实变函数论课后答案第五章1

1、实变函数论课后答案第五章1第无章第一节习题1试就0, 1上的D i r i chBe数D(x)和Riema nn函数R(x)计算D(x)dx 和 R(x)dx0,1 0,1解：回忆D(x) =xQ即d(x) = q(x) ( Q为R1上全体有理数0 x e R Q之集合)回忆：e(x)可测二E为可测集和P129定理2：若E是Rn中测度有限的可测集，f (x)是E上的非负有界函数，则f(x)dx二f(x)dx：= f (x)EE为E上的可测函数显然，Q可数，贝y m*Q =0， Q可测，Q(x)可测，有界，从而Lebesgue可 积由 P134Th4(2)知Q(x)dx 二Q(x)dx 亠 I

2、：Q(x)dx 二 1dx 亠 i 0dx0,10,1 Q0,1 Qc0,1 Q0,1 Qc=1 m(0,1Q) 0 m(0,1 一 Qc) =1 0 0 1 = 0回忆 Riemann函数 R(x): R:0,1 T R11n x =一口和门无大于1的公因子nmR(x)二 1x = 00x 壬0,1_Q在数学分析中我们知道，R(x)在有理点处不连续，而在所有无理点处连续，且在0,1上Riemann可积，R(x) = 0 a.e于0,1上,故R(x)可测(P104定理3),且R(x)dx 二 R(x)dx R(x)dx0,10,1 QQ而0_ R(x)dx _ 1dx=mQ=0(Q可数,故m*

3、Q=0)故QQR(x)dx 二 R(x)dx= 0dx=00,10,1 q0,1 -Q2.证明定理1(iii)中的第一式证明:要证的是:若mE f(x),g(x)都是E上的非负有界函数,则f(x)dx_ f(x)dx 亠 I g(x)dx-EE-E下面证明之：-；.0,有下积分的定义，有E的两个划分D1和D2使) f(x)dx , SD2(g). g(x)dx-_E2_E2此处sD1( f), Sd2(g)分别是f关于D1和g关于D2的小和数，合并D1,D2 而成E的一个更细密的划分 D ,则当SD(f g)为f(x)，g(x)关于D的小 和数时(f(x) g(x)dx_SD(f g)-SDf

4、 Sog-Sqf SD2g-f(x)dx-Eg(x)dxf (x)dx亠i g(x)dx - ；(用到下确界的性上2_E_E质和P125引理1)由；的任意性,令工一0,而得 (f (x) g(x)dx 1 f(x)dx 亠 1 g(x)dx-E-E3.补作定理5中.f(x)dx:的情形的详细证明E证 明 ： 令Em 二 EX lllxlF ml , 当 .f(x)dx： 时E:二 f (x)dx = lim f (x)dxEm Em-M 0 ,存在 m0 = m0 (M ) N ,当 m 一 m 时,2M :：:Em则存在k使Mf(x)dx=lim f(x)kdxJk-JtsC JEmf(x)

5、kdx二lim fn(x)kdx 二 lim fn(x)kdx uu n 厂 n 厂EmEm Em = lim fn(x)kdx 乞 limfn(x)dx lim fn(x)dx匸n_&Enr.E mEmE(利用fn(x)kdx有限时的结论，Th5中已详证)Em由 M 的任意性知 lim fn(x)dx 二：=f (x)dxnsc *十E证毕.4.证明:若f(x)是E上的非负函数,f(x)dx = O,则f(x)=Oa.eE证明:令En1二x|n ： f(x)辽 n 1,n =1,2, Fm =x|f (x)空 1m-bo-be则 Ex| f(x) 0(En) 一(Fn)n Tn叫f 可测，故

6、 En,Fm,Ex| f (x)0( n =1,2川l；m =12111)都是可测集,由 P135Th 4(2)和 f(x)dx = 0，f(x)非负知E0 二 f (x)dx _f (x)dx _ f (x)dx _ n dx 二 nmEn _ 0EEx;f(x) 0EnEn故 mEn =0,( n =1,2,|l()；同理 mFm =0,(m =1,2,|l()-bo-bo故 mEx | f (x) 0 _ mEn mFm = 0n 二m d故从 f (x)非负，Ex| f(x)=0 = E - Ex| f(x) 0，知 fx) 0 ae 于 E.证毕.5.证明：当mE:：时，E上的非负函

7、数的积分.f(x)dx二的充要条E件是-bokk、2 mEx| f (x) _2 :k =0证 明：令 Ek = E x f( x k 2 *10 , En 二 Ex|2n 乞 f(x) ：2n1,k =0,1,2,HlboEx|f(x)- UEnECEj =0当iQ , f非负，故从mE+知 n =00 乞f(x)dx ：:，而 f(x)dx 二f(x)dx ：f (x)dxEx|f(x)：?EEx|0f(x) ：?Ex|f (x) 1f (x)dx ： ： =f (x)dx :EEx|f(x)注意由单调收敛定理和f (X) _ 0可测知f(x)dx= f(x)dx =Ex|f(x) 1,E

8、nn _0.f(x)dx 二nEnim屮(x)f(x)dxTm： QEi(x)f(x)dxLeviTh=limn_j I-bon (x) f (x)dx = lim f(x)dx = lim f(x)dx f (x)dxEEi J 1E i i 卫 Ei7 Ei乜Eii 0Z J2“dx=E 2小口巳=2瓦 2nmEn 兰2E 2nmFn= 2nEx| f(xp2ni=0En0nTn=0nJ则有 . f(x)dx ：Ex;f(x) _1所以，若 v 2kmEx| f (x) _2k:,k=0则f(x)dx ： :，故充分性成立.E:1若 k n为证必要性，注意FkEmFk八mEi，令珂 卄一，

9、则宦0右k c n-J-y*-J-y*l-y00 2nmEx| f(x) _2n八 2nmFn 八 2叽 mEk；二 2n ：mEk；二 2n mEkn=0n=0n =0k=nn =0k=nn =0k=0-bo -bo二二 2n TmEk 二二 2nmEk 八 mE2n 八 mEk =0 n =0:kk=0 n=0k =0k 12 Tn =0k =02-1-bdk十=2 2kmEk-m(UEk)k -0心bo二 mEk(2k11) =為 2k1mEk mEkk -0k -0k -0-bo-bo=2、2kmEk-mEx; f (x)-1乞 2、f(x)dxk =k=0 Ek=2UEkf (x)d

10、x = 2f (x)dx _ 2 f (x)dx :Ex|f (x) 1E(mE ” 壯j mEx | f (x)亠1：:)证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是Fubini定理的应用，也可看成是Lebsgue基本定理的应用，或Levi定 anmm 0n =0mank -Fm-e- anm anmm=0n-0n =0m=0-be k%d 叫m)=kim： o、 anmd 叫m) n 二0k=lim k_ .n z：0be址be be0 anmd(m) =0 anmd 叫m)anmn=0 mz0nz0是R1上的一个测度(离散的)-m Njm =1J(A) =#A - N

11、, N 为自然数集， 需看成anxan(x) J当x三N 当 ，也可这样设送Z anm当 x Nn m m -bo -bd二 a,M 二 anm 二 b，贝k, p. Nk anmn 吕 m ：!P k anmm z! n 二P : -:,k :二二anm - b，令n =1 m T-bo -bo- -anmm=0 n =0-be -benmn =0 m =0k ；a 八 7 anm -b ,同理，b - a，贝Sa = b , l 二 anman(X)=n =0 m=0一1,2九为简单函数，f(x)imnX),则x _ nn : f(x)可测6.如果f(x),g(x)都是E上的非负可测函数，

12、并且对于任意常数a都有mEx| f (x) _ a = mEx | g(x) _ a则.f (x)dx = Jg(x)dx证明：若存在b 0使Ex | f (x) _ b - 二，贝卩f (Mdx = g )x dx:：结论成EE故-b a , a,b R1, Ex| f(x) _b：:，贝SEx| f(x) _a Ex| f(x) _b二 Ex|a 乞 f(x) ： bmEx | a _ f (x) ： b = mEx | f (x) _ a - mEx | f (x) _ b=mEx; g (x) _ a -mEx; g(x) _ b = mEx; a 乞 g(x) : b_kk 1-m

13、N，及 k =0,12|l(,2m-1，令 Em,厂 Ex|2m (x)：芦及Em,m2Ex| f(xm贝Um2mE 二 |jEm,k , Em,k 互不相交m2mE = U Em，k，k =0同样 Em,k =Ex| 存 g(x) /, Em,m2m 二 Ex|g(x) m，Em,k互不相交令 m(x)mm2 u八卫k =0 2mm2 kfmEm,k(X)，屮 m(X)=送 才 (x)，则屮 m(x)k =0 2Em,km(x)都是非负简单函数，且*m(X)Lm(X)_均为单调不减关于m，- m(X)f(X), m(x) g(x)注意到kk+1kk+1m(Em,k)二 mEx| 班乞 f (

14、x)：=mEx |却乞 g(x)：=m(Em,Qm2m km2m k故m(x)dxmmmk)而 m(Em,k) =m(x)dxEk =0 2k =0 2e故由 Levi定理知 f (x)dx = lim m(x)dx = lim m(x)dx 二 g(x)dxEEEE7.设mE- :, f (x)是E上的有界非负可测函数，0 (x)：M ,0 二 g0n) : g1n) viAgk：) = M, n=1,2,川使maxyi(n) -y(nJL) |i =1,2,|,kn=ln 0(n，),Ei(nEx|yi(n f(x) ： yi,in Ei(n) ,i = 1,2,11( ,kn； n =1

15、,231()证明:knf(x)dx=lim f( in)m(n)En 口4证明：显然，由f可测于E知，Ei(n)是可测集(-仁i kn,nN )且knEEi(n)i 4，又在 E(n)上小 f(x)閑表明 y(inV(xxSUPf(xy(n)记SDnKikn=L sup f(x)mE(n)(大和数)，Sd：inf f(x)mEj(n)(小i 4 x. Ei(n)i4 x 已)和数)则从f(x)有界可测知f(x)在E上可积(P129Th2,故一二:Sd f(x)dx = f(x)dx 二 f(x)dxzSD：:，又从 T Ei(n)知E_EEk：k：Z f()mE(：)玄迟 sup f(x)mE

16、i(n)=SD： -hsc i =1i 1 x- E(n)knf(x)dx-送 f()mE(n)兰 Sd：E7kn| f x dx - xeykf ( mE(n 岂 Sd： -Sd： 八i 二nyi-yini mEin( 1i=(从ln 0知)8 .设 mE :kn故 f(x)dx = limE心f (x)是E上的非负可测函数，f (x)dx ：,Ef( in)mE(n)en 二 Ex; f (x) - n证明:lim： men =0证明：由本节习题5知f(x)dx： : , mE O当r : O时|F(r。 r)-F(r)|=F(r)-F(r r)乞 M 他(汀 - Wn(r。 r)n O则

17、F(r)是连续的对般可测函数f(x)，令 fm(x)=彳(x)，彳 * ) M = min( f (x ),m ),则m, f (x) MO乞fN可测于E，且fN(x)f(x)于E，fN单调不减，故由Levi定理知limfmdx 二 f (x)dx :m 匚 EE一 ；0, N(；)，使 0 f(x)dx- fN(x)dx= f(x)-fN(x)dx ： EEE6对上述固定的N二N(J，FN(r)二fN(x)dx是连续于(0,二)上的Ex|x|r则 r0 (o, 二)，：r( ,r,N(厂-(止)0，当 | r - r。卜：:时|Fn (r) -Fn(o)| 二则当| r - ro;-时123

18、|F(r) - F(r。)国 F (r) Fn (r) | + | Fn(r) Fn (r。)| +1 Fn(r。) F (r。)L In + I n + I nlN L|F(r)-Fn()鬥.f(x)dx-.fN(x)dx|=|.(f(x)- fN(x)dx|Ex|XIIdEx| 刈日Ex|X| 0 ,三N (名)，使 | fN dx f dx k?,E SE3FN(,r) 0，当 r；0 时，：二：(N(；),；)当 0：r“ 时，化()()|近3当 0 ： r ：:.时0F(r)勻 F(r) -FN()(r)| 厅“(卫)匡 | f - fN()|dx，| FN()(r)|：；二=耳 E

19、333故 lim F(r) =0r_+由连续函数的中介值定理知，存在re 0使Co=F(r)=. f (x)dx ,E刈|刈如令巳=Ex|x|：r，则 巳 E， fdx=c，证毕.Ei11.设mE:，巳,E2,|,Em是E的m个可测子集，正整数k乞m,证明：若E中每一点至少属于k个Ei，则有i，使mEXmEm证明：反证，设Wi(i=1,2,HI,m)有mE cmE，则由于如 E , x至少属 mm于 k 个 Ei ,故 E 花(x) A k W E ),而 E u e，故i =1mm迟 m(EjCE)=臣 耳(x)dxJdx = kmE心E iEmmmkmE _ m(Ei E)二 mEi一 m

20、E = kmE 得矛盾i 1ifi=1 m所以3i使mE K巴mE .(徐森林书P242)m12.设mE: , f (x) . 0且在E上可测，证明：对任意 0,都有d 0 , 使只要Ei E , mEi _ ：,便有 f dx _ dEi、 、 、 1证明：反证，设工：o - 0, - k, TEk ：_ E, mEk 亠 “o，但 f dx ：Ekk11令 Fn=Ex|f(x)：n =1,2川| ； F 二Ex|f(x)_1则 Fn，F 都n +1nbo是可测集，且从f(x) 0知E=Ex|f(x)-n丄bo亠： mE _mFn mFn z4(Fn，F互不相交)R):mE -m(U& 一

21、F)：d， n 12n。、。乞 mEk 二 m(Ek 一(UFn - F) m(Ek 一 (EnVn0n07Fn - F) ：m(Ek 一 ( Fn - F)寸n Tn 42n0-be右所以 Tn使 mEmFn mFmFn-n 吕n 0 -12n0二m(E |jFn - F)故 m(Ek -心& - F) 一乡n=!2n。在 Ek UfF 上,nf(x)-所以1 1 1 f(x)dx_f (x)dxdxm(Ek k Ekn%n0 1山 1Ek ( Fn -F)Ek -( Fn _F)n七n Of- f)_n d1 rn。1 2:，得0 一丄二0得矛盾，故结论不成立n +1 2mE=0时，-E，

22、.f(x)dx=0，结论不会成立E113.设mE :, f(x)是E上的有界非负可测函数，证明有0, mE上的非负单调不增函数g(y)使对任意常数a都有善2mEx| f (x) _a =mEy 10 乞 y 乞 mE,g( y) _ a，进而证明f(x)dx 二 g(y)dyE0, mE证明：WsER1，令卩 f(S =mx| f(xi S 且 f*(t) = i nf s0|Af(s)兰 t，显然f*(t)是0,=)上的非负单调不增函数，因为-tlt2 ,s .Oif(s)乞t2；二；s 0|f(s)山，从而 f*(t2)- f*(ti)注 意 S f Lf (LfS，(从)而 f*(f 乂

23、s ) s)(1)又由Levi定理知Jf(s)是右连续的-Sn -； S,Sn s,3 s2|l(snSn1I ( I，贝S | f (X)|SnX | f(X)|Sn/lim f (Sn)f (x) As* = Hm f 丫刈f(x)|擒(y)dy = |Hm 鼻凶卩(x)|坍 (y)dynn，一n ?-RlrJ xiif(x)i s(y)dy 二 mx| f(x) | s = r(s)-t, SnOf(Sn)乞 tSn f*(t), 故从 Jf(s)右连续知(f*(t)=叫6)红即Jf(f*(t)t(2)令 *(s)二 mt|f*(t) s，则从 f* 非增，知Jf*(s) =supt 0

24、1 f*(t) s(3)事实上 一0 空t：f*(s)，贝S t ,t ：Jf*(s),f*(t ) s, f*(t) s，贝S0,t0, Jf.(s)tO;f*(t) s?0,.(s)，故t O|f*(t) s；=0jf*(s)故 supt 01 f *(t) s，f*(s)从(1) f(if (s)乞 s知，f (s) 一f* (s)，从(3)若t Jf.(s),贝y： f*(t)乞 s由( 2)叫(s) Lf(f*(t)乞t (注意单调不增！)由 t rf*(s)之任意性知 (s)if*(s)，所以 S (s) lf*(S)即 mEx| f (x) s = mx | f (x) s =

25、mt | f (t) sii-a R1 mE x | f (x) _ a = mP|E x | f (x) a = lim mEx | f (x) a nna-bea*I*I*=lim mt; f (t) a =t; f (t) a = mt, f (t) _ ann n4n注意：t mE时 f*(t) =0，故当 a 0时t| f*(t) _a 0, mEmx | f (x) _ a = mt 10 _t _ mE, f (t) _ a当 a m 0时，mx | f (x) _ a = mEmx|0 _t _mE, f*(t) _a二 mt |0_t _mE =mE.所以有 mx | f (

26、x) _ a = mt | 0 乞t 乞 mE, f *(t)亠 a.令g(t)二f*(t)即证明了本题的第一部分.记0, mE = I,则 ml = mE 且 mEx | f (x)丄 a二 ml y | g(y)丄 amx | f (x) : a二 mE mx| f (x) _ a二 ml 一 ml y | g(y) _ a二 ml y | g(y) ： a故- b a，有mEx | f (x) ： a -mEx | f (x) : b = mEx | b 玄 f (x) ： a二 ml y | b 弐 g(y) ： a14.设 fn(x), n =1,2,3,|(都是 E 的非负可测函数

27、，fn(X)_fm(X)，(xE, n=1,2,3川 |)，fx()m=(n女 n 并且有 n 使, fn0(x)dx 十，举例E说明，当fn(x)dx恒为=时，上述结论不成立E证明： f(x)dx=lim fn(x)dxEf证明：令 Sn(X)=fn(X)一 fn(X),( n 一 n)，则 Sn(X)非负可测，且 Sn i( X)_ Sn(X),lim Sn (x)二 fno (x) - f (x),n_ r对 Sn(X)用 Levi 定理得 lim sn (x)dx 二 lim sn (x)dxfno (x)dx 一 nim fn (x)dx = (fn (x) 一 f (x)dx 二

28、fno (x)dx 一 f (x)dx , E EEEE0 fn (x)dx ：,Elim fn (x)dx = f (x)dx 成立.n ：EE反例：令E Rn可测，mE = ：,1fn(x) 于 E 上，nfl(X)|l(fn(X) fn 1(X) - I0于E上,lim fn(x) = 0 二 f (x)于 En.上，且 fn(x)dx = mE =：，enf (x)dx = 0 = lim fn (x)dx 二：nc耳EE15.设f(x)是可测集E上的非负可测函数，如果对任意-mN，都有f (x)mdx 二 f(x)dx :EE则f(x)几乎处处等于一可测集合的示性函数.证明：令 Eo

29、 二 E x| f( X 0, El 二 Ex| f(x) =1， E：二 Ex| f(x) 1，E =Ex|0 ： f(x) ：1，贝卩 E 二 E0 _巳E由于f(x)非负可测，故f(x)m ( -m N )也非负可测，故由Fatou引理二 mE：二 ljm f(x)mdx空 Um f(x)mdx Um .f(x)mdx 二 f (x)dx 0于 E 上(予m)，由此可知EmE =0 (本节第4题)(Lemma :若g 0可测于可测集 E上， g(x)dx=0，贝S mE = 0EAA证明：令 FEx|R (x)q，FEx|g(x)_1，则 E =-k N10 _ mF： ： _ g(x)

30、dx _ g (x)dx = 0,mF： - 0EmFk g(x)dx g(x)dx 二 0,mFk 二 0 k 1FkeF：-be贝S mE 二 、 mFk mF： = 0 )k A由此可知，f(x) = 1于巳上0, ae于 Eic上所以对几乎处处x E 有 f (x)二xE1x E116.证明：如果f(x)是E上的可测函数,则对于任意常数a 0都有1mEx| f (x) _a | f (x) 0xa emEx| f (x) _ a乞 exp f (x)dx证明： | f (x) |dx -EEJ | f (x) |dx AamEx | f (x) Aa |Ex|f (x) _a|则 mE

31、x | f(x)亠 a| _ 丄 | f(x)0xaEf (x)又若 x E，贝S f (x) _ a= ef(X)_ ea，故 Ex | f (x) _ a = Ex | exp f (x)_ ea ，从而由前一部分结果知mEx| f (x) 一 a二 mEx | exp f (x) 一 ea二 mE x |exp f (x) 一 ea |込 | exp f (x) | dx = e： exp f (x)dx17 .证明；如果f(x)是R1上的非负可测函数，则对任意实数a,b,c,t,a : b,c 0，都有f (x)dxf (cx t)dx =-a,bCca t,cb t证明：1)若f(x)二E(x)，( E为R1上任一可测集)，则结论成立，这里1,xEE(X):-匚0,x E111此时f (x)dxdx m(Eca t,cb t)cc