多自由度系统振动(a)

1、 2021年6月22日 振动力学 2 k c m 建模方法建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动 缺点：缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响间的相互影响 优点：优点：模型简单模型简单 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 多自由度系

2、统振动多自由度系统振动 2021年6月22日 振动力学 3 k2 c2 m车 车 m人 人 k1c1 建模方法建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼弹性和阻尼 优点：优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响 多自由度系统振动多自由度系统振动 2021年6月22日 振动力学 4 m人 人 k1 c1 k2 c2 m k3 c3 k2c2 k3 c3 m车 车 m轮 轮 m轮 轮 建模方法建模方法3： 车、人

3、、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼 优点：优点：分别考虑了人与车、车分别考虑了人与车、车 与车轮、车轮与地面之间的相与车轮、车轮与地面之间的相 互耦合，模型较为精确互耦合，模型较为精确 问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？ 多自由度系统振动多自由度系统振动 2021年6月22日 振动力学 5 多自由度系统振动多自由度系统振动 2021年6月22日 振动力学 6 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 7 作

4、用力方程作用力方程 几个例子几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼 试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 m1m2 k3k1k2 x1x2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 8 解：解： 、 1 x 2 x 21 mm、的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标： 设某一瞬时：设某一瞬时： 21 mm、 、 1 x 2 x上分别有位移上分别

5、有位移 21 xx 、 加速度加速度 受力分析：受力分析： P1(t) k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 P2(t) k2(x1-x2) 22x m m2 k3x2 m1m2 k3k1k2 x1x2 P1(t) P2(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 9 建立方程：建立方程： )()( )()( 23321222 12121111 tPxkxxkxm tPxxkxkxm 矩阵形式：矩阵形式： )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk k

6、kk x x m m 力量纲力量纲 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 P1(t) k1x1 k2(x1-x2) 11x m m1 P2(t) k2(x1-x2) 22x m m2 k3x2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 10 例例2：转动运动：转动运动 两圆盘两圆盘 转动惯量转动惯量 21,I I 轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321 , kkk 试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 1 k 1 I 2 2 I 2 k 3 k )( 1 tM)( 2 tM 1 )(),( 21 tMt

7、M外力矩外力矩 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 11 解：解： 建立坐标：建立坐标： 角位移角位移 21, 设某一瞬时：设某一瞬时： 角加速度角加速度 21, 受力分析：受力分析： 1 k 1 I 2 2 I 2 k 3 k )( 1 tM)( 2 tM 1 11 k 11 I )( 1 tM )( 212 k 22 I )( 2 tM 33 k )( 122 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 12 建立方程：建立方程

8、： )()( )()( 2332222 12121111 1 tMkkI tMkkI 矩阵形式：矩阵形式： )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I 坐标间的耦合项坐标间的耦合项 11 k 11 I )( 1 tM )( 212 k 22 I )( 2 tM 33 k )( 122 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 13 )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk kkk x x m m )(

9、 )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的 m1m2 k3k1k2 P1(t)P2(t) 1 k 1 I 2 I 2 k 3 k )( 1 tM)( 2 tM 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月

10、22日 振动力学 14 小结：小结： )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tP tP x x kkk kkk x x m m )( )( 0 0 2 1 2 1 322 221 2 1 2 1 tM tM kkk kkk I I 可统一表示为：可统一表示为： )(tPXKXM 例例1： 例例2： 作用力方程作用力方程 位移向量位移向量 加速度向量加速度向量 质量矩阵质量矩阵 刚度矩阵刚度矩阵 激励力向量激励力向量 若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量维矩阵或列向量 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的

11、动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 15 )(tPXKXM n 个自由度系统个自由度系统: 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 nnnjn nj nj mmm mmm mmm . . . . 1 2221 1111 M )( )( )( )( 2 1 tP tP tP t n P nnnjn nj nj kkk kkk kkk . . . . 1 2221 1111 K nT n Rxxx,., 21 X nnnn 1n 质量矩阵第质量矩阵第 j 列列刚度矩阵第刚度矩阵第 j 列列 广义坐标列向量广义坐标列向量

12、 2021年6月22日 振动力学 16 刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵 当当 M、K 确定后，系统动力方程可完全确定确定后，系统动力方程可完全确定 M、K 该如何确定？该如何确定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程： n RX 先讨论先讨论 K 加速度为零加速度为零 0X )(tKPX 假设外力是以假设外力是以准静态方式准静态方式施加于系统施加于系统 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 准静态外力列向量准静态外力列向量静力平衡静力平衡 2021年6月22日 振动力学 17 )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程： n RX )

13、(tPKX 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个个 坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移 即即 ： TT njjj xxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,., 111 X 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )( 1 2221 1111 2 1 nnnjn nj nj n kkk kkk kkk tP tP tP tP代入代入 ： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 nj j j k k

14、 k 2 1 2021年6月22日 振动力学 18 nj j j nnnjn nj nj n k k k kkk kkk kkk tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P 所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵 K 的第的第 j 列列 ij k（i=1n） ：在第 在第 i 个坐标上施加的力个坐标上施加的力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 考虑：这考虑：这 样的外力样的外力 列阵是否列阵是否 唯一？唯一？ 2021年6月22日

15、振动力学 19 nj j j nnnjn nj nj n k k k kkk kkk kkk tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 第第j个坐标产个坐标产 生单位位移生单位位移 刚度矩阵第刚度矩阵第j 列列 系统刚度矩系统刚度矩 阵阵 j=1n 确定确定 2021年6月22日 振动力学 20 )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程： n R X 讨论讨论 M 假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移假设系

16、统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移 )(tPXM 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )( 1 2221 1111 2 1 nnnjn nj nj n mmm mmm mmm tP tP tP tP 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 假设作用于系统的是这样一组外力：假设作用于系统的是这样一组外力：它们使系统只在第它们使系统只在第 j 个个 坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度坐标上产生单位加速度，而在其他各个坐标上不产生加速度 nj j j m m m 2 1 2021年6月22日 振动力学

17、 21 nj j j nnnjn nj nj n m m m mmm mmm mmm tP tP tP t 2 1 1 2221 1111 2 1 0 0 1 0 0 . . . . )( )( )( )(P 这组外力正是质量矩阵这组外力正是质量矩阵 M 的第的第 j 列列 ij m 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 考虑：这考虑：这 样的外力样的外力 列阵是否列阵是否 唯一？唯一？ 第第j个坐标单个坐标单 位加速度位加速度 质量矩阵第质量矩阵第j 列列 系统质量矩系统质量矩 阵阵 j=1n 确定确定 2021年6月22日 振动力学 22

18、质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单 位加速度而相应于第位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 mij、kij又分别称为又分别称为质量影响系数质量影响系数和和刚度影响系数刚度影响系数。根据它。根据它 们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵们的物理意义可以直接写出系统质量矩阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K， 从而建立作用力方程，这种方法称为从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法影响系数方法 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚度矩阵刚度矩阵 K 中

19、的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单 位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 2021年6月22日 振动力学 23 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T 001 X 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 0 2 21 k kk 使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111 kkk

20、221 kk 0 31 k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力： 保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力： 只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动 在三个质量上施加力在三个质量上施加力 能够使得能够使得 0 0 1 3 2 1 x x x X 系统刚度矩阵的第一列系统刚度矩阵的第一列 2021年6月22日 振动力学 24 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T 001 X 多自由度系统振动多自由度系统振动

21、 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 刚度矩阵：刚度矩阵： ?0 ? ? 2 21 k kk K 使使m1产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 2111 kkk 221 kk 0 31 k 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力： 保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力： 只使只使m1产生单位位移，产生单位位移，m2和和m3不动不动 2021年6月22日 振动力学 25 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静

22、态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 3 6532 2 k kkkk k 使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力： 保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力： 只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动 在三个质量上施加力在三个质量上施加力 能够使得能够使得 0 1 0 3 2 1 x x x X 系统刚度矩阵的第二列系统刚度矩阵的第二列 令令 T 010 X 212 kk 653222 kkkkk 332 kk 2021年6月22日 振动力学 2

23、6 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 使使m2产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力： 保持保持m3不动所需施加的力：不动所需施加的力： 只使只使m2产生单位位移，产生单位位移，m1和和m3不动不动 令令 T 010 X 212 kk 653222 kkkkk 332 kk 刚度矩阵：刚度矩阵： ?0

24、? ? 3 65322 221 k kkkkk kkk K 2021年6月22日 振动力学 27 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 43 3 0 kk k 使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2不动所需施加的力：不动所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力： 只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和

25、m2不动不动 在三个质量上施加力在三个质量上施加力 能够使得能够使得 1 0 0 3 2 1 x x x X 系统刚度矩阵的第三列系统刚度矩阵的第三列 令令 T 100 X 0 13 k 323 kk 4333 kkk 2021年6月22日 振动力学 28 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静态 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 使使m3产生单位位移所需施加的力：产生单位位移所需施加的力： 保持保持m2

26、不动所需施加的力：不动所需施加的力： 保持保持m1不动所需施加的力：不动所需施加的力： 只使只使m3产生单位位移，产生单位位移，m1和和m2不动不动 令令 T 100 X 0 13 k 323 kk 4333 kkk 刚度矩阵：刚度矩阵： 433 365322 221 0 0 kkk kkkkkk kkk K 2021年6月22日 振动力学 29 例：写出例：写出 M 、 K 及及 运动微分方程运动微分方程 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令 T 001 X 2111 kkk 221 kk 0 31 k 令

27、令 T 010 X 212 kk 653222 kkkkk 332 kk 令令 T 100 X 0 13 k 323 kk 4333 kkk 刚度矩阵：刚度矩阵： 433 365322 221 0 0 kkk kkkkkk kkk K 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 30 只考虑动态只考虑动态 令令 T 001 X 21 m 31 m m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 只

28、使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零 所需施加的力：所需施加的力： 111 amF 1 1 m 1 m 11 m 所需施加的力：所需施加的力： 0 222 amF0 333 amF 0 0 1 m 在三个质量上施加力在三个质量上施加力 能够使得能够使得 0 0 1 3 2 1 x x x X 系统质量矩阵的第一列系统质量矩阵的第一列 m1产生单位加产生单位加 速度的瞬时，速度的瞬时， m2和和m3尚没尚没 有反应有反应 2021年6月22日 振动力学 31 只考虑动态只考虑动态 令令 T 001 X 21 m 31 m m1 m2k3k1k2 P1(t)

29、P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 只使只使m1产生单位加速度，产生单位加速度，m2和和m3加速度为零加速度为零 所需施加的力：所需施加的力： 111 amF 1 1 m 1 m 11 m 所需施加的力：所需施加的力： 0 222 amF0 333 amF m1产生单位加产生单位加 速度的瞬时，速度的瞬时， m2和和m3尚没尚没 有反应有反应 质量矩阵：质量矩阵： ?0 ?0 ? 1 m M 2021年6月22日 振动力学 32 同理同理 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k

30、4 k5 k6 P3(t) ?00 ?0 ?0 2 1 m m M 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 令令 T 010 X 2021年6月22日 振动力学 33 同理同理 m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 3 2 1 00 00 00 m m m M 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 令令 T 010 X 令令 T 100 X 2021年6月22日 振动力学 34 令令 T 001 X 111 mm0 21 m0 31 m有：有： 令令

31、T 010 X 0 12 m 222 mm 0 32 m 有：有： 令令 T 100 X 0 13 m0 23 m 333 mm 有：有： m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) 质量矩阵：质量矩阵： 3 2 1 00 00 00 m m m M 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 35 433 365322 221 0 0 kkk kkkkkk kkk K 3 2 1 00 00 00 m m m M )( )( )( 0 0 00 00 00 3 2 1 3 2

32、1 433 365322 221 3 2 1 3 2 1 tP tP tP x x x kkk kkkkkk kkk x x x m m m 运动微分方程：运动微分方程： m1 m2k3k1k2 P1(t) P2(t) m3 k4 k5 k6 P3(t) )(tPKXXM 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 外力外力 列阵列阵 矩阵形式：矩阵形式： 2021年6月22日 振动力学 36 21,m m 21,c c 21,I I 例：双混合摆，两刚体质量例：双混合摆，两刚体质量 质心质心 绕通过自身质心的绕通过自身质心的 z 轴的转动惯量轴的转

33、动惯量 21 、 求：求： 以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出在写出在x-y平面内摆动的作用力方程平面内摆动的作用力方程 两刚体质量两刚体质量 1 I h1 C1 C2 h2 l x y 2 I 1 2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 37 受力分析受力分析 1 I h1 C1 C2 h2 l x y 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm x y 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月2

34、2日 振动力学 38 解：解：先求质量影响系数先求质量影响系数 令令01 21 ， y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 下摆对下摆对A取矩：取矩： 整体对整体对B取矩：取矩： 11 m 21 m 11h m 1 I lm2 1 1 0 2 A B 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 11 m 21 m 2122 2 11111 )(mhllmhmIm 2221 lhmm 问：为什么不考虑重力？问：为什

35、么不考虑重力？ 示意图，实际铅垂示意图，实际铅垂 2 2 2 111 lmhmI 2021年6月22日 振动力学 39 解：解： 令令10 21 ， 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2 I 22h m 0 1 1 2 A B y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm 22222212 )(mhlhmIm 2 22222 hmIm 下摆对下摆对A取矩：取矩： 整体对整体对B取矩：取矩： 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 12 m 22 m

36、 22lh m 12 m 22 m 2021年6月22日 振动力学 40 令令01 21 ， 2 2 2 1112122 2 11111 2221 )(lmhmImhllmhmIm lhmm 令令10 21 ， 2222222212 2 22222 )(lhmmhlhmIm hmIm 2 22222 22 2 2 2 111 hmIlhm lhmlmhmI M质量矩阵：质量矩阵： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 41 求刚度影响系数求刚度影响系数 由于恢复力是重力，所以实际上是求重力影响系数由于恢复力是重力

37、，所以实际上是求重力影响系数 令令01 21 ， 0 21 kglmghmk 21111 y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 gm2 gm1 1 1 0 2 A B 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 11 k 21 k 下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩： 11 k 21 k 2021年6月22日 振动力学 42 令令10 21 ， 2222 ghmk0 222212 kghmk 多

38、自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 gm2 gm1 0 1 1 2 A B y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 111 hm gm1 gm2 11 I 22 I )( 2212 hlm 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 12 k 22 k 下摆对下摆对A取矩：取矩：整体对整体对B取矩：取矩： 12 k 22 k 2021年6月22日 振动力学 43 令令01 21 ， 0 21 kglmghmk 21111 令令10 21 ， 2222 ghmk0 222212 kghmk 刚度矩阵：刚度矩阵： 22 211

39、 0 0)( ghm glmhm K 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 44 22 211 0 0)( ghm glmhm K 2 22222 22 2 2 2 111 hmIlhm lhmlmhmI M 0 0 0 0)( 2 1 22 211 2 1 2 22222 22 2 2 2 111 ghm glmhm hmIlhm lhmlmhmI 运动微分方程：运动微分方程： y 1 I h1 C1 C2 h2 l x 2 I 1 2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统

40、的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 45 例：例： 21 、 求：求： 以微小转角以微小转角为坐标，为坐标，写出微摆动的运动学方程写出微摆动的运动学方程 每杆质量每杆质量 m 杆长度杆长度 l 水平弹簧刚度水平弹簧刚度 k 弹簧距离固定端弹簧距离固定端 a 1 2 k a O1O2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 双刚体杆双刚体杆 2021年6月22日 振动力学 46 解：解： 令：令： 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 1 1 0 2 11 k 21 k 分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩： 2 11 2

41、 1 kamglk 2 21 kak 令：令： 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 0 1 1 2 12 k 22 k 分别对两杆分别对两杆 O1、O2 求矩：求矩： 2 22 2 1 kamglk 2 12 kak 0 1 1 2 a O1O2 mgmg 1 ka 12 k 22 k 1 1 0 2 a O1O2 mg mg 1 ka 11 k 21 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 47 2 11 2 1 kamglk 2 21 kak 刚度矩阵：刚度矩阵： 2 22 2 1 kamglk

42、2 12 kak 22 22 2 1 2 1 kamglka kakamgl K 1 1 0 2 a O1O2 mg mg 1 ka 11 k 21 k 0 1 1 2 a O1O2 mgmg 1 ka 21 k 22 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 48 令：令： 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 1 1 0 2 11 m 2 1111 3 1 mlIm 0 21 m 令：令： 则需要在两杆上施加力矩则需要在两杆上施加力矩 12 m 22 m 2 2222 3 1 mlIm 0 12 m

43、0 1 1 2 质量矩阵：质量矩阵： 2 2 3 1 0 0 3 1 ml ml M 21 m 1 1 0 2 a O1O2 mg mg k 0 1 1 2 a O1O2 mg mg k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 11 m 21 m 12 m 22 m 2021年6月22日 振动力学 49 22 22 2 1 2 1 kamglka kakamgl K 运动学方程：运动学方程： 2 2 3 1 0 0 3 1 ml ml M 0 0 2 1 2 1 3 1 0 0 3 1 2 1 22 22 2 1 2 2 kamglka kaka

44、mgl ml ml 1 2 k a O1O2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 50 例：两自由度系统例：两自由度系统 摆长摆长 l，无质量，微摆动，无质量，微摆动 求：运动微分方程求：运动微分方程 x m1 k1 2 m k2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 51 解：解：先求解刚度矩阵先求解刚度矩阵 令：令： 01x 212111 1)(kkkkk 0 21 k 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力

45、学方程多自由度系统的动力学方程 x方向力平衡方向力平衡 A点力矩平衡点力矩平衡 m1 k1 0 gm2 k2 1x 刚度矩阵第一列：刚度矩阵第一列： 0 21 kk 需要施加的力和矩需要施加的力和矩 11 k 21 k 11 k 21 k A x 静态平衡静态平衡 2021年6月22日 振动力学 52 解：解： 令：令： 1 0 x 00)( 2112 kkk glmlgmk 2222 sin 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 x方向力平衡方向力平衡 A点力矩平衡点力矩平衡 刚度矩阵第二列：刚度矩阵第二列： 需要施加的力和矩需要施加的力和矩

46、 12 k 22 k m1 k1 1 gm2 k2 0 x A 12 k 22 k glm2 0 x 2021年6月22日 振动力学 53 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 x m1 k1 2 m k2 刚度矩阵第一列：刚度矩阵第一列： 0 21 kk 刚度矩阵第二列：刚度矩阵第二列： glm2 0 系统刚度矩阵：系统刚度矩阵： glm kk 2 21 0 0 K 2021年6月22日 振动力学 54 求解质量矩阵求解质量矩阵 令：令：0 1 x 212111 )(mmxmmm lmlxmm 2221 )( 令：令：1 0 x lmlmm

47、2212 2 2 2 222 lmlmIm m1 k1 1 gm2 k2 0 x 12 m 22 m I lm 2 惯性力惯性力 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 瞬时动态瞬时动态 m1 k1 0 gm2 k2 1 x 11 m 21 m x m 2 惯性力惯性力 x m 1 惯性力惯性力 2021年6月22日 振动力学 55 2111 mmm lmm 221 lmm 212 2 222 lmm 质量矩阵：质量矩阵： 2 22 221 lmlm lmmm M x m1 k1 2 m k2 刚度矩阵：刚度矩阵： glm kk 2 21 0 0

48、 K 运动微分方程：运动微分方程： 0 0 0 0 2 21 2 22 221 x glm kkx lmlm lmmm 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 56 小结：小结： 建立动力学方程的建立动力学方程的影响系数法影响系数法 多自由度系统作用力方程：多自由度系统作用力方程： 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 质量矩阵质量矩阵 M 中的元素中的元素mij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单 位加速度而相应于第位加速度而相应于第

49、i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 刚度矩阵刚度矩阵 K 中的元素中的元素 kij 是使系统仅在第是使系统仅在第 j 个坐标上产生单个坐标上产生单 位位移而相应于第位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力个坐标上所需施加的力 刚度矩阵：刚度矩阵： 质量矩阵：质量矩阵： 静态静态 动态动态 )(tPKXXM 力的量纲力的量纲 2021年6月22日 振动力学 57 位移方程和柔度矩阵位移方程和柔度矩阵 对于静定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比通过刚度刚度 矩阵矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些来得更方便些 柔度柔度定义为弹性

50、体在定义为弹性体在单位力作用下产生的变形单位力作用下产生的变形 物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 x1 m1 x2 m2 P1P2 无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量 （质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ） 假设假设 21 PP、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21 mm、 21 xx、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 多自由度系统振动多自由

51、度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 58 111 fx m1 位移：位移： 212 fx m2 位移：位移： 01 21 PP、时时（1）10 21 PP、时时（2） 121 fx m1 位移：位移： 222 fx m2 位移：位移： 21 PP、 同时作用同时作用（3） 2121111 PfPfx m1 位移：位移： 2221212 PfPfx m2 位移：位移： f11f21 P1=1 f12f22 P2=1 x1 m1 x2 m2 P1P2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程

52、 2021年6月22日 振动力学 59 21 PP、 同时作用时：同时作用时： 2121111 PfPfx 2221212 PfPfx 矩阵形式：矩阵形式：FPX 2 1 x x X 2221 1211 ff ff F 2 1 P P P 柔度矩阵柔度矩阵 物理意义：物理意义： 系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到 单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ij f 柔度影响系数柔度影响系数 f11f21 P1=1 f12f22 P2=1 x1 m1 x2 m2 P1P2 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度

53、系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 60 FPX 21 PP、当当 是动载荷时是动载荷时 集中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 222 111 2221 1211 2 1 )( )( xmtP xmtP ff ff x x 2 1 2 1 2 1 2221 1211 2 1 0 0 )( )( x x m m tP tP ff ff x x )(XMPFX 位移方程位移方程 x1 m1 x2 m2 P1P2 11x m 22x m m1m2 P1(t)P2(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2 1 2221 12

54、11 2 1 P P ff ff x x 2021年6月22日 振动力学 61 11x m 22x m m1m2 P1(t)P2(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 也可按作用力方程建立方程：也可按作用力方程建立方程： PKXXM XMPKX )( 1 XMPKX 若若K非奇异非奇异 )(XMPFX 位移方程：位移方程： FPXXFM 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系： 1 KFIFK 2 1 x x X )( )( 2 1 tP tP P 刚度矩阵刚度矩阵 2021年6月22日 振动力学 62 对于允许刚体运动产生的

55、系统（即具有刚体自由度的系统），对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统）， 柔度矩阵不存在柔度矩阵不存在 应当注意：应当注意： 1 I2 I k m1m2 k1k2 m3 原因：原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动 而无法计算各个坐标上的位移而无法计算各个坐标上的位移 刚度矩阵刚度矩阵 K 奇异奇异 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 63 例：例： 求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程 已知梁的抗

56、弯刚度矩阵为已知梁的抗弯刚度矩阵为 EJ x1 x2 l/3l/3l/3 m1m2 P1(t)P2(t) 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 64 由材料力学知，由材料力学知， 当当B点作用有单位力时，点作用有单位力时，A点的挠度为：点的挠度为： )( 6 222 bal EJl ab fAB 柔度影响系数：柔度影响系数：fff8 2211 fff7 1221 EJ l f 486 3 ff ff 87 78 F 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 87 78 x x m m P P ff ff x x 柔

57、度矩阵：柔度矩阵： 位移方程：位移方程： x1 x2 l/3l/3l/3 m1m2 P1(t)P2(t) l ab AB P=1 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 )(XMPFX 2021年6月22日 振动力学 65 例：例： 教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度阵，求柔度阵 33 3322 221 0 0 kk kkkk kkk K （1）在坐标）在坐标 x1 上对质量上对质量 m1 作用单位力作用单位力 系统在坐标系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为上产生位移为: 1 312111 1 k fff m1m2 k1k2 m3 k

58、3 x1x2x3 解：解： （2）在坐标）在坐标 x2 上对质量上对质量 m2 作用单位力作用单位力 21 22 11 kk f 1 12 1 k f 21 32 11 kk f （3）在坐标）在坐标 x3 上对质量上对质量 m3 作用单位力作用单位力 1 13 1 k f 21 23 11 kk f 321 33 111 kkk f 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 66 1 11 1 k f 1 21 1 k f 1 31 1 k f 21 22 11 kk f 1 12 1 k f 21 32 11 k

59、k f 1 13 1 k f 21 23 11 kk f 321 33 111 kkk f 321211 21211 111 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk F柔度矩阵：柔度矩阵： 可以验证，有：可以验证，有： IFK m1m2 k1k2 m3 k3 x1x2x3 33 3322 221 0 0 kk kkkk kkk K 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 67 多自由度系统振动多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 小结：小结： 多自由度系

60、统的位移方程：多自由度系统的位移方程：FPXXFM 柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵 位移的量纲位移的量纲 柔度矩阵：柔度矩阵： 柔度矩阵柔度矩阵fij的含义的含义为系统仅在第为系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时个坐标受到单位力作用时 相应于第相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程位移方程不适用于建立存在刚体自由度系统的动力学方程 2021年6月22日 振动力学 68 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 n 阶方阵阶方阵 A 正定正定 并且等号仅在并且等号仅在0y 时才成立时才成立 0