Matlab在微积分中应用

1、Matlab在微积分中应用1 Matlab 在微积分中的应用 高等数学最基本的概念集中在极高等数学最基本的概念集中在极 限、导数、积分、微分等几个部限、导数、积分、微分等几个部 分，本章主要介绍分，本章主要介绍Matlab在这几在这几 方面的应用方面的应用 Matlab在微积分中应用 2 一、极限、导数与微分一、极限、导数与微分 1、极限、极限 llimit（expression，var） 该格式将对符号表达式中的变量该格式将对符号表达式中的变量var进进 行其趋于行其趋于0时的求极限运算。时的求极限运算。 Ex：sys x y a f=sin(x+2*y) limit(f,y) Matlab

2、在微积分中应用 3 l如果对系统的默认变量求极限时，也如果对系统的默认变量求极限时，也 可不说明变量名。可不说明变量名。 limit(f) l当需要求变量当需要求变量var在趋近于在趋近于a时的值时，时的值时， 可用如下表达式：可用如下表达式： llimit(expression,var,a) Matlab在微积分中应用 4 2、导数与微分、导数与微分 l函数函数f(x,y,z,)在某一点（在某一点（x0,y0,z0,） 的增长率即为此函数在该点的导数。对一的增长率即为此函数在该点的导数。对一 元函数来说，严格定义如下：元函数来说，严格定义如下： 可以用前面讲的可以用前面讲的limit命令来求

3、各种函数的命令来求各种函数的 导数，但利用导数的基本概念，可以轻松导数，但利用导数的基本概念，可以轻松 地进行计算。地进行计算。 Matlab在微积分中应用 5 diff命令命令 （1）函数）函数f(x)=log(x) (即即lgx)的求导的求导 diff（f） （2）求函数的高阶导数）求函数的高阶导数 diff（f，n） （3）多元函数的求导）多元函数的求导 diff（function，variable,n） 其中其中n为求导阶数为求导阶数 （4）对抽象函数的求导）对抽象函数的求导 Matlab在微积分中应用 6 二、积分二、积分 1、不定积分、不定积分 int(f) int(f,var)

4、Ex: syms x y z; int(sin(x*y+z) ans=-cos(x*y+z)/y 如果对如果对z积分，应在积分，应在int命令后说明：命令后说明： int(sin(x*y+z)，z) Matlab在微积分中应用 7 2、定积分与广义积分、定积分与广义积分 l在在Matlab中只要在中只要在int命令中加入积分限，命令中加入积分限， 就可求得函数在积分上下限间的积分值：就可求得函数在积分上下限间的积分值： lint（function,var,积分下限积分下限,积分上限）积分上限） Ex: syms x y ansa=int(cos(x),0,pi/6); ansb=int(xy,

5、y,0,pi/6); Matlab在微积分中应用 8 l当积分限由某一具体数值变为正当积分限由某一具体数值变为正 负无穷时，定积分便转变为广义负无穷时，定积分便转变为广义 积分，也只需将积分限变为无穷，积分，也只需将积分限变为无穷， 就可以得到相应函数的广义积分就可以得到相应函数的广义积分 值值 Matlab在微积分中应用 9 Ex：求函数：求函数 f(x)=1/(x +2x+3),g(x)=1/(x +2x-3)在负在负 无穷到正无穷的积分无穷到正无穷的积分 syms x f=1/(x2+2*x+3); g=1/(x2+2*x-3); intf=int(f,-inf,inf); intg=i

6、nt(g,-inf,inf) ezplot(f,-10,10); ezplot(g,-10,10); 2 2 Matlab在微积分中应用 10 g(x)在数轴上有不可积的奇点在数轴上有不可积的奇点 Matlab在微积分中应用 11 三、化简、提取与替换代入三、化简、提取与替换代入 l1、化简、化简 （1）pretty 如如A为待转化格式的代数式，命令为待转化格式的代数式，命令 pretty（A）即可将）即可将A由机器格式转化由机器格式转化 为手写格式，而且在转化过程中不会为手写格式，而且在转化过程中不会 对对A式进行任何化简或展开式进行任何化简或展开 Matlab在微积分中应用 12 （2）M

7、atlab的化简命令的化简命令 l降幂排列法（降幂排列法（collect） l展开法（展开法（expand） l重叠法（重叠法（horner） l因式分解法（因式分解法（factor） l单一化简（单一化简（simplify） l不定化简（不定化简（simple） Matlab在微积分中应用 13 l降幂排列法（降幂排列法（collect） collect(A) collect(A,name_of_varible) l展开法（展开法（expand） 将代数式中所有的括号打开，将变量将代数式中所有的括号打开，将变量 释放出来，但得出的结果并不进行任何释放出来，但得出的结果并不进行任何 整理和幂次

8、排列，只将其凌乱的堆在一整理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一 起起 Matlab在微积分中应用 14 l重叠法（重叠法（horner） 重叠法使一种很特别的代数式的整理重叠法使一种很特别的代数式的整理 化简方法。它的化简方法是将代数式化简方法。它的化简方法是将代数式 尽量化为尽量化为 ax(bx(cx(zx+z)+y)+)+b)+a 的形式。的形式。 horner（A） Matlab在微积分中应用 15 l因式分解法（因式分解法（factor） 因式分解法是化简方法中最常用的一因式分解法是化简方法中最常用的一 种方法，它的目的就是将代数式种方法，它的目的就是将代数式A化为化为 由由x的一次项为单

9、位的连乘积的形式。的一次项为单位的连乘积的形式。 factor（A） Matlab在微积分中应用 16 l单一化简（单一化简（simplify） 在在Matlab中，单一化简是指代数式在中，单一化简是指代数式在 考虑了求和、积分、平方运算法则，三考虑了求和、积分、平方运算法则，三 角函数、指数函数、对数函数、角函数、指数函数、对数函数、 Bessel函数、函数、hypergeometric函数、函数、 garmma函数的运算性质，经计算机比函数的运算性质，经计算机比 较后转化的一种认为相对简单的形式。较后转化的一种认为相对简单的形式。 此种转化只列出结果，用户并不知道这此种转化只列出结果，用户

10、并不知道这 种形式是经何种变换后得到的。但在普种形式是经何种变换后得到的。但在普 通的化简中，单一化简法倒不失为一种通的化简中，单一化简法倒不失为一种 简便快捷的化简方法。简便快捷的化简方法。 Matlab在微积分中应用 17 l不定化简（不定化简（simple） 综合了前面几种化简方法的优点，综合了前面几种化简方法的优点， 但也略显笨拙。因为它不仅将前面但也略显笨拙。因为它不仅将前面 的每一种化简方法都试了一遍，还的每一种化简方法都试了一遍，还 尝试了尝试了4、5种转化方法，最后还种转化方法，最后还 一一将这些结果列了出来。列出的一一将这些结果列了出来。列出的 结果往往多的超出结果往往多的超

11、出3、4屏，用户屏，用户 可细细观察挑选可细细观察挑选 Matlab在微积分中应用 18 2、提取与替换代入、提取与替换代入 l提取（提取（subexpr） 在进行繁琐的数学运算中，经常会碰在进行繁琐的数学运算中，经常会碰 到类似这样的情况：得到的方程的解到类似这样的情况：得到的方程的解 中，有几个非常长的因子在解中出现中，有几个非常长的因子在解中出现 很多遍，不管是在纸上还是在屏幕上，很多遍，不管是在纸上还是在屏幕上， 它不仅使式子过长变得难看，而且在它不仅使式子过长变得难看，而且在 转抄或粘贴时非常容易出错。转抄或粘贴时非常容易出错。 Matlab在微积分中应用 19 Y,SIGMA=su

12、bexpr(X,SIGMA) 或或Y,SIGMA=subexpr(X,SIGMA) l式中各参数含义如下：式中各参数含义如下： X：待整理的代数式或代数式的矩阵：待整理的代数式或代数式的矩阵 SIGMA：在整理过程中提出的各种因子：在整理过程中提出的各种因子 将以矩阵的格式保存在名为将以矩阵的格式保存在名为SIGMA的的 变量中变量中 Y：经提取各种因子后，整理完毕的代：经提取各种因子后，整理完毕的代 数式或其矩阵将被保存于数式或其矩阵将被保存于Y矩阵中矩阵中 Matlab在微积分中应用 20 代入（代入（subs） l在在Matlab中，将一代数式代入另一式中的中，将一代数式代入另一式中的

13、操作命令名为操作命令名为subs lss=subs(S,OLD,NEW) S：代数式名：代数式名 OLD：代数式：代数式S中的将要被替换的旧变量名中的将要被替换的旧变量名 NEW：将要替换：将要替换OLD的新变量或代数式的新变量或代数式 ss：替换后的新代数式：替换后的新代数式 Matlab在微积分中应用 21 四、级数求和四、级数求和 l1、symsum(s) s为待求和的级数的通项表达式为待求和的级数的通项表达式 命令命令symsum(s)的功能是求出的功能是求出s关于系统默认变关于系统默认变 量如量如k的由的由0到到k-1的有限项的和。如不能确定的有限项的和。如不能确定s的的 默认变量，

14、则可用默认变量，则可用findsym(s)命令来查的命令来查的 lsymsum(s,v) v为求和变量。求和将为求和变量。求和将v等于等于1求至求至v-1 Matlab在微积分中应用 22 五、二重积分五、二重积分 l在一个面上积分是二重积分的本质。只在一个面上积分是二重积分的本质。只 要能明确的将积分面表达出来并恰当转要能明确的将积分面表达出来并恰当转 化成化成int命令中所需的积分限的形式，二命令中所需的积分限的形式，二 重积分的结果就得到了。重积分的结果就得到了。 现在的重点是根据画出的积分平面的外现在的重点是根据画出的积分平面的外 形，正确的定出两组积分限。在此将用形，正确的定出两组积

15、分限。在此将用 ezplot命令画出积分平面外形。命令画出积分平面外形。 Matlab在微积分中应用 23 Ex：计算函数：计算函数f=x /y 在区域在区域D上的积上的积 分，其中分，其中D为直线为直线y=2x,y=x/2,y=12- x围成的区域围成的区域 l1.划分积分区域划分积分区域 syms x y f=x2/y2; y1=2*x; y2=x/2; y3=12-x; ezplot(y1) hold on ezplot(y2) hold on ezplot(y3,-2 15) 22 Matlab在微积分中应用 24 3条直线相应区域即为积分区域条直线相应区域即为积分区域 Matlab在

16、微积分中应用 25 l2.确定积分限确定积分限 pointA=fzero(2*x-x/2,0) pointB=fzero(2*x-(12-x),4) pointC=fzero(12-x-x/2,8) 求得结果为：求得结果为： pointA=0 pointB=4 pointC=8 即即xA=0,xB=4,xC=8 Matlab在微积分中应用 26 l3.积分运算积分运算 A1=int(f,y,x/2,2*x) A2=int(f,y,x/2,12-x) B1=int(A1,0,4) B2=int(A2,4,8) Answer=B1+B2 Matlab在微积分中应用 27 六、符号方程与方程组的求解

17、六、符号方程与方程组的求解 l1、线性方程组、线性方程组linsolve X=linsolve(A,B) A必须至少是行满秩必须至少是行满秩 l2、非线性方程组和超越方程、非线性方程组和超越方程 (1)solve(E),solve(E,var) E为符号方程为符号方程 Var为代求符号变量为代求符号变量 Matlab在微积分中应用 28 (2)a1,a2,an=solve(E1,E2,En) a1,a2,an=solve(E1,E2,En,var1, var2,varn) Matlab在微积分中应用 29 l3、方程的数值求解方法、方程的数值求解方法 （1）一元方程转化的函数，其零点的）一元方

18、程转化的函数，其零点的 求法用求法用fzero命令命令 z=fzero(fun,x) z=fzero(fun,x,tol) z=fzero(fun,x,tol,trace) Matlab在微积分中应用 30 （2）非线性方程组的求解）非线性方程组的求解fsolve X=fsolve(functions_name,X0) 其中其中functions_name是预先以是预先以m函数函数 格式写入格式写入Matlab的函数组的函数名。的函数组的函数名。 X0是当函数组均等于零时对各变量的是当函数组均等于零时对各变量的 解的估计。解的估计。 Matlab在微积分中应用 31 1.求函数求函数y=sin3x/tg5x在在x=0处的极限处的极限 2.求函数求函数y=1/x -3x+3的的50阶导数阶导数 3.求求(2-sinx)/sin x的不定积分的不定积分 4.求函数求函数f