2018年高考数学06 三角恒等变换与解三角形教学案 理

1、学必求其心得，业必贵于专精专题 6 三角恒等变换与解三角形【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有:(1）两角和（差)的正弦、余弦及正切是c级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是b级要求，应用时要适当选择公式,灵活应用（2）正弦定理、余弦定理及其应用，要求是b级,能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题。【重点、难点剖析】 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1)sin(）sin cos cos sin 。（2)cos（）cos cos sin sin 。（3）tan（)。2二倍角的正弦、余弦

2、、正切公式(1）sin 22sin cos 。（2)cos 2cos2sin22cos2112sin2。(3）tan 2.3正弦定理2r(2r为abc外接圆的直径)变形：a2rsin a,b2rsin b，c2rsin c.sin a，sin b，sin c。abcsin asin bsin c。4余弦定理a2b2c22bccos a，b2a2c22accos b，c2a2b22abcos c。推论:cos a,cos b，cos c。5三角形面积公式sabcbcsin aacsin babsin c。6三角恒等变换的基本思路（1)“化异为同”,“切化弦，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧如

3、1cos2sin2tan 45等“化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”，“化异角为同角”（2）角的变换是三角变换的核心,如()，2（)（),等7解三角形的四种类型及求解方法(1）已知两角及一边，利用正弦定理求解（2）已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解8利用解三角形的知识解决实际问题的思路把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.【题型示例】题型1、三角变换

4、及应用【例1】【2017山东，理9】在中，角，,的对边分别为，若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是(a） （b） （c） (d)【答案】a【解析】 所以,选a.【变式探究】(1）（2016高考全国乙卷）已知是第四象限角，且sin，则tan_.解析：基本法：将转化为。由题意知sin,是第四象限角，所以cos0，所以cos。tantan。答案:b，tan b,tan b.答案：（2）若tan 0，则()asin 0bcos 0csin 20 dcos 20解析：基本法：由tan 0得是第一或第三象限角，若是第三象限角,则a，b错;由sin 22sin cos 知sin 20，c正确;取时，c

5、os 22cos212210，d错故选c.速解法：tan 0，即sin cos 0，sin 22sin cos 0,故选c.答案：c【举一反三】 (2015新课标全国,2)sin 20cos 10cos 160sin 10（)a b。 c d。解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30。答案d【变式探究】（2015四川，12)sin 15sin 75的值是_解析sin 15sin 75sin 15cos 15sin（1545)sin 60。答案【举一反三】(2015江苏,8）已知tan 2，tan（），则tan 的值为_解

6、析tan 2，tan（），解得tan 3.答案3【变式探究】(1)(2014新课标全国卷)设，且tan ,则（)a3b2c3 d2(2)（2014山西)若锐角满足2sin 2cos 3，则tan的值是（)a3 bc3 d。【解析】（1）解法一：由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin.，,，由sin()sin，得，2，故选b。解法二：tan cottantan,k，kz.22k，kz.当k0时,满足2，故选b。【感悟提升】(1）此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解(2)

7、对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”若角所在象限没有确定,则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦;遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次,想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角【变式探究】(2015广东，11)设abc的内角a，b，c的对边分别为a,b，c。若a，sin b，c，则b_解析因为sin b且b(0，），所以b或b.又c，所以b,abc.又a,由正弦定理得，即,解得b1。答案1考点2、正、余弦定理的应用【例2

8、】【2017课标ii,理17】的内角所对的边分别为，已知，（1）求；（2)若，的面积为，求。【答案】（1）； （2) b=2【解析】b=2(1)由题设及，故上式两边平方，整理得 解得 （2）由,故又由余弦定理 及得所以b=2.【变式探究】【2016高考山东理数】 在abc中，角a，b,c的对边分别为a，b，c，已知 （)证明:a+b=2c；（)求cosc的最小值。【答案】(）见解析；（）【解析】（）由（)知，所以 ，当且仅当时,等号成立。故 的最小值为.【举一反三】 （2015福建，12)若锐角abc的面积为10，且ab5,ac8，则bc等于_解析sabacsin a，sin a，在锐角三角形

9、中a,由余弦定理得bc7。答案7【变式探究】（2015广东，11）设abc的内角a,b,c的对边分别为a，b，c.若a，sin b，c，则b_解析因为sin b且b(0，)，所以b或b.又c，所以b，abc.又a，由正弦定理得，即，解得b1。答案1【举一反三】(1)（2014福建）在abc中,a60，ac4，bc2，则abc的面积等于_(2）（2014湖南）如图，在平面四边形abcd中,ad1，cd2，ac。求coscad的值；若cosbad，sincba，求bc的长【命题意图】（1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力（2)本题以平面四边形

10、为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解,第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理【答案】(1）2【解析】(1)解法一:在abc中，根据正弦定理，得，所以，解得sin b1，因为b（0，120)，所以b90，所以c30，所以abc的面积sabcacbcsin c2。解法二：在abc中，根据正弦定理，得，所以，解得sin b1，因为b(0，120)，所以b90,所以ab2，所以abc的面积sabcabbc2.（2）如题图，在adc中，由余弦定理，得coscad.故由题设知,coscad.如题图，设bac,则badcad。因为coscad，cosbad，所

11、以sincad。sinbad。于是sin sin(badcad)sinbadcoscadcosbadsincad.在abc中，由正弦定理，得.故bc3.【变式探究】abc的面积是30，内角a,b,c的对边分别为a，b，c，cos a。（1）求aa；（2)若cb1，求a的值【解析】解(1)由cos a，且0a，得sin a.又sabcbcsin a30，所以bc156，所以aabccos a156144。（2)由(1)知bc156，又cos a，cb1,在abc中，由余弦定理，得a2b2c22bccos a(cb）22bc（1cos a)1215625,所以a5。【规律方法】 求解此类问题，一要

12、注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求aa,需要求出bc，由三角形的面积及cos a，可求出sin a,二要注意求解本题第（2)问时，应该结合第（1）问中的结论题型三、解三角形的应用【例3】【2017浙江，14】已知abc,ab=ac=4，bc=2点d为ab延长线上一点，bd=2，连结cd,则bdc的面积是_，cosbdc=_【答案】【解析】取bc中点e，dc中点f，由题意：,abe中,，,又,综上可得,bcd面积为，【变式探究】【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知 （）证明：a+b=2c;（）求cosc的最小值。【答案】(）见

13、解析；（）（）由（)知,所以 ,当且仅当时，等号成立.故 的最小值为。【举一反三】(2015新课标全国，17）abc中,d是bc上的点，ad平分bac，abd面积是adc面积的2倍（1)求；(2）若ad1，dc,求bd和ac的长解（1）sabdabadsinbad，sadcacadsincad.因为sabd2sadc，badcad，所以ab2ac。由正弦定理可得.(2)因为sabdsadcbddc，所以bd。在abd和adc中，由余弦定理知ab2ad2bd22adbdcosadb，ac2ad2dc22addccosadc.故ab22ac23ad2bd22dc26，由（1)知ab2ac，所以ac

14、1.【变式探究】（2015浙江，16）在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知a，b2a2c2.（1)求tan c的值；（2)若abc的面积为3，求b的值解（1）由b2a2c2及正弦定理得sin2bsin2c。所以cos 2bsin2c。又由a，即bc,得cos 2bsin 2c2sin ccos c，解得tan c2.(2)由tan c2，c（0，）得sin c，cos c,又因为sin bsin(ac）sin，所以sin b，由正弦定理得cb，又因为a，bcsin a3，所以bc6，故b3。【举一反三】 （2015陕西,17）abc的内角a,b，c 所对的边分别为a ,b,c.向量m（a，b）与n(cos a，sin b)平行 （1）求a； （2)若a，b2，求abc的面积解（1)因为mn，所以asin bbcos