第五章 频率分析法

1、 开环频率特性绘制 Nyquist稳定判据 本章小结 引 言 n频率响应是指系统对正弦正弦输入的稳态稳态响应 n频率响应法是以频率特性为基础研究系统的性能 n频率分析法特点： 1. 应用奈奎斯特判据，根据系统的开环频率特性来分析 闭环系统稳定性； 2. 根据频率特性和性能指标的关系分析系统的瞬态性能 和稳定性指标； 3. 频率特性可以通过实验方法测得； 4. 可以推广应用于某些非线性系统； 5. 图解方法，直观性强，在工程上得到广泛应用。 5.1 频率特性的基本概念及作图 n频率特性定义 n频率特性和传递函数的关系 n频率特性作图 ( ) ( )( ) o oi du t Tu tu t dt

2、 ( )1 ( ) ( )1 o i Us G s U sTs ( )sin ii u tUt 若 则 22 ( ) i i U U s s 2222 11 ( )( ) 111 i oi UABsc UsU s TsTssTss 1 22 22 ( )sin(tan) 1 1 t ii T o U TU u tetT T T 当 t 时，有： 1 22 lim( )sin(tan) 1 sin() o i o t ou U u ttT T Ut 比较输入信号 ( )sin ii u tUt 1、输出电压稳态值是与输入信号同频率的正弦信号； 2、幅值和相角与输入不同，与频率和系统参数T有关；

3、令： 22 1 ( ) 1 o i U A U T 11 ( )tan0tanTT A()和()反映了RC网络频率响应的振幅和相位随频率变换的规律。 :0 A()和()联合起来称为系统的频 率特性。 结论： () ( )( )|() j sj AeG sG j 为讨论方便，不考虑重极点 12 22 ( )( )( ) ( ) ( )( )()()() ( )sin ( ) ()() n Y sN sN s G s X sD sspspsp x tXt XX X s ssjsj 22 1 1 ( ) ( )( )( ) ()() n n icc i i N sX Y sG s X s spsps

4、 KKK spsjsj 1 ( ) i n p tj tj t icc i y tK eK eK e 当系统稳定时： ( )| j tj t tcc y tK eK e 写出稳态响应表达式： () ( )()| ()()2 csj XGjX KG ssj sjsjj () ( )()| ()()2 csj XG jX KG ssj sjsjj () |()| j G jG je () |()|()| jj GjGjeG je ()()G jGj、共轭 ( )|()| 2 |()| sin() sin() jtjt y ee y tX G j j X G jt Yt 幅频特性： 相频特性： (

5、)|()| Y AG j X ( )() yx G j 得到频率特性和传函的关系为： () ( )( )|() j sj AeG sG j 频率特性是频域频率特性是频域 中的数学模型。中的数学模型。 代数式： ()( )( )G jPjQ 极坐标式： () | ()|()( )( )G jG jG jA 指数式：()() () |()|( ) j G jj G jG jeAe ( )Q( )P实部；虚部； A( ) |()|G j ()G j ( )= 相频特性； 幅频特性； 关系： 22 1 ( )( ) cos ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) sin ( )( )tan (

6、 ) PAAPQ Q QA P 频率特性曲线： 1、极坐标频率特性曲线奈奎斯特(Nyquist)曲线； 2、对数频率特性曲线伯德(Bode)曲线； 3、对数幅相特性曲线尼柯尔斯(Nichols)曲线。 ：0向量G(j)在复平面上的运动轨迹。 G(-j)、 G(j)共轭，频率特性曲线对称于实轴。 ()( )( )G jPjQ () | ()|()( )( )G jG jG jA 212121 10lglglg/lg10 1 212121 2lglglg/lg2 0.301 ( ) 20lg ( )LA 均匀分度，单位分贝(db) 5.2 典型环节的频率特性 n比例环节 n积分环节 n惯性环节 n

7、振荡环节 n微分环节 n延迟环节 传递函数： 频率特性： ( )G sK 0 () j G jK e 1、极坐标频率特性曲线： ( ) |()|AG jK( )()0G j 2、对数频率特性曲线： ( )20lg( )20lgLAK ( )0 ( ) K G s s 2 () j KK G je j 1、极坐标频率特性曲线： ( ) |()| K AG j ( )()90G j 2、对数频率特性曲线： ( )20lg( ) 20lg20lg LA K ( )90 ( ) 1 K G s Ts () 1 K G j jT 1、极坐标频率特性曲线： 22 ( ) |()| 1 K AG j T 1

8、 ( )tanT 当由0变化到时，惯性环节的极坐标特性曲线是一个半圆。证明： 22 ( ) 1 K P T 22 ( ) 1 KT Q T 2 22 22 1 K PQKP T 222 ()() 22 KK PQ 圆心(K/2,0)，半径K/2，实轴下方半圆。 2、对数频率特性曲线： 22 ( )20lg( )20lg20lg 1LAKT 1 ( )tanT 低频段时，很小，T1，高频渐近线： ( )20lg20lgLKT 1 T ( )20lgLK ( )45 交接频率或转折频率 误差：=真实值-近似值 22 1 ,20lg 1 T T 22 1 ,20lg 120lgTT T 1 T 处存

9、在最大误差： 20lg 1 1=-3.01dB 2 2222 ( ) 221 n nn KK G s ssT sTs 2 2222 () ()2()(1)2 n nn KK G j jjTjT 不妨取K=1 22 2222 1 ( ) (1)(2) T P TT 2222 2 ( ) (1)(2) T Q TT 1、极坐标频率特性曲线： 2222 1 ( ) (1)(2) A TT 1 22 2 ( )tan 1 T T 以为参变量，绘制振荡环节极坐标曲线 0, ( )1, ( )0A 11 , ( ), ( ) 22 A T 曲线与负虚轴相交 , ( )0, ( )A 曲线沿负实轴方向趋向原

10、点，且与负实轴相切。 p 时，A()具有最大值， () pp MA 2222 1 ( ) (1)(2) A TT ( ) 0 dA d 2222 ( )(1)(2)gTT 22 1 1 21 200.707 pn T 2 1 () 21 pp MA 2 1 1 2 ()tan p p与有关， p称为谐振频率或峰值频率。 2、对数频率特性曲线： 2222 ( )20lg( )20lg20lg(1)(2)LAKTT 1T 低频段， ( )20lg10L 低频渐近线 1T 高频段， 2 ( )20lg()40lgLTT 高频渐近线 1 T ( )20lg10L ( )90 两渐近线相交，振荡环节的交

11、接频率或转折频率。 相频特性曲线： 1 22 2 ( )tan 1 T T 0, ( )0 1 , ( ) 2T , ( ) ( )G sKs()G jjK 1、纯微分环节 ( )AK( )90 ( )20lg( )20lg 20lg20lg LAK K 与积分环节对比？与积分环节对比？ 22 ( )20lg( ) 20lg20lg 1 LA KT 2、一阶微分环节 ( )(1)G sK Ts ()(1)G jKjT 22 ( )1AKT 1 ( )tanT 3、二阶微分环节 22 ( )(21)G sKss 22 ()(1)2G jKj 2222 ( )(1)(2)AK 1 22 2 ( )

12、tan 1 2222 ( )20lg( ) 20lg20lg(1)(2) LA K ( ) s G se () j G je ( )1A ( ) ( )20lg( )0LAdB 1( )57.3 时 5.3 开环频率特性绘制 n极坐标特性曲线的绘制 n对数频率特性曲线的绘制 n最小相与非最小相系统 () ()( )( )( ) j G jAePjQ 例：设开环系统的频率特性为： 12 () (1)(1) K G j jTjT 1）列写实频特性和虚频特性的表达式； 2）当K=10、T1=1、T2=5时，试绘制极坐标图。 12 2222 1212 222 1212 2222 12 (1)(1) (

13、) (1)(1)(1)(1) (1)() (1)(1) KjTjTK G j jTjTTT KT TjK TT TT 2 1 2 2222 12 (1) ( ) (1)(1) KTT P TT 12 2222 12 () ( ) (1)(1) K TT Q TT 将G(j)有理化： 带入K=10、T1=1、T2=5，取为不同值计算，描点 2 1 2 2222 12 (1) ( ) (1)(1) KTT P TT 12 2222 12 () ( ) (1)(1) K TT Q TT 一般地： 0(0),(0)0PK Q, 1 2 12 1 2 1 ( )0,( ) K TT PQ TTTT 起点

14、： 与虚轴交点： 终点： ( )0,( )0PQ , 例：设开环系统的频率特性为： 12 () (1)(1) K G j jjTjT 试绘制极坐标特性曲线。 12 2222 12 () ( ) (1)(1) K TT P TT 2 1 2 2222 12 (1) ( ) (1)(1) KTT Q TT 将G(j)有理化： 12 0(0)(),(0)PK TTQ , 1 2 12 1 2 1 ( )0, ( ) KTT QP TTTT 起点： 与实轴交点： 终点： ( )0,( )0PQ , 极坐标特性曲线： 1、保持准确曲线的重要特征，如起点、终点、与实轴或虚轴的交叉点； 2、在重要点的附近有

15、足够准确性。 一般系统： 1 1 1 1 (1) (), ()(1) m i i n j j Kj G jnn jjT 1 1 1 |1| ( ) |() |1| m i i n j j Kj A jjT 1 11 ( )(1)(1) 2 n m ij ij jj T 1、起点： 0() () K G j j , 0( ), ( )0AK , 0( ), ( ) 2 A , 起点与系统类型和增 益有关 2、终点： 对于实际的物理系统，一般nm ()0()() 2 G jG jnm , 3、与实、虚轴交点： 4、中频部分曲线形状和频率特性的参数密切相关。 零点的影响： Re ()0 x G j

16、Im ()0 y G j 3 12 (1) () (1)(1) KjT G j jjTjT 12 ()()()G jGjGj 已知各环节的对数频率特性，开环系统的对数幅频特性和相频特性分别为： 12 ( )20lg|()|( )( )LG jLL 12 ( )()( )( )G j 将开环系统写成典型环节时间常数的实系数形式 12 12 22 11 22 11 (1)(21) ( ) (1)(21) mm ikkk ik knn jlll jl sss K Gs s sss 1212 22nnnmmm 2）绘制对数幅频特性的低频渐近线，即0 ()( )20lg20 lg () K G jLK

17、j , 1, (1)20lg, ( )0LKK L 对数幅频实际绘制时按以下步骤一次完成： 1）确定K、v以及各个环节的转折频率。 1111 ; ikjl ikjl 将各转折频率从小到大标注在频率轴上。 4）分段直线的最后一段 5）在转折频率附近进行修正，可得到较准确曲线。 斜率：-20(n-m)dB/dec 3）以低频渐近线作为分段直线的第一段，从低频段开始沿频率增大的方向，每 遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率。 当遇到i时，斜率变化量为+20dB/dec； 当遇到k时，斜率变化量为+40dB/dec； 当遇到j时，斜率变化量为-20dB/dec； 当遇到l时，斜率变化量为-40dB/

18、dec； 对数相频特性曲线的绘制： 利用典型环节的各对数相频特性相加，或直接利用相频特性表达式计算。 12 12 11 22 11 11 22 11 2 ( )tantan 1 2 tantan 21 mm kk i ik k nm ll j jl l 0 lim ( )lim( )() 22 nm 例：设某系统的传递函数为： 2 160 ( ) (4)(1.64) G s sss 试绘制开环系统的幅频特性和相频特性。 整理： 2 10 ( ) (0.251)(0.250.41) G s sss 1）K=10, v=0 惯性环节：T1=0.25, 1=1/T1=4 振荡环节： T2=0.5,

19、2=1/T2=2 2）低频段 3）绘制近似对数幅频特性曲线 ( )20lg20LKdB 相频特性： 11 2 0.4 ( )tan0.25tan 1 0.25 例：设某系统的频率特性为： 32 2 10 (1100 ) () () (110 )(10.125 )(10.05 ) j G j jjjj 试绘制用分段直线表示的对数幅频特性。 1）转折频率 1234 0.01,0.1,8,20 2）低频段 3 2 10 () () G j j 3 1, ( )20lg1060LdB 斜率:-40dB/dec 3）绘制近似对数幅频曲线 例：延迟环节的开环传递函数为： 0.5 3 ( ) 1 s e G

20、 s s 试绘制开环系统的对数频率特性。 12 ()()()G jGjGj 0.5 1( ) j Gje 2 3 () 1 Gj j 122 ( )( )( )( )LLLL 12 ( )( )( ) 22 1 1. 2! s ess 例： 12 11 (),()0 11 jj GjGjT jTjT 2222 12 ( )( )20lg 120lg 1LLT 11 1( ) tantanT 11 2( ) tantanT 利用对数幅频特性曲线确定最小相位系统传函 1 2 (1) ( ) (1) K T s G s s T s 22 ( ) 21 K G s T sTs 1 20lg6 2 5.

21、4 Nyquist稳定判据 n辅助函数F(s)与开环、闭环传递函数零点 和极点的关系 n幅角定理 n奈氏(Nyquist)稳定判据 n奈氏判据在、型系统中的应用 n对数频率稳定判据 1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出了频率法的稳定判据奈奎斯特稳定判 据。 奈氏判据由开环系统频率特性判别闭环系统的稳定性，在控制理论中占有重要 地位。 系统开环传递函数： 构造一辅助函数： F(s)特点: 1、 F(s)零点是闭环极点； 2、 F(s)极点是开环极点； 3、 由于n=m，因此系统闭环极点的数目等于开环极点的数目 （即F(s)零点数等于极点数）。 如何求F(s)零点？ ( ) ( ) ( )

22、B s G s A s ( )( ) ( )1( ) ( ) A sB s F sG s A s 1、映射关系、映射关系 S平面上的任一条不通过F(s)奇异点的封闭曲线，F(s)平面上存在与其相对应 的封闭曲线。 F(s)平面原点被包围的次数和方向，对稳定性有重要意义。 2、幅角定理、幅角定理 由幅角变化，导出F(s)平面原点被包围的次数和方向。 例： 1 1 ( )1( )( ) sz F sG s H s sp 11 ( )()()F sszsp 当s沿封闭曲线变化时，复数F(s)的幅角变化： 11 ( )()()F sszsp 问题： s沿封闭曲线顺时针移动一周， ( )?F s a）z

23、1、p1未被包围 11 ()0,()0szsp( )0F s 不包围原点 b）z1被包围 ( )2F s 顺时针包围原点一周N=1 c）p1被包围 ( )2F s 逆时针包围原点一周N=-1 NZP 如何判断系统的稳定性？ 1、奈氏路径 为判断右半平面F(s)零点个数，取如下包围整个 右半s平面的封闭曲线为奈氏路径。 1)正虚轴，由s=j; :0+; 2)半径无穷大的正半圆，由 ,: 22 j sReR 3)负虚轴，由s=-j; :0-; 2、奈氏路径在F(s)平面上的映射 1)半径无穷大的右半圆 0 lim( ) s nm G s nm 常数 一个点 ( )()1():0F sF jG j

24、2)正虚轴 3)负虚轴 ( )()1()F sFjGj 与F(j)对称于实轴。 3、F(s)平面转化为G(s)平面 ()() 1G jF j 奈氏曲线 F(j)曲线对原点的包围情况与G(j)曲线对(-1,j0)点的包围情况相当。 奈氏路径顺时针包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则G(s)平面上的映射曲线 G(j)(开环频率特性曲线)顺时针包围点(-1,j0)N次 NZP 4、奈氏判据 设开环传函在右半s平面上的极点数为P，则闭环稳定的充要条件是： 在G(s)平面上的开环频率特性曲线G(j)当 ：-+时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点P圈，即 NP 若闭环系统不稳定，则闭环系统在右半s平

25、面上的极点个数： ZNP N开环频率特性曲线顺时针方向包围(-1,j0)点的圈数。 推论： 开环系统稳定P=0，则闭环系统稳定的充要条件是N=0，即开环频率特性曲 线G(j)当:- +时不包围点(-1,j0)。 例1： 12 ( ) (1)(1) K G s T sT s 0P 例2： 2 52 ( ) (2)(25) G s sss 1、概略绘制奈氏曲线 2 22 2222 52 () (2)(52 ) 52(104)52 (9) (4)(5)4 G j jj j 2、判断稳定性 0P 何时处于临界稳定？ 例3： P=1，稳定N=-1，即逆时针包围(-1,j0)一圈，K1 1 1 (1) (

26、 ) (1) m i i kn j j s K Gs s T s 开环系统传函： 1、重新选取奈氏路径 半径为无穷小的右半圆 ,0,: 22 j sR eR 2、奈氏曲线的画法 半径为无穷小的半圆上的点 j sR e 1 00 0 (1) lim( )|lim ()(1) lim () j j i jj s R e RR j j j R KR e G s R eT R e K e R e 1 :0:0 2222 1 :0,:0 2222 型系统： 型系统： 1 :0,:0 22 :00? 含有积分环节完整的极坐标频率特性曲线： 1）：0+ 2）=0+ 逆时针补画v 90圆弧 3）以实轴为对称轴，画出：-0时的奈氏曲线 例1： 12 ( ) (1)(1) K G s s T sT s 例2： 2 (1) ( ) (1) Ks G sT s Ts 若若 ？ T T 注： 1）简便起见，G(j)， ：0 对点(-1,j0)的包围 2 ZP N NG(j)， ：0 变化，顺时针围绕(-1,j0)圈数。 2 P N 稳定 2）利用正负穿越讨论对点(-1,j0)的包围 穿越：极坐标曲线穿过点(-1,j0)以左的负实轴。 正穿