普通光纤基础理论5

1、3.3 截止条件截止条件 以上所讨论的各种模式仅是光波导中可能以上所讨论的各种模式仅是光波导中可能 存在的模式，某一模式是否实际存在于光波导存在的模式，某一模式是否实际存在于光波导 中，则要根据它所特有的截止条件来判断。对中，则要根据它所特有的截止条件来判断。对 于于结构结构一定的一定的(即即n1、n2及及a值值一定一定)光波导，光波导， 每一可能存在的模式都有自己的截止条件。每一可能存在的模式都有自己的截止条件。 传输模传输模:从式从式(77)可知，当可知，当x2r=时，时， km(x2r)exp(-x2r)。如果。如果x20是实数，是实数， 表明表明包层中的场随包层中的场随r增大而单调地减

2、小。增大而单调地减小。 截止条件截止条件:如果当如果当x20时，包层中的时，包层中的 场不再单调减小，表明它不再是传输模，即传场不再单调减小，表明它不再是传输模，即传 输模被截止输模被截止。这样，在色散关系式中令。这样，在色散关系式中令x2=0 即可求得其截止条件。即可求得其截止条件。 对对TE0n模或模或TM0n模，因为模，因为m=0，所以式，所以式 (87)变成变成: (94) 对对TE0n模模: 22 0000 12 0000 ()()()() 0 ()()()() JUKUJUKU kk UJ UWK UUJ UWK U (95) 对对TM0n模模: (96) 显然，当显然，当W0时，

3、式时，式(95)和式和式(96)都都 要求要求J0(U)=0，这就是，这就是TE0n和和TM0n模的截止模的截止 条件。条件。因为因为J0(U)是个振荡函数，它有许多根是个振荡函数，它有许多根 00 00 ()() 0 ()() JUKU UJ UWK U 2 001 2 200 ( )( ) 0 ( )( ) JUKUk k UJ UWK U n=1时时U01=2.41，当纤芯半径，当纤芯半径a的值使的值使 U012.41时，时，TE0n模和模和TM0n模就截止模就截止 而不复存在了。而不复存在了。 n=2时，时，U02 =5.52，当，当a值使值使U015.52 时，时， TE0n模和模和

4、TM0n模就截止而不复存在。模就截止而不复存在。 对对HEmn和和EHmn模，因为模，因为m0，所以情，所以情 况要复杂得多。故略去繁琐的数学运算，只给况要复杂得多。故略去繁琐的数学运算，只给 出如下结论。出如下结论。 HE1n模模:J1(U)=0，当，当n=1时，时，U11=0， 说明它没有截止限制，所以称说明它没有截止限制，所以称HE11模为光波模为光波 导中的优势模导中的优势模(即该模总是存在即该模总是存在)。 HEmn(m2)模模 (97) 这时模式截止条件与折射率这时模式截止条件与折射率n1，n2值有关。利值有关。利 用公式用公式 可将可将(97)式化简为式化简为 。当。当 2 1

5、1 2 ()1()() 1 mm nU JUJU nm 1 2 (1)()1 ()() 2 m mm mJU JUJU U 22 221 22 21 ( ) ( ) m m JUnn JUnn n1n2时，即纤芯和包层折射率差很小时，即时，即纤芯和包层折射率差很小时，即 得到得到Jm-2(U)=0。 对对EHmn模模(m1)，Jm(U)=0但但U0， 这里这里U0表示表示m=1时时Jm(U)=0的第一个根要的第一个根要 从从U0的根算起。如的根算起。如 EH11模模: U11=3.83,当纤芯半径当纤芯半径a值使值使 U113.83时时EH11模就截止而不能存在了。模就截止而不能存在了。 几个

6、低阶模的截止条件列于表几个低阶模的截止条件列于表1。 现进一步讨论上述截止条件的物理意义。现进一步讨论上述截止条件的物理意义。 从式从式(78)可求得可求得: 表1 低阶模的截止条件 (98) n m 12345模式模式 02.4055.5208.65411.79214.931TE.TM 103.8327.01610.17313.324HE 13.8327.01610.17313.32416.471EH 25.1368.41711.62014.79617.960EH 36.3809.76113.01516.22319.409EH 47.58811.06514.70017.61620.827EH

7、 2 2222 2121 2 ()xnnx c 式中，式中，是光波频率，是光波频率，c是光速。是光速。 截止频率截止频率:当当x22=0时，令时，令=c。 因为因为x1=Umn/a，所以，所以: (99) 该式说明了截止频率与光波导参量之间的关系该式说明了截止频率与光波导参量之间的关系 。在纤芯半径。在纤芯半径a，纤芯与包层的折射率，纤芯与包层的折射率n1和和n2 一定时，一定时，如果光波频率如果光波频率c，则相应的模式，则相应的模式 就不能在波导中传播。就不能在波导中传播。 对对TE01(或或TM01)模模: 22 12 mn c Uc a nn 对对HE11模，模，c=0此式表明此式表明H

8、E11模没有截止模没有截止 频率。因此频率。因此HE11模模是光纤波导中的是光纤波导中的优势模优势模， 称为称为基模基模。它的。它的单模工作频率范围单模工作频率范围是是: (100) 上式可改写为上式可改写为: 22 12 2.41 c c a nn 22 12 2.41 0 c a nn 22 12 02.41 a nn c 归一化频率参量归一化频率参量(V) (101) 单模光纤波导单模光纤波导:当当V2.41时其它高阶模就出时其它高阶模就出 现，现，V值愈大，出现的模式就愈多，值愈大，出现的模式就愈多， 对式对式 (87)求解，可得到各模式传播常求解，可得到各模式传播常 数数与归一化频率

9、参量与归一化频率参量V的关系曲线，如图的关系曲线，如图 22 12 a Vnn c 16所示。图中曲线明显反映出，随着所示。图中曲线明显反映出，随着V值增值增 大传输模式不断增多的情况。大传输模式不断增多的情况。 图16 归一化传播常数/k与参量V的关系曲线 4 阶跃光纤的标量近似阶跃光纤的标量近似 在分析光纤时，一般采用的近似方法之一在分析光纤时，一般采用的近似方法之一 为为标量近似法标量近似法: 阶跃光纤里的横向电场阶跃光纤里的横向电场( ， )或横向磁或横向磁 场场( ， )的幅度满足标量亥姆霍兹方程的幅度满足标量亥姆霍兹方程。 (实际上，已知只有直角坐标系里各分量或实际上，已知只有直角

10、坐标系里各分量或 圆柱坐标系里的圆柱坐标系里的Ez、Hz分量才严格满足亥姆分量才严格满足亥姆 霍兹方程霍兹方程。) 现在假设现在假设 ， 能够满足，就是假设它们能够满足，就是假设它们 的分布彼此相同，相对关系到处不变，的分布彼此相同，相对关系到处不变，横向横向 电场的极化电场的极化(偏振偏振)方向到处相同方向到处相同(即偏振方即偏振方 向不变向不变)。 r EE r H H r EE 这种近似在这种近似在弱传导弱传导的情况下，即相对折射的情况下，即相对折射 率差很小率差很小 (102) 以及入射角很小以及入射角很小(即与光纤轴平行即与光纤轴平行)的光纤里，的光纤里， 传导模的一般理论将大大简化

11、传导模的一般理论将大大简化(弱导情况弱导情况:纤纤 芯中电磁波几乎是横波芯中电磁波几乎是横波Ez=Hz=0；可不考可不考 虑介质分界面对电磁波偏振态的影响虑介质分界面对电磁波偏振态的影响)，并能，并能 得到好的计算精度。得到好的计算精度。 一般模式理论一般模式理论: 22 1212 2 11 1 2 nnnn nn Ez、Hz严格满足亥姆霍兹方程。严格满足亥姆霍兹方程。 标量近似标量近似( ): 也满足亥姆霍兹方程，也满足亥姆霍兹方程，横向横向 分布彼此相同，相对关系到处不变，极化分量分布彼此相同，相对关系到处不变，极化分量 方向相同。方向相同。 在在弱传导近似下弱传导近似下，普通光纤的数值孔

12、径可，普通光纤的数值孔径可 以近似表示成以近似表示成: (103) 光纤的归一化频率是光纤的归一化频率是: zzrr EHEHEH 规则波导理论 ， 1 rr EHEH ， 1 2 1 . .(2 )N An (104) 式中的式中的a是是纤芯半径纤芯半径，k0为为自由空间的波数自由空间的波数。 这时纤芯和包层交界处的边界条件是在两这时纤芯和包层交界处的边界条件是在两 种介质的交界处，种介质的交界处，标量本身连续，标量在与边标量本身连续，标量在与边 界正交的方向上界正交的方向上(即法线上即法线上)的变化率连续；的变化率连续；就就 是横向场的幅度和它的幅度沿是横向场的幅度和它的幅度沿r方向上的变

13、化方向上的变化 (即即 )连续。连续。 1 22222 2 12010 ()(2 )VUWannkn k a / r 近似方程可使许多重要问题如近似方程可使许多重要问题如: 1.模式的传输系数、模式的传输系数、 2.截止条件、截止条件、 3.单模传输条件、单模传输条件、 4.多模传输时模式数量、多模传输时模式数量、 5.各模式在纤芯、包层的功率及交界面的功率各模式在纤芯、包层的功率及交界面的功率 密度密度 等等，得到简便的计算公式，这是近似方法的等等，得到简便的计算公式，这是近似方法的 优点。优点。 4.1 波动方程的解及特征方程波动方程的解及特征方程 设阶跃光纤中传播一平面电磁波，传播方设阶

14、跃光纤中传播一平面电磁波，传播方 向与光纤轴线向与光纤轴线(即即z轴轴)方向一致，记为方向一致，记为: (105) 式中，式中，为角频率，为角频率，为传播常数，为传播常数， 为横向场。为横向场。 根据标量近似法的假定，根据标量近似法的假定， 满足满足 标量亥姆霍兹波动方程式标量亥姆霍兹波动方程式(60)，式，式(60) 的圆柱坐标系表示为的圆柱坐标系表示为: () 0 ()() jTz rzre ， ， 0 ()r， 0( )r， (106) 根据根据分离变量法分离变量法，设上式的解为，设上式的解为: (107) 将式将式(107)代入式代入式(106)，得，得: (108) (109) 2

15、22 00 0 22 11 ()()0rk r rrr 0( )( )( )rR r， 22 22 22 1 ()0 RRm kR rrrr 2 2 2 0m 2 m 式式(109)的解为的解为: (110) 式式(110)为为椭圆极化椭圆极化(偏振偏振)波波，也可取线极，也可取线极 化波化波 或或 来表示。来表示。 式式(108)在纤芯是一个在纤芯是一个m阶的贝塞尔函阶的贝塞尔函 数数，以，以Jm(Ur/a)表示，对于包层，考虑到横表示，对于包层，考虑到横 向场是由界面起，沿径向按指数函数衰减的，向场是由界面起，沿径向按指数函数衰减的， 应取修正的汉克尔函数，以应取修正的汉克尔函数，以Km(

16、Ur/a) 表示。表示。 由式由式(105)的标量解表示为的标量解表示为: ( ) jm e cosmsinm (111) (112) 应用边界条件即可导出特征方程，阶跃光应用边界条件即可导出特征方程，阶跃光 纤的边界条件是在纤的边界条件是在r=a处，横向场幅度处，横向场幅度本身本身 和沿边界的法线上的和沿边界的法线上的变化率变化率 连续连续。由。由 式式(111)、(112)有有: (113) () ()() jtz m m Ur rzJera a ， ， () ()() jtz m m Wr rzAKera a ， ， / r ( )() mm JUAKW (114) 由贝塞尔函数的递推公

17、式由贝塞尔函数的递推公式: (115) (116) (117) 式式(117)是阶跃光纤波导的一种特征方程。是阶跃光纤波导的一种特征方程。 这是一个超越方程，由它可以求解这是一个超越方程，由它可以求解U或或W， 进而可定出常数进而可定出常数A。 ( )() mm UJUWAKW 1 ( )( )( ) mmm UJUmJUUJU 1 ( )( )() mmm mKUWKUWKW 11 ()() ()() mm mm UJUWKW JUKW 4.2 截止条件和传输模截止条件和传输模 由修正的汉克尔函数性能可知，当由修正的汉克尔函数性能可知，当W0 时，时，Km(Wr/a)将很快衰减到零，适合于描

18、述将很快衰减到零，适合于描述 阶跃光纤包层中光的传输。这样射入光纤的光阶跃光纤包层中光的传输。这样射入光纤的光 将局限于纤芯中传播。将局限于纤芯中传播。 截止条件截止条件:W=0表示截止的入射角等于全反表示截止的入射角等于全反 射临界条件射临界条件(从几何光学的观点看，截止的从几何光学的观点看，截止的 临界状态即为入射光波的入射角等于全反射临界状态即为入射光波的入射角等于全反射 临界角的情况临界角的情况)。 当当W=0时，由式时，由式(117)得得: (118) 例如例如:当当m=0时，便有时，便有J-1(U)=0，其根，其根 为为U=0，3.832，7.046，10.173，13.324 ，

19、16.470即当即当U等于上列值时，导模等于上列值时，导模(正规正规 模模)将截止。将截止。 对应于这一系列截止时的对应于这一系列截止时的U值，是一组标值，是一组标 量模式，用量模式，用0l表示。表示。第一个角标第一个角标“0”代表代表m =0；第二个角标代表第几根，用；第二个角标代表第几根，用l表示表示，如，如 00、 01、 02、。 00是主模，它的截止值为是主模，它的截止值为U=0。考虑到。考虑到 1( ) 0 m JU W=0，则归一化频率，则归一化频率: 即即: (119) 当当 时，式时，式(119)成立，这表明成立，这表明00模模 没有低频截止，任何频率都可以传输没有低频截止，

20、任何频率都可以传输。 当当m=1时，时，J0(U)=0，其根的系列值为，其根的系列值为: U=2.405，5.520，8.654，11.792， 14.931， 2222222 012 ()0VUWa knn 0 2 0k 对应的标量模式为对应的标量模式为1l模。模。 当当m=2时，有时，有J1(U)=0，其根系列值为，其根系列值为: U=3.882，7.016，10.173，13.324 ，16.470， 当当U等于上列值时，导波截止等于上列值时，导波截止(注意不要注意不要 取取U=0的根的根)。对应的模式为。对应的模式为2l模。模。 线极化波线极化波:即波的极化不随时间变化的波型。即波的极

21、化不随时间变化的波型。 许多地方采用许多地方采用LPmn来表示上述波型，来表示上述波型，LP为为 Linearly Polarized的英文缩写，的英文缩写， 一般的波型属于这一类，角标一般的波型属于这一类，角标n=l+1。m， n，l为正整数，为正整数，LP01对应对应00， LP02对应对应01， LP11对应对应10，。 4.3 标量模与精细模的比较标量模与精细模的比较 用标量近似法解得的模式是用标量近似法解得的模式是简并模简并模。这是。这是 因为分析时假设因为分析时假设 同同 一样都满足标量一样都满足标量 亥姆霍兹方程，亥姆霍兹方程，由于这种近似将本来分离的精由于这种近似将本来分离的精

22、 简模式简并起来了简模式简并起来了。实际上，。实际上，精确模式应当是精确模式应当是 分离的。分离的。一般一般LP模式与模式与HE，EH模式有线性关模式有线性关 系，即系，即: (120) 例如例如 EH01是一种对称的模，它其实可能是是一种对称的模，它其实可能是TE01或或 r EE， z E 1,1, () mlmnmnmn LPHEEH 10112101 ()LPHEEH TM01模，模，LP11是四重简并模。是四重简并模。 这是因为这是因为EH-11模不存在模不存在，表，表5.2表示了两种模表示了两种模 式对应关系。式对应关系。 表2 模式对照表(见下页) 0001111111 ()LP

23、HEEHHE V值的范围值的范围近似解的模式近似解的模式精确解的模式精确解的模式 模式模式 总数总数 量量 0 2.4048 00LP01HE112 2.4048 3.3817 10LP11TE0 ，TM01，HE216 3.8317 5.1356 01，20LP02，LP21HE12，EH11，HE3112 5.1356 5.5201 01，30LP02，LP31EH31，HE3116 5.5201 6.3802 11，30LP12，LP31TM02，TE02，HE2320 6.3802 7.0156 11，40LP12，LP41EH31，HE5124 7.0156 7.5883 21，02

24、， 40 LP22，LP03， LP41 HE13，EH12，HE3230 4.4 标量模的功率标量模的功率 光纤中导模的场不是完全地束缚在纤芯中光纤中导模的场不是完全地束缚在纤芯中 ，而是部分地进入包层。当光纤工作在远离截，而是部分地进入包层。当光纤工作在远离截 止条件时，透入包层的导模场将迅速衰减。但止条件时，透入包层的导模场将迅速衰减。但 光纤工作在邻近截止条件，或者工作在截止条光纤工作在邻近截止条件，或者工作在截止条 件时，受导模场几乎不能在纤芯区域传播。这件时，受导模场几乎不能在纤芯区域传播。这 样，样，计算各模式在纤芯和包层里的功率是有实计算各模式在纤芯和包层里的功率是有实 际意义

25、的。从计算可知光功率在纤芯的分布际意义的。从计算可知光功率在纤芯的分布。 已知标量模为已知标量模为(111)、(112)，则在，则在 纤芯和包层的功率纤芯和包层的功率P1mn，P2mn分别为分别为: (121) 式中作了变换式中作了变换x=r/a，dx=(1/a)dr， Jm(Ur/a)=Jm(Ux)，便于应用已有的贝塞尔，便于应用已有的贝塞尔 函数的积分公式。函数的积分公式。 (122) 1 222 1 00 22() a mnmnm PrdraJUx xdx 22 11 ()()() mmm aJUJU JU 222 2 00 22() mnmnm PrdraKWx xdx 22 11 (

26、)()() mmm a KW KWKW 总功率为两者之和总功率为两者之和: (123) 一般定义纤芯里的功率与总功率之比为波一般定义纤芯里的功率与总功率之比为波 导效率导效率mn: (124) 注意，式注意，式(121)、(122)、(123) 不是真正的功率，但它们的相对关系是正确的不是真正的功率，但它们的相对关系是正确的 。要求纤芯、包层的真正功率，必须知道真实。要求纤芯、包层的真正功率，必须知道真实 的总功率，然后乘以效率的总功率，然后乘以效率mn才能获得。才能获得。 12mnmnmn PPP 1mn mn mn P P 4.5 光纤的传输模数光纤的传输模数 一般地，光纤中传播的模式可能很多，除一般地，光纤中传播的模式可能很多，除 主模主模和若干和若干低阶模低阶模外，还有在传播过程中从有外，还有在传播过程中从有 用的主模转换为杂散的用的主模转换为杂散的高阶模高阶模，它们传播路径，它们传播路径 不同，有些在包层中损耗掉，有