2021届山东高考数学教学案：解答题专项突破（五）　圆锥曲线的综合问题含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2021届山东高考数学一轮创新教学案：解答题专项突破（五）圆锥曲线的综合问题含解析解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高,通常以压轴题的形式呈现热点题型1圆锥曲线中的定点问题典例1(2019广州二模）已知抛物线y24x的焦点f与椭圆c:1(ab0）的一个焦点重合,且点f关于直线yx的对称点在椭圆上(1)求椭圆c的标准方程

2、;(2）过点q0，且斜率为k的动直线l交椭圆于a，b两点,在y轴上是否存在定点m，使以ab为直径的圆恒过这个点？若存在，求出m点的坐标,若不存在，说明理由解题思路（1)求出抛物线的焦点f关于直线yx的对称点，结合已知条件及a，b,c的关系，求解椭圆的标准方程(2)假设存在定点m，使以ab为直径的圆恒过这个点，求出ab垂直于两坐标轴时以ab为直径的圆的方程,联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论规范解答(1）由抛物线y24x，得其焦点为f(1,0)，从而得点f关于直线yx的对称点为(0，1)，故b1，c1,因此a，椭圆c的标准方程为y21。（2)假设存在定点m，使以ab为直径的圆

3、恒过这个点当abx轴时，以ab为直径的圆的方程为x2y21。当aby轴时,以ab为直径的圆的方程为x2y2。联立,得定点m(0,1)证明：设直线l：ykx，代入y21，有(2k21)x2kx0。设a（x1，y1)，b（x2，y2），x1x2，x1x2。则（x1，y11)，（x2，y21）;x1x2kx1kx2（1k2)x1x2k（x1x2）（1k2)k0，所以在y轴上存在定点m(0,1),使以ab为直径的圆恒过这个定点典例2（2019北京高考)已知椭圆c：1的右焦点为（1，0)，且经过点a（0,1）（1)求椭圆c的方程；(2)设o为原点，直线l:ykxt（t1）与椭圆c交于两个不同点p，q，直

4、线ap与x轴交于点m,直线aq与x轴交于点n。若omon|2，求证:直线l经过定点解题思路（1）由已知条件直接求b,c.再依据a2b2c2求a，写出椭圆c的方程（2）设p(x1，y1）,q(x2，y2)，写出直线ap的方程，求xm。利用y1kx1t和|om|xm|，把|om|用k，t，x1表示，同理表示on|，直线l与椭圆c的方程联立,推出x1x2，x1x2。利用om|on|2，求t，从而得到定点规范解答(1)由题意，得b21,c1，所以a2b2c22。所以椭圆c的方程为y21.（2)证明:设p（x1，y1）,q(x2，y2），则直线ap的方程为yx1.令y0，得点m的横坐标xm.又y1kx1

5、t,从而|omxm|.同理，on。由得(12k2)x24ktx2t220，则x1x2，x1x2.所以|omon2。又om|on|2，所以22.解得t0，所以直线l经过定点（0,0)热点题型2圆锥曲线中的定值问题典例1（2019全国卷）已知点a，b关于坐标原点o对称，ab|4,m过点a，b且与直线x20相切(1）若a在直线xy0上，求m的半径；（2）是否存在定点p，使得当a运动时，ma|mp为定值?并说明理由解题思路（1)由点a，b关于坐标原点o对称和点a在直线xy0上知，点a，b都在直线xy0上，于是得点m在线段ab的垂直平分线,即yx上,设圆心m为（a，a)根据m与直线x2相切和，求a从而得

6、到m的半径(2)联系第(1)问求圆心m坐标的方法找等量关系，求出m的轨迹方程,进而利用相应曲线的性质求|ma，|mp|,判断ma|mp|是否为定值规范解答(1)因为m过点a，b，所以圆心m在ab的垂直平分线上由已知a在直线xy0上，且a，b关于坐标原点o对称，所以m在直线yx上，故可设圆心m为(a，a）因为m与直线x20相切，所以m的半径为ra2.由已知得ao2。又，故可得2a24（a2）2，解得a0或a4.故m的半径r2或r6.（2）存在定点p（1,0)，使得ma|mp为定值理由如下:设圆心m为（x，y），由已知，得m的半径为rx2，ao|2。由于，故可得x2y24（x2）2，化简得m的轨迹

7、方程为y24x.因为曲线c：y24x是以点p(1,0）为焦点,以直线x1为准线的抛物线，所以|mp|x1。因为|mampr|mp|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点p(1，0）典例2(2019青岛三模）已知o为坐标原点，点f1，f2为椭圆m:1（ab0）的左、右焦点,g为椭圆m上的一个动点，gf1f2的最大面积为，椭圆m的离心率为。（1）求椭圆m的标准方程；（2）过抛物线n:x2y上的一点p与抛物线n相切的直线l与椭圆m相交于a,b两点，设ab的中点为c，直线op与直线oc的斜率分别是k1，k2，证明:k1k2为定值解题思路(1)根据题意，列方程组，结合a,b，c的关系即可求得a和b的值，

8、进而求得椭圆方程(2）通过求导求得直线ab的方程，代入椭圆方程,利用根与系数的关系及中点坐标公式,即可求得k1k2为定值规范解答（1）因为gf1f2的最大面积为，椭圆m的离心率为。所以又因为a2b2c2，所以a2，b,所以椭圆m的标准方程为1。(2)证明：设pt，a(x1,y1），b(x2，y2）,因为抛物线方程n:yx2，对其求导得yx，则直线ab的方程为yt（xt)t2xt2,将直线ab的方程代入椭圆方程1，可得12(1t2）x212t3x3t4480,因为x1x2，y1y2（x1x2)，所以点c,，所以k1，k2,所以k1k2。热点题型3圆锥曲线中的证明问题典例1已知抛物线c:x22py

9、(p0），过焦点f的直线交c于a，b两点，d是抛物线的准线l与y轴的交点（1）若abl，且abd的面积为1，求抛物线的方程；（2）设m为ab的中点，过m作l的垂线，垂足为n。证明：直线an与抛物线相切解题思路(1)判断abd的形状，求|fd,|ab。由abd的面积为1，列方程求p,得抛物线的方程（2）将直线ab的方程与抛物线c的方程联立，消去y并整理，结合根与系数的关系用k,p表示m,n的坐标求kan:斜率公式，导数的几何意义,两个角度求斜率相等，证明相切规范解答（1)abl，abd为等腰三角形，且fdab，又|fdp，|ab|2p.sabdp21。p1,故抛物线c的方程为x22y。（2)证明

10、：显然直线ab的斜率存在，设其方程为ykx，a，b。由消去y整理得，x22kpxp20。x1x22kp，x1x2p2。m，n。kan.又x22py，y。抛物线x22py在点a处的切线的斜率k。直线an与抛物线相切典例2(2019福州三模）已知椭圆c：1(ab0)的左焦点为f（1,0），过f且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆c的方程；(2）已知点m（4，0)，过f作直线l交椭圆于a，b两点,证明：fmafmb。解题思路（1)根据焦点坐标求c，由点c，在椭圆上和过f且垂直于x轴的弦长为3，列出关于a，b的方程,结合a2b2c2求出a，b，得出椭圆的方程(2)先讨论直线l斜率不存在

11、的情况，再讨论直线l斜率存在的情况设直线l的斜率为k,列出直线l的方程,并与椭圆方程联立,消元得到关于x的方程根据根与系数的关系计算出kamkbm0，从而得出结论规范解答(1）由题意，知c1,把x1代入椭圆方程,得1，解得y，,又a2b21，得a2,b,椭圆的方程为1.(2)证明：当直线l斜率不存在时,由对称性知fmafmb；当直线l斜率存在时，设直线l的方程为yk（x1)，代入椭圆方程,得(34k2）x28k2x4k2120，设a(x1，y1），b(x2，y2），则x1x2,x1x2,kamkbm，2x1x25(x1x2)880,kamkbm0,fmafmb。综上，fmafmb.热点题型4圆

12、锥曲线中的最值与范围问题典例1（2019包头二模）设f为抛物线c:y22px的焦点，a是c上一点，fa的延长线交y轴于点b，a为fb的中点，且|fb|3。（1）求抛物线c的方程;（2)过f作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与c交于m，n两点，直线l2与c交于d，e两点，求四边形mdne面积的最小值解题思路（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得p，则抛物线c的方程可求(2）由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为yk（x1)，与抛物线方程联立，求出mn，同理可求|de|实际上，在|mn的表达式中用代替k即可，可得四边形mdne的面积表达式，再利用基本不等式求最值规范解答（1）如图，

13、a为fb的中点，a到y轴的距离为，af，解得p2.抛物线c的方程为y24x。(2)由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为yk（x1）由得k2x2(2k24)xk20。0，设m(x1，y1）,n（x2，y2）,x1x22,则|mn|x1x2241；同理设d（x3,y3)，e（x4，y4)，x3x424k2，则dex3x424（1k2)四边形mdne的面积s|mn|de|82k232.当且仅当k1时，四边形mdne的面积取得最小值32.典例2如图，椭圆c:1（ab0)的右顶点为a（2,0)，左、右焦点分别为f1，f2,过点a且斜率为的直线与y轴交于点p,与椭圆交于另一个点b，且点b在x轴上的

14、射影恰好为点f1.（1）求椭圆c的标准方程;（2）过点p且斜率大于的直线与椭圆交于m，n两点（|pm|pn）,若spamspbn,求实数的取值范围解题思路(1）求点b的坐标根据kab列方程由题意得a2，a2b2c2，解方程组求a，b，c，写出椭圆c的标准方程(2）spamspbn与的关系点m,n坐标之间的关系直线mn的方程与椭圆c的方程联立，消去y整理用根与系数的关系得出点m，n的坐标之间的关系式推出与k的关系，并根据k求范围，找到所满足的不等式，求出的取值范围规范解答(1)因为bf1x轴,所以点b，所以所以椭圆c的标准方程是1.（2）因为（2)，所以.由（1)可知p（0,1)，设直线mn：ykx1，m（x1，y1），n（x2，y2），联立方程,得化简得，（4k23)x28kx80.得()又(x1，y11)，(x2，y21）,有x1x2，将x1x2代入（*）可得，.因为k，所以(1，4),则1240,解得k（k0)，设