第四章数学抽象与数学建模

1、 一切科学的抽象， 都更深刻、更正确、更全面性地反映着自然 列宁 第一节 抽象 毕加索抽象画 数学中的“1” 从“一个人”、“一棵树”、“一只羊” 等客观事物中抽象出来的，只保留这些对象 在数量上的特性，即量的多少 数学中的“圆” 从许许多多具体形体中抽象出来的“形”的概 念，并没有顾及它所代表的特殊的质的内容 纯数学的对象是现实世界的空间形式 和数量关系，所以是非常现实的材料这 些材料以极度抽象的形式出规，这只能在 表面上掩盖它起源于外部世界的事实。 恩格斯 点、线、面，常量、变量概念 一、抽象方法 抽象是把研究的事物从某种角度看待的本 质属性抽取出来舍去其非本质属性进行考察的 思维方法。在

2、数学中，抽象是指从研究对象或 问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其它 属性对其进行考察的方法。数学中的概念、关 系、定理、方法、符号等都是数学抽象或再抽 象的思维结果。抽象思维是数学学习的基础之 一。 2.数学抽象的基本形式 （1）理想化抽象 所谓理想化是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非客观事物本身存在 的东西，而是从实际事物中分离出来的经过思维加工得来的，甚至是假想出 来的概念和性质 。 如，在几何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念，在自然界也是 不存在的，都是经过人们的智慧加工得来的理想化概念几何中的“点”是 从自然界中物体的大小无限地减少可能得到的结果，或者在物体的大小比较

3、中，大大可以忽略不计的物体中抽象得来的，而且把它理想化为无长、无宽、 无高的“点”同样，“直线”被理想化为没有厚度和宽度的线、“平面被 理想化为没有厚度的面等。 在数学中，往往在原有的对象中引入理想化元素，创造出新的数学理 论例如无限远点(理想化元素) 和虚根的引入。 上述事例说明，理想化抽象的方法在数学的发展和发明创造中具有重要的 作用” (2)等价抽象 在数学研究中，把同类对象的共同性质抽取出来而舍弃对象的其 它性质，这种抽象方法称为等价抽象 例如，对于两个集合来说，如果能够在它们的元素之间建立起一例如，对于两个集合来说，如果能够在它们的元素之间建立起一 一对应关系，则称它们为对等的集合一

4、对应关系，则称它们为对等的集合自然数自然数是等价抽象的结果是等价抽象的结果 又如，两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例，具有这 样的性质的三角形，它们都具有相同的形状把三角形这种相同的 性质和形状的特点抽象出来就得到相似三角形相似三角形的概念这也是等价 抽象 再如，在自然数中有的数被一个自然数除，都得到相同的余数 (如2，7，12，17，被5除都得到余数2)，从这类自然数的共同 特征抽象得到同余数同余数的概念，也是等价抽象 等价关系满足以下三条性质：等价关系满足以下三条性质：自反性、对称性、传递性。自反性、对称性、传递性。 设有一集合设有一集合E，如果给定了笛卡尔乘积，如果给定了笛卡尔乘

5、积EE的一个子集合的一个子集合R，我们就说，我们就说 在在E上定义了一个二元关系上定义了一个二元关系R.即一个二元关系，就是一个有序偶对的集合。即一个二元关系，就是一个有序偶对的集合。 如果用如果用a,b,c, 表示所考察的一类对象，那么表示所考察的一类对象，那么 自反性：如果对于所有的自反性：如果对于所有的a，都有（，都有（a,a）R，例如数的相等，自然数，例如数的相等，自然数 的整除等的整除等 对称性：如果（对称性：如果（a,b）R，则（，则（b,a）R，如数的不等、直线的平行、，如数的不等、直线的平行、 垂直、相似等垂直、相似等 传递性：如果（传递性：如果（a,b）R，（，（b,c）R，

6、则（，则（a,c）R.如数的大小、如数的大小、 直线的平行、整除、相似等直线的平行、整除、相似等 （3）强抽象与弱抽象 强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽强抽象是指在已知概念中，加强对某一属性的限制，抽 象出作为原概念特例的新概念的方法，即通过扩大原概念的象出作为原概念特例的新概念的方法，即通过扩大原概念的 内涵来建立新概念的抽象方法。内涵来建立新概念的抽象方法。 例：从四边形概念出发，从两组对边给予适当限制，则例：从四边形概念出发，从两组对边给予适当限制，则 得平行四边形和梯形的概念。得平行四边形和梯形的概念。 若从平行四边形概念出发，再对边或角分别适当限制，若从平行四边形概念

7、出发，再对边或角分别适当限制， 有得到矩形、菱形及正方形的概念。有得到矩形、菱形及正方形的概念。 由对数的概念出发，对底数给予适当的限制，可获得以由对数的概念出发，对底数给予适当的限制，可获得以 1010为底的常用对数和以为底的常用对数和以e e为底的自然对数等为底的自然对数等 弱抽象：指在已知概念中，减弱对某一属性的限制，弱抽象：指在已知概念中，减弱对某一属性的限制， 抽象出比原概念更为广泛的新概念，使原概念成为新抽象出比原概念更为广泛的新概念，使原概念成为新 概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立 新概念的抽象方法。新概念的抽象方法。

8、例：从全等三角形的概念出发，借助弱抽象就可获例：从全等三角形的概念出发，借助弱抽象就可获 得相似形与等积形的概念，它们分别保留了得相似形与等积形的概念，它们分别保留了“形状相形状相 同同”及及“面积相等面积相等”的特性。的特性。 又如：在锐角三角函数概念中，放宽对又如：在锐角三角函数概念中，放宽对“锐角锐角”的的 限制，可以获得任意角的三角函数的概念，任意角的限制，可以获得任意角的三角函数的概念，任意角的 三角函数保留了三角函数保留了“比比”的属性的属性 （4）存在性抽象（可能性抽象） 先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念的存在性，并由此先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念的存在性，并由此 发

9、展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而发展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而 确认新的数学理论的合理性。确认新的数学理论的合理性。 例如：自然数列就是存在性一个例子要把自然数列无限延伸，必须把 人类生命的有限性以及认识客观事物在时间上的局限性舍去，才有可能实现 无限地延伸自然数列的设想从实践的观点来看，能够实现的过程必须是有 限个步骤因此，任何人都不可能把自然数列延伸到无限的境地但是，人 们认识到，如果能够把自然数列延伸到任何一个自然数n，那么必能写出n后 面的一个自然数n+1由此，认为把自然数列无限延伸潜在着实现的可能性， 简称可能性 从圆内接正六边形算起，把边

10、数连续倍增来计算圆周长等等，都是以前一 步计算结果为根据，就能够算出后一步的结果，这就认为可能无限地计算下 去由此，得到圆周率的概念，这些都是运用了可能性抽象的方法得到的数 学概念 哥尼斯堡七桥问题： 德国哥尼斯堡市内有一条布勒尔河，在这条河上有两 个支流，在城中心汇合成大河，河中间是岛区，河上有 七座桥。问题：能否从任何一点为起点出发，相继走过 7座桥，而且每座桥只走一次，然后又重新回到起点 A B C D 例 亚当斯先生和亚当斯太太参加了一次晚会，同时出席的 还有其他三对夫妇，他(她)们进行了种种握手活动没有人 同他(她)自己的配偶握手；同时，没有人和同一个人握两次 手；当然，也不会有人同

11、自己握手当握手完毕之后，亚当 斯先生问了每个人，包括他自己的妻子，他或她握过多少次 手，令他惊讶的是：每个人回答的数字互不相同那么，请 问亚当斯太太握多少次手？ 数学的抽象性是显而易见的我们对抽象的数进行运算， 而并不考虑在各个场合下如何把它们与具体的对象联系起来 抽象的过程对数学的任何一个分支都是十分典型的各个 自然数的概念与各种几何图形的概念仅仅是两个最古老和最基 本的数学概念 在此以后还有大量的其它概念，它们的数量是如此之多以 致不可能一一列举，直至诸如复数、函数、积分、微分、算子、 n维空间、无穷维空间这样的抽象物这些抽象物一个建立在 一个之上，直至达到了这样的普遍性以致失去了与日常生

12、活的 任何联系，从而被普通人认为是完全不可理解的。 著名数学教育家伦伯格 数学的抽象性、精确性以及应用的广泛性 是数学的本质特征 亚历山大洛夫 数学被认为是在完全抽象的领域里活动的科 学，它和自身所研究的任何特殊事例都脱离了关 系。 怀特海 任何一门数学分支，无论怎样抽象， 总有一天会被应用于现实世界的现实之 中。 （罗巴切夫斯基） 抽象是把研究的事物从某种角度看待 的本质属性,舍去其非本质属性进行考 察的思维方法. 抽象经历分离提纯简略的过程 数学抽象方法是： 指抽取出同类数学对象的共同的、本质 的属性或特征，舍弃其他非本质的属性或特 征的思维过程 即把研究对象或问题中抽取数量关系或 空间形

13、式而舍弃其它属性对其进行考察的思 维方法。 2005年年10月月12日上午日上午9 时，时，“神舟六号神舟六号”载人载人 飞船顺利升空，实现多飞船顺利升空，实现多 人多天飞行，标志着我人多天飞行，标志着我 国航天事业又上了一个国航天事业又上了一个 新台阶，请问：新台阶，请问： “神舟神舟 六号六号”载人飞船的运行载人飞船的运行 轨道是什么？轨道是什么？ 神舟六号在进入太空后，先以远地点神舟六号在进入太空后，先以远地点347公里、近地点公里、近地点 200公里的公里的椭圆轨道椭圆轨道运行，后经过变轨调整为距地运行，后经过变轨调整为距地343 公里的圆形轨道公里的圆形轨道. 只要代数同几何分道扬镳

14、，它 们的进展就缓慢，它们的应用就狭。 但当达两门科学结成伴侣时，它们 就互相吸取新鲜的活力，从那以后， 就以快速的步伐走向完善 拉格朗日 化形为数，以数论形； 化数为形，以形论数。 二、概括 概括就是把若干事物共同的属性联合起 来考察的方法例如，我们从日出日落，潮 涨潮退，一年四季及正弦曲线、余弦曲线的 图象等，观察到这样的共同属性：当函数的 自变量增加到一定数值时，函数值可以重复 出现我们把这些个别事物的各自的属性联 合起来考察，发现了它们的共同性质变化 的周期性 概括的二种形式: . 研究的对象的扩大(包括原对象) 2. 取消被研究对象的条件限制 如三角函数的研究 如运算律的研究 幂的运算性质的研究 例如，自然数的运算性质推广到有理数运算，进一步推广 到实数和复数运算，就是运用了概括的方法又如，在中学数 学里幂的运算性质，把同底数的自然数指数幂的运算性质推广