2017-2018学年高中数学 第一章 算法初步 第节 算法案例教学案

1、学必求其心得，业必贵于专精第3节 算法案例核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p34p45，回答下列问题(1)小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么?提示：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来(2)辗转相除法的操作步骤是什么？提示：两个数中用较大的数除以较小的数,求得商和余数，再用除数除以余数,如此重复，直到所得余数为0,即可求得两个数的最大公约数（3）更相减损术的操作步骤什么？提示：第一步，任意给定两个正整数,判定它们是否都是偶数若是,用2约简；若不是，执行第二步第二步，以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比

2、较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的数相等为止,则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数（4)应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？提示：求多项式的值时,先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1anxan1，再由内向外逐层计算一次多项式vk（k2,3，4，,n)的值(5）将k进制数转化为十进制的方法是什么?提示：“除k取余法2归纳总结，核心必记(1）辗转相除法与更相减损术辗转相除法：又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法更相减损术：我国古代数学专著九章算术中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法（2）秦九韶算法求多项式f（x）anxna

3、n1xn1a1xa0的值时,常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算其过程是：改写多项式为:f（x)anxnan1xn1a1xa0（anxn1an1xn2a1)xa0(anxn2an1xn3a2）xa1）xa0(（anxan1)xan2）xa1）xa0.设v1anxan1,v2v1xan2,v3v2xan3，vnvn1xa0.（3)进位制进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几其他进位制与十进制间的转化（）其他进位制化成十进制其他进位制的数化成

4、十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式（）十进制化成k进制的方法-“除k取余法”问题思考(1)辗转相除法与更相减损术有什么联系？提示：都是求两个正整数的最大公约数的方法二者的实质都是递推的过程二者都是用循环结构来实现（2)辗转相除法与更相减损术有什么区别？提示：辗转相除法更相减损术区别以除法为主两个整数差值较大时运算次数较少相除余数为零时得结果以减法为主两个整数的差值较大时，运算次数较多相减,差与减数相等得结果相减前要做是否都是偶数的判断(3）当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？提示：所缺的项写成系数为零的形式，即写成0xn的形式课前反

5、思通过以上预习，必须掌握的几个知识点：（1）辗转相除法是什么? ；(2)更相减损术是什么？ ；(3）秦九韶算法是什么? ；（4)进位制及进位制间的互化： 。观察如图所示的内容：思考1辗转相除法的算理是什么? 名师指津：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数思考2更相减损术的算理是什么？名师指津：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤,直到差数和较小的数相

6、等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数讲一讲1用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果尝试解答用辗转相除法：6124681144，468144336,144364，即612和468的最大公约数是36.用更相减损术检验：612和468为偶数，两次用2约简得153和117,15311736，1173681，813645,45369,36927，27918,1899，所以612和468的最大公约数为92236.求最大公约数的两种方法步骤(1)利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法,用数对中较大的数除以较小的数,若余数不为零，则将余数和较小的数构成新

7、的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数(2）利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是:首先判断两个正整数是否都是偶数若是,用2约简,也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果练一练1用辗转相除法求840与1 785的最大公约数；解：因为1 7858402105，8401058.所以840和1 785的最大公约数是105。观察如图所示的内容:思考秦九韶算法的原理是什么？名师指津：秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的设f（x)anxnan1xn1a1xa0，将其改写为f(x）(anxn1an1xn2a1)xa0（anxn2an

8、1xn3a2）xa1）xa0(anxan1)xan2)xa1）xa0令v0an，则有公式其中k1，2，n。这样我们便可由v0依次求出v1，v2，vn：v1v0xan1,v2v1xan2，v3v2xan3，vnvn1xa0.讲一讲2利用秦九韶算法求多项式f（x)x65x56x4x23x2当x2时的值为（）a320 b160c320 d300尝试解答将多项式变式为f(x)(（(（x5)x6)x0)x1)x3)x2,v01,v12（5)7，v27(2)620，v320（2)040，v440(2)181，v581（2）3159，v6159（2）2320，即x2时，多项式的值为320.答案：a利用秦九韶

9、算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写,然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性练一练2用秦九韶算法计算多项式f(x)1235x8x26x45x53x6在x4时的值时，v3的值为（）a144 b136 c57 d34解析：选b根据秦九韶算法多项式可化为f（x)（(3x5）x6）x0）x8）x35)x12.由内向外计算v03；v13（4)57；v27（4)634;v334(4）0136.观察如图所示的内容:思考1进位制应如何表示?名师指津:若一个数为十进制数，其基数可以省略不写,若是其他进位制,在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常

10、在数的右下角标明基数思考2常见的进位制有哪些?名师指津：(1）二进制：只使用0和1两个数字；满二进一，如1110(2)(2）八进制：使用0，1,2,3，4,5，6,7八个不同数字；满八进一，如7110（8）；(3)十六进制：使用0，1，2，3，4，5,6,7,8,9,a，b，c,d，e，f这十六个不同的数码，其中a，b,c,d，e,f分别代表十进制中的10，11，12，13,14,15；满十六进一，如f12e10(16）讲一讲3（1)把二进制数101 101（2)化为十进制数;(2）把十进制数458转化为四进制数尝试解答(1）101 101（2)125024123122021120328414

11、5，所以二进制数101 101（2）转化为十进制数为45。（2）45813 022(4）进位制的转换方法（1)将k进制转化为十进制的方法是:先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果（2）十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余练一练3(1)二进制数算式1 010(2）10(2）的值是（） a1 011(2) b1 100(2）c1 101(2） d1 000(2)(2)下列各组数中最小的数是（）a1 111(2) b210(6）c1 000(4) d101(8）解析：（1)选b二进制数的加法是逢二进一，所以选b。(2)选a统

12、一化为十进制数为1 111（2)15；210(6）78；1 000（4）64；101(8)65.-课堂归纳感悟提升-1本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化难点是会用秦九韶算法求多项式的值2本节课要掌握以下几类问题：(1）掌握求最大公约数的两种方法步骤,见讲1.（2）掌握秦九韶算法步骤，见讲2.（3)进位制的转换方法，见讲3.3本节课的易错点有两个：（1)弄不清秦九韶算法的原理而致错,如讲2;（2）进位制之间转换的方法混淆而致错,如讲3。课下能力提升（八)学业水平达标练题组1辗转相除法与更相减损术1下列关于利用更相

13、减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是(）a都是偶数必须约简b可以约简，也可以不约简c第一步作差为1567284；第二步作差为728412d以上都不对解析：选b约简是为了使运算更加简捷,故不一定要约简，a错c中第二步应为847212，故选b.2用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是（)a2 b3 c4 d5解析：选c29484210,21084126，1268442,844242，共做4次减法运算31 624与899的最大公约数是_解析：1 6248991725，8997251174，725174429，174296，故1 624与899的最大公约数是29.答

14、案：294用两种方法求210与98的最大公约数解：用辗转相除法:21098214,98147.210与98的最大公约数为14。用更相减损术:210与98都是偶数，用2约简得105和49，1054956,56497，49742，42735,35728,28721，21714，1477。210与98的最大公约数为2714。题组2秦九韶算法5用秦九韶算法求多项式f（x）7x66x53x22当x4时的值时，先算的是(）a4416 b7428c44464 d74634解析:选d因为f(x）anxnan1xn1a1xa0（anxan1）xan2)xa1）xa0,所以用秦九韶算法求多项式f（x)7x66x5

15、3x22当x4的值时，先算的是74634。6用秦九韶算法计算多项式f（x)3x64x55x46x37x28x1当x0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（)a6，6 b5，6 c5，5 d6,5答案：a7利用秦九韶算法求多项式f（x)3x612x58x43.5x37.2x25x13当x6时的值，写出详细步骤解：f(x)（3x12)x8）x3.5）x7。2）x5）x13。v03,v1v061230,v2v168188，v3v263。51 124.5，v4v367.26 754。2,v5v46540 530。2，v6v5613243 168.2。所以f(6）243 168.2.题组3进位制及

16、其转化8以下各数有可能是五进制数的是（）a15 b106 c731 d21 340解析:选d五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选d。9完成下列进位制之间的转化(1）1 034（7）_（10)；（2)119（10)_（6)解析：(1）1 034（7)17307237470368.（2）119(10）315（6）答案：(1)368(2）31510若k进制数123(k）与十进制数38相等,则k_。解析:由k进制数123可知k4.下面可用验证法：若k4,则38(10）212（4），不合题意；若k5，则38（10）123(5）成立，所以k5.答案：511若1 0b1(2)a02（3),求数字a，b

17、的值及与此相等的十进制数解：1 0b1(2)a02（3)，123b21a322,且a只能取1，2，b只能取0，1。整理得9a2b7.当b0时，a(不合要求,舍去);当b1时，a1。ab1.102(3)1 011（2）,转化为十进制数为132211。能力提升综合练1用秦九韶算法求多项式f(x)x33x22x11当xx0时的值时，应把f（x)变形为()ax3（3x2)x11 b(x3)x2(2x11）c（x1）(x2)x11 d(x3）x2）x11解析:选df（x)x33x22x11（x23x2）x11(（x3）x2）x11,故选d.245和150的最大公约数和最小公倍数分别是()a5，150 b

18、15,450 c450，15 d15，150解析:选b利用辗转相除法求45和150的最大公约数：15045315，45153，45和150的最大公约数为15。45和150的最小公倍数为15（4515)（15015)450,故选b。3下列各数中，最小的是（）a101 010(2) b111（5)c32(8) d54(6)解析：选c101 010（2）12502412302212102042，111（532（8）38128026,54(6)56146034。又42343126，故最小的是32（8）4(2016福州高一检测)三进制数2 022(3）化为六进制数为abc（6）,则abc_。解析:2 022（3)23303223123062。三进制数2 022（3）化为六进制数为142(6），abc7。答案：75用秦九韶算法求多项式f(x）15x8x210x36x412x53x6当x4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是_解析：多项式变形为f(x）3x612x56x410x38x25x1(（3x12）x6)x10）x8)x5）x1,v03，v13（4)12