2018年高考数学21 简单的三角恒等变换教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)。 1公式的常见变形(1）1cos2cos2;1cos2sin2;（2）1sin(sincos）2;1sin（sincos)2。（3）tan.2辅助角公式asinxbcosxsin(x)，其中sin，cos。高频考点一三角函数式的化简与求值例1、（1）化简：_.(2)已知，且2sin2sincos3cos20，则_.答案（1）cos2x(2）解析(1

2、）原式cos2x。【感悟提升】（1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2）三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子和三角函数公式之间的共同点【变式探究】（1)coscoscos等于（）abc。d.（2)若，则tan2等于(）a.bc。d答案(1）a（2)d解析(1）原式coscoscos(3）。（2），tan2，tan2.高频考点二三角函数的求角问题例2、(1)已知锐角，满足sin,cos，则等于（）a。b.或c。d2k(kz）(2）已知方程x23ax3a10（a1）的两根分别为tan、tan，且、，则等于(）a。b

3、c.或d.或答案(1）c（2）b解析(1)由sin，cos且，为锐角,可知cos,sin，故cos(）coscossinsin，又0，故。【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值,则选正切函数(2）已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是（0，)，则选余弦较好;若角的范围为,则选正弦较好【变式探究】 (1)已知sin，sin(),，均为锐角,则角等于()a.b。c。d。（2)在abc中，tanatanbtanatanb，则c等于()a.b。c.d。答案(1）c（2)a解析(1）、均为锐角，.又sin

4、（），cos（）。又sin，cos,sinsin（）sincos（）cossin（）(）。（2）由已知可得tanatanb(tanatanb1)，tan（ab)，又0ab，ab，c.高频考点三三角恒等变换的应用例3、已知函数f(x）sin(x）acos(x2)，其中ar，.(1)当a，时，求f（x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f（)1，求a，的值解(1)f（x）sincos（sinxcosx）sinxcosxsinxsin,因为x0，,从而x，故f(x)在0，上的最大值为，最小值为1。（2）由得由知cos0，解得【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质

5、相结合,通过变换把函数化为yasin（x)k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征【变式探究】（1)函数f（x)sin（x）2sincosx的最大值为_(2)函数f（x）sin（2x）2sin2x的最小正周期是_答案（1）1(2）解析(1）因为f（x）sin(x)2sincosxsinxcoscosxsinsin（x),1sin(x)1，所以f（x）的最大值为1.（2)f（x）sin2xcos2x(1cos2x）sin2xcos2xsin(2x），t。1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）(a） (b） （c） （d）【答案】d2.【2016高考新课标3理数】若 ,则（

6、）（a) (b) (c） 1 （d) 【答案】a【解析】由，得或，所以，故选a3。【2016年高考四川理数】= 。【答案】【解析】由二倍角公式得【2015高考四川，理12】 .【答案】.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 【答案】，.【解析】，故最小正周期为,单调递减区间为,.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，(i）求最小正周期；(ii）求在区间上的最大值和最小值。【答案】(i); (ii) ，.【解析】（i） 由已知，有。所以的最小正周期。（ii)因为在区间上是减函数,在区间上是增函数,所以在区间上的最大值为,最小值为.【2015高考重庆

7、，理18】 已知函数（1）求的最小正周期和最大值；（2）讨论在上的单调性。【答案】（1）最小正周期为,最大值为；(2）在上单调递增；在上单调递减。【解析】（1) ，因此的最小正周期为，最大值为.(2）当时，有，从而当时,即时,单调递增，当时,即时，单调递减，综上可知,在上单调递增；在上单调递减.（2014全国卷）直线l1和l2是圆x2y22的两条切线若l1与l2的交点为（1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于_【答案】【解析】 如图所示,根据题意,oapa，oa,op,所以pa2 ，所以tanopa,故tanapb，即l1与l2的夹角的正切值等于。（2014全国卷)若函数f（x)cos 2x

8、asin x在区间是减函数，则a的取值范围是_【答案】(，2（2014福建卷）已知函数f（x）cos x（sin xcos x)。（1）若0，且sin ，求f()的值;（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间【解析】方法一：（1)因为0，sin ,所以cos 。所以f().（2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以t。由2k2x2k,kz，得kxk，kz。所以f(x）的单调递增区间为，kz.方法二：f(x）sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin。(1）因为0,sin ,所以，从而f（)sinsin.（

9、2)t.由2k2x2k，kz，得kxk，kz。所以f(x)的单调递增区间为，kz。（2014四川卷）已知函数f（x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2）若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值【解析】（1）因为函数ysin x的单调递增区间为,kz，由2k3x2k，kz，得x,kz.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kz.（2)由已知，得sincos（cos2sin2)，所以sin coscos sin（cos2 sin2 ），即sin cos （cos sin )2（sin cos ）当sin cos 0时，由是第二象限角，得2k，kz，此时，cos sin .

10、当sin cos 0时，(cos sin )2。由是第二象限角，得cos sin 0,此时cos sin .综上所述，cos sin 或。（2014天津卷）已知函数f(x)cos xsincos2x，xr。（1）求f(x）的最小正周期；（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值【解析】(1）由已知,有f(x）cos xcos2xsin xcos xcos2xsin 2x（1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期t。(2)因为f(x）在区间上是减函数，在区间上是增函数,f,f，f，所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为。（2014北京卷)如图1。2，在abc

11、中，b，ab8,点d在bc边上，且cd2，cosadc。(1)求sinbad；（2)求bd，ac的长图1.2（2014福建卷）在abc中,a60，ac4，bc2,则abc的面积等于_【答案】2【解析】 由,得sin b1,b90，c180（ab)30，则sabcacbcsin c42sin 302，即abc的面积等于2。（2014湖南卷)如图1。5所示，在平面四边形abcd中，ad1，cd2，ac.图1.5(1）求coscad的值；（2)若cosbad,sincba，求bc的长【解析】（1)在adc中,由余弦定理，得coscad，故由题设知，coscad。(2)设bac，则badcad.因为c

12、oscad，cosbad，所以sincad,sinbad。于是sin sin （badcad)sinbadcoscadcosbadsincad.在abc中，由正弦定理,得.故bc3。（2014四川卷）如图1。3所示,从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为67，30,此时气球的高度是46 m，则河流的宽度bc约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670。39,sin 370.60，cos 370。80，1.73）图13【答案】60【解析】 过a点向地面作垂线，记垂足为d，则在rtadb中,abd67，ad46 m，ab50(m），在abc中，

13、acb30,bac673037,ab50 m，由正弦定理得，bc60 (m),故河流的宽度bc约为60 m. 1设（0，）,(0，)，且tan，则(）a3b2c3d2答案b解析由tan得，即sincoscoscossin,sin(）cossin（）(0,），(0，)，(，),（0，）,由sin（）sin（），得，2。2已知sin2，则cos2等于（）a。b。c.d。答案a解析因为cos2,所以cos2，故选a。3若,且3cos2sin,则sin2的值为（)a。 bc。d答案d4若sin2，sin(），且，则的值是(）a.b.c。或d。或答案a解析，2。sin2,2，cos2。，cos（），co

14、s（)cos2(）cos2cos()sin2sin()。又，.5函数f(x）sin（2x）cos(2x）的图象关于点对称,则f（x）的单调递增区间为(）a.，kzb。，kzc.，kzd。,kz答案c解析f(x）sin（2x)cos(2x）2sin，由题意知2k(kz），k（kz)，。f（x)2sin.由2k2x2k(kz),得kxk（kz)故选c.6已知tan（)3，则sin22cos2的值为_答案解析tan（)3，3，解得tan。sin22cos2sin2cos21111。7若tan，（，)，则sin（2）的值为_答案8若、是锐角,且sinsin，coscos，则tan（)_。答案解析sin

15、sin,coscos,两式平方相加得:22coscos2sinsin，即22cos（），cos()。、是锐角，且sinsin0，0，0.sin(）.tan（)。9已知函数f(x)2cosx（sinxcosx）（1）求f的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1）f2cos2cos2.(2)因为f(x)2sinxcosx2cos2xsin2xcos2x1sin1，所以t，故函数f(x）的最小正周期为。由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以f(x)的单调递增区间为，kz。10已知函数f(x）2cos2x12cosxsinx（01），直线x是f(x）图象的一条对称轴(1）试求的值；(2)已知函数yg（x）的图象是由yf（x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的，若g，求sin的值解f（x）2cos2x12cosxsinxco