备战2018高考数学二轮复习 难点2.5 函数性质与方程、不等式等相结合问题教学案 文

1、学必求其心得，业必贵于专精函数性质与方程、不等式等相结合问题函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的热点和重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大，函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线，它们贯穿于高中数学的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.本文就高中阶段学生存在的困惑加以类型的总结和方法的探讨.1函数与方程关系的应用函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程的解就是函数的图像与轴的交点的横坐标，函数也可以看作二元方程通过方程

2、进行研究.就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易,化繁为简的目的。许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.在高考中重点考查函数零点个数、零点范围以及与零点有关的范围问题，有时添加函数性质进去会使得此类问题难度加大.例1 【2018黑龙江齐齐哈尔一模】设函数。（1）当,求函数的单调区间;（2)当时，函数有唯一零点，求正数的值。思路分析：（

3、1)求导，易知：函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（2）,对m进行分类讨论，得到函数的最小值，函数有唯一零点即函数的最小值为零.点评：对于方程解的个数（或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等例2设函数，若函数有三个零点，,则等于 . 【答案】【解析】由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个,时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得，的值分别为，故答案为。 点评：本题主要

4、考查分段函数的图象和解析式；2、函数零点与方程根之间的关系及数形结合思想的应用,属于难题. 判断方程零点个数 的常用方法: 直接法:可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数零点个数就是方程根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；数形结合法:一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .本题判定方程的根的个数是就利用了方法。2 函数与不等式关系的应用函数与不等式都是高中数学的重要内容，也都是高考的重点，在每年的高考试题中这部分内容所占的比

5、例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分。在很多情况下函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质，也离不开解不等式的应用。例3【辽宁省凌源市2018届期末】若存在使得不等式成立,则实数的取值范围为（ ）a。 b。 c. d. 【答案】b数的取值范围是,故选b.点睛：研究函数有解问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化,根据不等式有解求参数取值范围，通常采用分离参数法,构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值,从而求出的范围着重考查了转化与化归思想的应用,同时考查了学生分析问题和解答问题的能力

6、. 例4已知函数（）（1)若函数的最大值为,，试比较与的大小；（2)若不等式与在上均恒成立，求实数的取值范围思路分析:（1）利用导数研究函数的单调性，求出其最大值，分两种情况比较大小；（2）由且得，,再由，得,可得结果.点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立（即可)或恒成立（即可)；数形结合（图象在上方即可）；讨论最值或恒成立;讨论参数。本题（2）就是利用方法求得实数的取值范围的。3 函数、方程和不等式关系的应用函数、方程、不等式的结合，是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式，体现了一般到特

7、殊的观念。也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系，在高中阶段，应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系，并把这种内在联系作为学习的基本指导思想，这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度。因此，要高三的复习中，对这部分内容应予以足够的重视。例5已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有思路分析：(1)当时，其定义域为，令在上是增函数故当时，；当时，；当时，；（2)当时,其定义域为，令 当或时，；当时，函数在上递增，在上递减,在上递增的极大值为，极

8、小值为，又当时，；当时,，或;(3）根据（1）的结论知当时,即当时， ，令 所以（3)根据（1）的结论知当时，即当时,，即令，则有，从而得，故得，即,所以点评：本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型。 利用导数处理不等式问题。在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式,然后构造新函数,利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用. 综合上面三种题型,可以采取以下几种技巧和方法：函数性质与方程综合时,要先将函数性质剖析清楚，尤其是单调性和对称性，然后在研究函数零点问题；函数与不等式综合时，重点是要学会构造函数，利用函数单调