深究关系 【情境二】【情境二】甲乙站在 O的A, B处游戏，丙丁也来 参加，站在

40、图中P, Q处。 丙在圆内到圆心距离小于半径: 丁在圆外到圆心距离大于半径: 能用数量关系来表示这两种位置关系吗？ 点在圆内点在圆内 dr. 点在圆外点在圆外 dr. 【情境三】【情境三】又有小明来参加游戏，站在M点，但 地上的线几乎看不清了。小明怎样能知道自己 恰好站在圆上呢？(反诘反诘) 追问追问:为什么为什么? 追问追问:为什么？为什么？ 圆外或圆上圆外或圆上. 追问追问:为什么？为什么？ 结论结论: 圆上的点到圆心距离等于半径， 到圆心距离等于半径的点在圆上。 必须必须 OM=r。 到圆心距离为半径的点一定在圆上. 追问追问:这可能吗？这可能吗？ 不可能！ 否则，OMr。 形 数 位置

41、 数量 点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 dr 点在圆外点在圆外 dr 如果不在圆上，它可能在哪里？ ( (总结总结) ) (不合理) 追问追问: :为什么为什么? ? 大家有什么看法？ 活动五：再变情境，准确定义活动五：再变情境，准确定义 【情境二】【情境二】全年级, 全校乃至更多的人参加游戏, 点越来越多， 它最终变成什么图形？ 设问设问:那么圆可以看成什么集合？ 追问追问:无数个满足什么条件的点的集合？ 设问设问:能否重新定义圆？ 追问追问:能否换种说法？ 追问追问:两种说法哪一种更准确？ 追问追问:为什么？ 设问设问: 定义就是要确认圆是什么，确认以前有没有圆？ 圆还没有呢，

42、哪里来圆心、半径呀？所以是定点、定长准确. 设问设问:圆的内部、外部怎样定义呢？ 圆的 内部内部 是到圆心距离小于小于半径的点的集合。 圆的 外部外部 是到圆心距离大于大于半径的点的集合。 追问追问:圆与圆的内部, 外部都不同, 其实圆是什么？面，还是线？ 是线，不是“圆面”，是圆周。 圆. 无数个点的集合. 到圆心距离为半径. 第二种说法更准确. 圆是到定点距离等于定长的点的集合. 圆是到圆心距离等于半径的点的集合. 为什么要把圆心换成定点，圆心换成定长？ 没有. 确认确认: 圆是曲线，不是面圆是曲线，不是面. 圆是到定点距离等于等于定长的点的集合. 为什么这里说 圆心, 半径, 不 说定点

43、, 定长？ 圆已经有了 活动六活动六 变式练习变式练习 把握本质把握本质 例例1已知圆O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离 为4.5cm，那么点P与圆有着怎样的位置关系？ 设问设问:求什么？点与圆有那些位置关系？换一种表达, 求什么？ 要判断点P在圆上圆内圆外, 怎么判断？根据什么？ 现有哪些条件？ 解解：r=4cm， OP=4.5cm，OPr，点P在圆外。 追问追问: “这道题给我们有什么启示？”(用提示语启发) 设问设问: “如何判断点与圆的位置？” “只需要比较什么就行了？” 理解题意理解题意 解题回顾解题回顾 例例2. 已知点A，请做出到点A距离为2cm的点的集合。 (1)圆的外部

44、是满足什么条件的点的集合？(强化定义) (2)请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的集合。 例例3. 如图：已知点A、B，且AB=4cm， (1)画出下列图形：到点A距离等于2cm的点的集合; 到点B的距离等于3cm的点的集合。 (2)在所画图中，到点A 距离等于2cm，且到点B 距离等于3cm的点有几个？把这些点标出来。 (3)在所画图中，到点 A 距离小于或等于2cm， 且到点 B 距离大于或等于3cm的点的集合是 怎样的图形？用阴影把它标出来。 例例4. 这是同学所画的图形，大家说说看 图中阴影是满足什么条件的点的集合？ 活动七活动七 课堂小结课堂小结 【问题】【问题】请谈谈通过今

45、天的学习，你对圆有什么新的认识？ “圆是由点的集合组成的. ”“圆是到定点距离等于定长的点的集 合.” “平面上的点与圆的位置关系，有 在圆上 ，在圆内 ， 在圆外.” “位置和数量之间怎么相互转化， d=r， dr， dr.” “圆是线段绕固定的端点旋转一周，另一个端点所画出的图形.” 课堂小结应放开让学生自己独立总结，不要师生一问一答象“打 乒乓”，培养学生归纳概括能力，教师只需帮助条理化，准确化。 学会思考同时，知识落到实处学会思考同时，知识落到实处 一、创设情境一、创设情境 复习引入复习引入 【问题一】【问题一】参加“五一歌会”，5位评委给我们班的打分是: 9.6分， 9.60分，9.

46、62分，9.64分，9.64分。我们班最后的得分是多少？ 二、提出问题，探索新知二、提出问题，探索新知 【问题二】【问题二】国庆节前，学校举行知识竞赛，我班派15人参加竞赛 共有3种得分85分，80分，90分，能求出这15人的平均得分吗？ 活动一：活动一：讨论提出先解决方案讨论提出先解决方案( (对解决方案提出猜想对解决方案提出猜想) ) 方案方案1：用三个成绩之和除以3； 方案方案2：需要每个成绩对应的人数。 设问设问: 应该用哪种方案？如果用方案2会如何？怎么求平均数？ 活动二：活动二：数学实验数学实验 【问题三】给【问题三】给每个成绩分配一个人数每个成绩分配一个人数, 这时怎么求平均成绩

47、这时怎么求平均成绩？ 如何教创建新方法如何教创建新方法(3)加权平均数加权平均数 85 3 908580 求算术平均数 (算术平均数思想) 提出本课真正要解决的问题。 85 555 590580585 学生学生15, 5, 5分配； 学生学生29, 4, 2分配；学生33,5,7分配。 设问：设问：怎么求平均数？ 设问：设问：“三种得分85，80，90，对应人数为5, 5, 5”是什么意思？ 两组数据之间是什么关系？ 5, 5, 5表示 85分，80分，90分出现的次数都是5次； 985分出现的次数，480分出现的次数，290分出现的次数。 385分出现的次数，580分出现的次数，790分出现

48、的次数。 指出：指出：各个成绩“出现的出现的次数次数”叫作 “权权”。 3 .84 249 290480985 设问：设问：大家给出了三种不同的权，结果怎么样？有什么发现？ 结果不同；权改变, 结果也随之改变；权越大, 对结果影响越大。 指出：指出：这种平均数叫作“加权平均数加权平均数”。 设问：设问：比较算术平均数与加权平均数，它们之间有什么联系？ 结论：结论：当权相等时，算术平均数与加权平均数是一样的。 教师引导: 学生探索, 提出各组数据意思： 追问追问:怎么求平均分？ 没有现成方法, 必须建构新方法。 7 .85 753 790580385 概括计算的方法概括计算的方法：用各分数与相应

49、次数乘积之和除以次数之和。 【问题四】【问题四】某同学平时成绩是88分, 期中90分, 期末成绩是82分, 按照30%，30%，40%计算，他的学期平均成绩是多少？ 设问：设问：这些百分数是什么意思？ 3个百分比是三个成绩所占的比例，反映所占的比例，反映了它们的重要程度不同重要程度不同。 这3个百分比可用比例式比例式 3:3:4 来表示。 2 .86 %40%30%30 %4082%3090%3088 三个成绩的“权权”。 怎么计算？怎么计算？ 分母上百分数和等于1，可省略 433 482390388 应该怎样计算？应该怎样计算？ 设问：设问：“权”有几种表示形式？ 三种：三种：数据的 出现次

50、数，百分比，比例式。 三、新知运用三、新知运用 深化理解深化理解 【问题五】【问题五】学校艺术节选拔主持 人,我班3人参加初选, 成绩如右: (1)用算术平均数，谁会胜出？ 仪表 语言 才艺 小明 70 70 86 小亮 90 75 51 小丽 60 84 78 75.3, 小明 胜出 设问：设问：用算术平均数选拔合理吗？你认为怎样做比较合理？ 权的分配不合理，应侧重仪表和语言，权重分配4:4:2。(小亮) (2)如果是校模特队选拔，这3项的权怎样分配比较合理？ 应侧重 仪表和才艺，权的分配4:2:4。(小明) (3)如果选一人参加星光大道海选，这3项的权怎样考虑比较合理？ 语言和才艺最重要，

51、权的分配2:4:4。(小丽) 归纳：归纳：在实际问题中，可以针对不同需要而侧重某些方面权重。 四、课堂小结四、课堂小结 本课收获本课收获 收获概念权(权重) 的三种形式； 收获方法加权平均数公式； 收获性质加权平均数与算术平均数关系； 收获思想加权可以为我所用。 把“权”定义为“表示数据在一组数据中出现的次数”，是对 “权”的 本质的准确把握。“重要程度”不是“权”的本质。 事实上“人数不同”，“行驶时间不同”，“颜色搭配比例不 同”等， 都不反映“重要程度”，所以把“重要程度”看作“权”是不正 确的。 仪表 语言 才艺 小明 70 70 86 小亮 90 75 51 小丽 60 84 78

52、运用用研究问题的一般方法教学运用用研究问题的一般方法教学 “复复 数数 的的 引引 入入” 复复 数数 的的 引引 入入 一、如何一、如何提出提出本节课的问题本节课的问题？ 卡当方程的解是什么？ (如何将10分成两数，使两数之积等于40.) 列方程 x(10-x)=40 x2+10 x+40=0 没有实数解。 但是 确实满足原方程，为什么说方程没有实数解？ 负数不能开平方。 这说明什么？ 问题：实数集不够用，怎么办？问题：实数集不够用，怎么办？ 二、如何二、如何寻找寻找 解决问题的办法？解决问题的办法？ 这是一个新问题。新问题。 人类解决问题最本原的方法是什么？ (特别是解决大问题的时候。)

53、从 已有方法 寻找 未知方法，从 已有知识 寻找 未知知识， 从 已经解决的问题 寻找 解决新问题的方法。 接下来你怎么想？接下来你怎么想？ 155 15 (教学生 学 提出 问题) (教学生 学 寻找 解决问题方案) (找找已有的知识和方法，已有的知识和方法，找找已经解决的问题！已经解决的问题！) 寻找寻找 解决的方案。 怎么解决怎么解决？ 负数开平方在实数集不能表示。 实数集不够用，怎么办？ (提出本课的核心问题提出本课的核心问题) 不是实数。 有没有遇见过类似的问题？有没有遇见过类似的问题？ 思考：(1)以往学习中有没有遇见过类似的问题？ (2)如果遇见过，解决了什么问题？怎样解决的？

54、(3)解决的过程有什么共同的特点(规律)？ (4)这些规律对解决当前的问题有什么借鉴作用？ 方法论提示方法论提示 语语 提 供 探 究 的 线 索 找找已有的知识和方法，已有的知识和方法，找找已经解决的问题！已经解决的问题！ (把问题交给学生，先思考，后交流。) 教师引导下的教师引导下的 学生学生 主动探究主动探究 这些问题其实都是这些问题其实都是“线索线索”，它不是现成的线索，只提供寻找线索的方向，它不是现成的线索，只提供寻找线索的方向， 教师为学生探究教师为学生探究 提供提供必要必要的的线索线索(思考的方向思考的方向) (教学向导教学向导)； 真正的线索还需要学生自己去寻找，真正的线索还需

55、要学生自己去寻找，探究的完成探究的完成靠学生自己靠学生自己 (学习主体学习主体) 。 寻找寻找“线索线索”的的问题最有价值，问题最有价值，方法论提示语方法论提示语更具一般性更具一般性启发大方法。启发大方法。 以学生独立活动为主，由以学生独立活动为主，由 上述思考问题上述思考问题 引导。引导。 (1) 以往学习中以往学习中 “有没有遇见过类似的问题？有没有遇见过类似的问题？” 自然数集 整数集 有理数集 实数集 探究数系扩充的规则探究数系扩充的规则 (2)它们分别它们分别解决了什么问题？怎么解决的？解决了什么问题？怎么解决的？ 自然数集减法运算不够用(例)，引进负数(整数集)减法运算得以实施。

56、整数集除法运算不够用(例)，引进分数(有理数集)除法运算得以实施。 正数开方运算不够用(例)，引进无理数(实数集)正数开方运算得以实施。 (3)解决的过程有什么共同的规律？解决的过程有什么共同的规律？ 归纳归纳上述 “三次数集扩充有什么规律？” (交给学生思考交给学生思考) (学思维方法) (1)原数集 有 某运算不能问题； (2)引进新数 (原数集包含于新数集)； (3)使不能运算总能进行； (4)原有的运算及其性质在新数集仍然保持。 (4)这些规律对解决我们的问题有什么借鉴作用？这些规律对解决我们的问题有什么借鉴作用？ 我们的问题是什么？ 数系扩充的规则对解决当前的问题有什么借鉴作用？ 象

57、前面的数集扩充一样，引进新数，构建新的数集。 数系 扩充 规则 (教学生 学学 建构建构 新方法) 实数集不能表示，实数集不够用，怎么办？ 盯着目标！盯着目标！ 找到新方法。找到新方法。 15 什么新方法什么新方法引进新数，构建新的数集。引进新数，构建新的数集。 四、引入新数四、引入新数(虚数虚数)，建立复数概念，建立复数概念 引进什么样的新数？ 象 这样的“怪物”很多吧？ ， 观察一下能发现什么？ =1 ， = 归纳概括 共同点共同点 实数 ， 引进什么新数呢？ 引进 作为新数新数(猜想)。 ， ， ， 15 151 这些数的形式有什么特点？其它的数 能不能 也写成这样的形式？ i0 + i

58、 ， 0 + ， 它们在形式上有什么共同特点？(思维方法运用) 都由两部分组成，前面是实数，后面是虚数。 i 2i 2 能不能对它们一般化？ 能不能写成统一形式？ z=a + b i (a，bR)，称为复数；a称为实部，b称为虚部。 全体复数称为复数集，用符号C表示。 引导，对“新数”的提出猜想： (教学生教学生 学学 建构建构 新概念新概念) 所有的负数开平方都可以这样表示。 i1515 i155155i155155 1 55 + 0i， 11 1 1 15 1 (然后再把 换成 i ) (学思维方法：归纳，概括，抽象) 最简单的是什么？ 。 (学思维方法：观察, 比较, 分析) 1 1 1

59、5 教学生学会思考教学生学会思考 南京师范大学南京师范大学 涂荣豹涂荣豹解解 题题 教教 学学 谢谢 谢谢 大大 家家 数学特色的数学特色的教学设计原理教学设计原理 1. “教学生学会思考教学生学会思考”的新授课原理的新授课原理; 2. “运用研究问题一般方法运用研究问题一般方法”的原理的原理; 3. “问题结构推进教学问题结构推进教学”的原理的原理 (“问题问题解决解决问题问题解决解决”结构结构) ; (每课提出问题每课提出问题说说，化新授课为解题教学，化新授课为解题教学说说，课堂问题结构，课堂问题结构说说) 4. “创设情境，提出问题创设情境，提出问题”的原理的原理 ; 5. “从无到有探究从无到有探究”的原理的原理; (引导式探究，发现式探究；教师引导策略，学生探究方式引导式探究，发现式探究；教师引导策略，学生探究方式) 6. “由远及近启发由远及近启发”的提示语原理的提示语原理; (元认知元认知, 方法论方法论, 认知性提示语认知性提示语) 7. “归纳先导，演绎跟进归纳先导，演绎跟进”的原理的原理 ; 8. “反思性教学反思性教学”的原理的原理(回顾，追问，反诘回顾，追问，反诘) ; 9.“以理解题意为核心以理解题意为核心”的解题教学原理的解题教学原理; (“学解新问题学解新问题”的解题教学的解题教学) 10. “教师是教学向导主角教师是教学向