10椭圆及其标准方程

1、北京师范大学教育实习教案（注：须于上课前二日写好）部/院/系 数学科学学院专业数学与应用数学 姓名苏代辉学号0810012942我校指导教师刘洁民实习学校教学指导教师刘芹原任课教师刘芹2012年 11 月 12 日 (星期 一 ) 第 2 节课 本人本次实习第 10 个教案 实习学校和平街一中实习班级高二(10)班实习科目数学教学课题椭圆及其标准方程所用教材教材名称：数学A版选修1-1第 1册，第 2 章 1 节32页出版社：人民教育出版社.教学目标知识与技能：1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义；2、掌握椭圆标准方程的推导过程；3、要求会求一些简单的椭圆的标准方程。情感态度、价值观： 1、通

2、过探究性学习，获得成功的喜悦、培养学好数学的信心；2、帮助学生树立运动、变化观点，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；3、经历观察、探究等学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度。教学重点椭圆定义的形成和标准方程的推导。教学难点椭圆标准方程的推导。课时安排1课时教学用具学案教学方法教师启发引导、学生主动探究和问题驱动型教学。北京师范大学教育实习教案教学过程及内容一、创设情境，探究定理。1、探究。 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉近绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆，如果把绳子的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔

3、尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？分析：把细绳的两端拉开一段距离，移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数。我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距。2、思考。观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简化？类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，我们根据椭圆的几何特征选择适合的坐标系，建立它的方程。如图，经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1、F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy。设M（x,y）是椭圆上任意

4、一点，椭圆的焦距为2c（c0），那么焦点F1、F2的坐标分别为（-c，0）、（c，0），又设M与F1、F2的距离的和为2二、建系设点求方程。由椭圆的定义，椭圆就是集合P=MMF1+MF2=2a。因为MF1=（x+c）2+y2，MF2=（x-c）2+y2，所以：（x+c）2+y2 +（x-c）2+y2=2a。为了简化这个方程，将左边的一个根式移到右边，得： （x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2将这个方程两边平方，得：（x+c）2+y2=4a2-4a（x-c）2+y2 +（x+c）2+y2整理可得：a2-cx=a（x-c）2+y2 上式两边再平方，得 a4-2a2cx+c2x2=a2x2-

5、2a2cx+a2c2+a2y2， 整理得： （a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2） 两边同除以a2（a2-c2），得： x2a2+x2a2-c2=1. 由椭圆的定义可知，2a2c，即ac，所以a2-c20.思考：观察，你能从中找出表示a，c，a2-c2的线段？由图可知，PF1=PF2=a。OF1=OF2=c。 PO=a2-c2，令b=PO=a2-c2，那么式就是：x2a2+x2b2=1 （ab0）. 从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程；以方程的解（x，y）为坐标的点到椭圆两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为2a，即以方程的解为坐标的点都在椭圆上。这样，我们把方

6、程叫做椭圆的标准方程。它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0）、F2（c，0），这里c2=a2-b2。思考如果焦点F1、F2在y轴上，且F1、F2的坐标分别为（0，-c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么。容易知道，此时椭圆的方程是：x2a2+x2b2=1 （ab0）这个方程也是椭圆的标准方程。三、例题应用。例1.已知椭圆两焦点的坐标分别（-2,0），（2,0），并且经过点（52，-32），求它的标准方程。解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为：x2a2+x2b2=1 （ab0）。由椭圆的定义知：2a=PO=（52+2）2+（-32）2+（52-2）2+（-

7、32）2=210，所以a=10。又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为：x210+x26=1你还能用其他的方法求这个方程吗？例2，如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点p在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M的运动，我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程。解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0、y0），则x=x0。y=y02.因为点P（x0、y0）在圆x2+y2=4上，所以

8、x02+y02=4。把x0=x，y0=2y带入方程，得x2+4y2=4。即x24+y2 =1 （ab0）。所以，点M的轨迹是一个椭圆。总结：寻求点M的坐标x，y与中间变量x0，y0之间的关系，然后消去x0，y0。得到点M的轨迹方程，这是解析几何中求点的轨迹方程常用的一种方法。四、课堂小结。1、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。2. x2a2+x2b2=1为椭圆的标准方程。其中当ab时，焦点在x轴上；当ab0）。由椭圆的定义知：2a=PO=（52+2）2+（-32）2+（52-2）2+（-32）2=210，所以a=10。又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为：x210+x26=1椭圆的定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的标准方程：焦点在x轴上时：x2a2+y2b2=1（ab0）焦点在y轴上时：y2a2+x2b2=1（ab0）北京师范大学教育实习教案课后总结与评议纪录自我分析