热力学统计物理 第4章_

1、 1 2 研究对象研究对象: : 大量微观粒子组成的宏观物质系统。大量微观粒子组成的宏观物质系统。 ( (微观粒子：如分子、原子、自由电子、光子等微观粒子：如分子、原子、自由电子、光子等) ) 统计物理认为统计物理认为: : 宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现。宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现。 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。 经典统计经典统计: : 粒子满足经典力学规律粒子满足经典力学规律 ( (运动状态的经典描述运动状态的经典描述) ) 量子统计量子统计: : 粒子满足量子力学规律粒子满足量子力学规律 ( (运动状态的量子描述运动状态

2、的量子描述) ) 本章内容本章内容: : 经典描述经典描述; ; 量子描述量子描述; ; 三种分布函数及相三种分布函数及相 应的微观状态数。应的微观状态数。 3 遵守遵守经典力学经典力学运动规律的粒子，称为运动规律的粒子，称为经典粒子经典粒子。 1. 具有具有“颗粒性颗粒性”：有一定的质量、电荷等性质。：有一定的质量、电荷等性质。 2. 轨道运动轨道运动：满足牛顿定律：满足牛顿定律. 给定初时刻的给定初时刻的 、 ，可，可 确定其运动轨迹确定其运动轨迹 (确定性描述确定性描述)。经典粒子可以被。经典粒子可以被“跟踪跟踪”。 3. 可以分辨可以分辨：经典：经典全同粒子可以分辨。全同粒子可以分辨。

3、 具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子具有完全相同属性（质量、电荷、自旋等）的同类粒子 称为称为全同粒子全同粒子。 4. 能量是连续的能量是连续的：按照经典力学的观点，在允许的能：按照经典力学的观点，在允许的能 量范围内，粒子的能量可取任何值。量范围内，粒子的能量可取任何值。 r p 4 一一 空间（相空间）空间（相空间） ：粒子位置和动量构成的空间粒子位置和动量构成的空间 经典力学经典力学: 确定一个粒子的运动状态用确定一个粒子的运动状态用 和和 。 自由度自由度 r =1（曲线上运动（曲线上运动) : x 和和 px 描述其状态；描述其状态； r = 3（3D空间中运动空间中运

4、动): x, y, z 和和 px , py , pz 描述状态。描述状态。 若粒子有内部运动若粒子有内部运动, 则则 r 更大。如双原子分子更大。如双原子分子 , , p , p 一般地，设粒子的自由度为一般地，设粒子的自由度为 r ， 其力学运动状态由粒子其力学运动状态由粒子 的的 r 个广义坐标个广义坐标 q1、q2、qr 和相应的和相应的 r 个广义动量个广义动量 p1、 p2、 pr 共共 2r 个量的值确定。粒子能量个量的值确定。粒子能量： =( q1、q2、qr ，p1、p2、pr ) 。 r p 总之，微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐总之，微观粒子运动状态的经典描述是采

5、用粒子的坐 标和动量共同描述的方法。标和动量共同描述的方法。 5 用单粒子的广义坐标和广义动量用单粒子的广义坐标和广义动量 q1, q2 , qr, p1, p2 , pr 为直角坐标构成为直角坐标构成2r 维空间维空间, , 称为称为粒子相空间粒子相空间 ( (即即 空间空间). ). 例如：单原子分子例如：单原子分子 r =3 ，空间是空间是6维。维。 刚性双原子分子刚性双原子分子 r = 5，空间是空间是10维的。维的。 粒子在某时刻的力学运动状态粒子在某时刻的力学运动状态(q1、pr )可用可用空间中空间中 的一个点表示，称为粒子运动状态的代表点。的一个点表示，称为粒子运动状态的代表点

6、。 （1）代表点代表点: 粒子的一个微观运动状态，粒子的一个微观运动状态， （2）相轨道相轨道: 粒子状态的变化粒子状态的变化, 代表点在代表点在 空间中的移动。空间中的移动。 （3）N 粒子系统粒子系统, 需需N个代表点描述系统的一个微观状态个代表点描述系统的一个微观状态. （4）体积元体积元：各轴上截取：各轴上截取dq1 , dq2 , , dqr , dp1 , dp2 , , dpr , 则围成则围成空间中的体积元：空间中的体积元： d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr 6 二二 经典描述方法例子经典描述方法例子 1 自由粒子自由粒子 不受外力作用的粒子（如理想气体不

7、受外力作用的粒子（如理想气体 分子、金属自由电子等），其能量分子、金属自由电子等），其能量 1D自由粒子自由粒子: 限制在长限制在长L范围内范围内 (线状材料等线状材料等)； 互相正交的互相正交的 x、px 轴构成轴构成2D的的空间。空间。 相轨道相轨道“”等能面等能面是一条直线是一条直线. 3D自由粒子：自由粒子：r = 3 , 设粒子处于体积设粒子处于体积 V 中。状态由中。状态由 x、 y、z、px、py、pz 确定，确定，空间是空间是 6 维的。维的。 m p 2 2 粒子能量粒子能量 = ( px2 + py2 + pz2 ) / / 2m 动量动量子空间子空间的半径的半径 mppp

8、p zyx 2 222 x x p LO 7 等能面等能面（在动量子空间中）是半径为的（在动量子空间中）是半径为的 球面。球面。 相空间的体积（动量小于相空间的体积（动量小于p时）时） 2/3 )2( 3 4 mVdpdpdpdxdydz zyx m2 自由度为自由度为 1, 某时刻粒子状态为（某时刻粒子状态为（x, px）。）。空间为二空间为二 维。若给定振子的能量维。若给定振子的能量, 运动轨迹由如下方程确定：运动轨迹由如下方程确定： 22 2 2 1 2 xm m px 2 线性谐振子线性谐振子 质量为质量为 m 的粒子在力的粒子在力 f = - -kx 作用下的一维简谐振动作用下的一维

9、简谐振动 （如双原子分子（如双原子分子; 晶体中格点上的原子、离子等）。晶体中格点上的原子、离子等）。 x x p 2222 2 22 1 22 xx ppmx x mab 两个半轴长度两个半轴长度 2 2 m b ma2 8 即相空间中的即相空间中的等能面等能面为椭圆。其面积为为椭圆。其面积为 2 Sab p x o 1 2 3 9 一粒子微观运动状态的量子描述一粒子微观运动状态的量子描述 波粒二象性波粒二象性 德布罗意于德布罗意于1924年提出，一切微观粒子都具有波粒年提出，一切微观粒子都具有波粒 二象性二象性(中子衍射中子衍射)。 、p 与与 、k 存在德布罗意关系存在德布罗意关系 h普

10、朗克常数普朗克常数 不确定关系不确定关系( (测不准原理测不准原理) ) 微观粒子的坐标和动量不可能同时具有确定的值。微观粒子的坐标和动量不可能同时具有确定的值。 用用q 表示粒子坐标的不确定值表示粒子坐标的不确定值, p 表示动量不确定值表示动量不确定值, 粒子运动状态的量子描述粒子运动状态的量子描述 kp 2 k 2 h hpq 10 微观粒子的微观粒子的 和和 不能同时具有确定值不能同时具有确定值不是轨道运动。用不是轨道运动。用 波函数描述状态：波函数描述状态： 表示表示 t 时刻时刻 处粒子出现的概率密度。处粒子出现的概率密度。 2 ),(tr r 电子轨道电子轨道电子出现概率最大的地

11、方。电子出现概率最大的地方。 状态的分立性状态的分立性 量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态量子态。它由一。它由一 组组量子数量子数来表征，其来表征，其数目数目等于粒子的等于粒子的自由度数自由度数。 状态所对应的力学量状态所对应的力学量(如能量如能量 等等)不连续不连续状态量子化。状态量子化。 5 全同性原理全同性原理 全同粒子全同粒子不可分辨不可分辨，任意交换一对粒子不改变系统状态，任意交换一对粒子不改变系统状态. 波函数描写态波函数描写态 r p 11 二量子描述例子二量子描述例子 外场中的电子自旋外场中的电子自旋 电子自旋产生磁矩电子自旋产生磁矩 S

12、 m e zz S m e 2 z S m e z 2 2 s ee B BBm mm 而而 所以所以 （自旋方向取向量子化）（自旋方向取向量子化） s m 2 1 即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 即可描写其状态，它取两个分立值即可描写其状态，它取两个分立值 S B Z 沿磁场方向沿磁场方向 为自旋角动量为自旋角动量 S 12 2 自由粒子自由粒子 （1）一维自由粒子：）一维自由粒子： 自由运动的粒子被限制在边长为自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数的一维容器中。波函数 要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即要满足一定的边界条件，采

13、用周期性条件，即 x nL , 2, 1, 0 nx xx n L k 22 由由 xxx n L kp 2 所以所以 即动量只能取分立的值。即动量只能取分立的值。 负号表示反向传播负号表示反向传播 , 2, 1, 0 nx量子数量子数 正号表示正向传播正号表示正向传播 13 2 2 22 2 2 2 x x n mL m p 能量能量 能量也是分立的。能量也是分立的。 表明：表明： 用一个量子数就可以确定粒子的动量、能量。用一个量子数就可以确定粒子的动量、能量。 粒子状态是分立的粒子状态是分立的能级。能级。 各能级的简并性：各能级的简并性：nx=1是不同状态是不同状态 简并。简并。 能级间隔

14、大小与能级间隔大小与L、m成反比，成反比， ) 12( 2 2 2 1 n mL nnn 显然显然, 若若L时，时， 0，即能量此时是连续的。故，即能量此时是连续的。故 粒子在宏观尺度上量子效应不显著，可用经典方法描述。粒子在宏观尺度上量子效应不显著，可用经典方法描述。 1 3 6 14 （2）三维自由粒子：）三维自由粒子： 设自由粒子在边长为设自由粒子在边长为L的方盒子中运动。粒子的运动满的方盒子中运动。粒子的运动满 足薛定谔方程。由周期性边界条件得足薛定谔方程。由周期性边界条件得 xxx n L kp 2 zz n L p 2 yy n L p 2 222 2 1 zyx ppp m 22

15、2 2 22 2 zyx nnn mL 量子态即由三个量子数来确定。状态是量子化的。量子态即由三个量子数来确定。状态是量子化的。 对于一定的能量对于一定的能量 ，可包含多个量子态，可包含多个量子态能级简并。能级简并。 简并性讨论简并性讨论 ： 222 2 22 2 zyx nnn mL 15 经典粒子的动量和能量是连续的经典粒子的动量和能量是连续的, 而在量子描述中而在量子描述中, 动动 量和能量是分立的量和能量是分立的, 这是局域在有限空间范围粒子的特性。这是局域在有限空间范围粒子的特性。 0 yx nn1 z n 0 zx nn1 y n 0 zy nn1 x n 六状态能量同为六状态能量

16、同为 2 22 2 mL 222 2 22 2 zyx nnn mL 3 线性谐振子线性谐振子 2 1 n, 2, 1, 0 n l 用一个量子数用一个量子数 n 描述状态；描述状态； l 各能级都是非简并的，即每个能级只有一个量子态；各能级都是非简并的，即每个能级只有一个量子态； l 能级间隔相同：能级间隔相同： ； l 存在零点能，即存在零点能，即n=0时能量非零。时能量非零。 16 三、粒子的状态与三、粒子的状态与 空间体积元的对应关系空间体积元的对应关系 空间中的体积元为空间中的体积元为: d = dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr 如：如：1D：相体积：相体积 x dxdp

17、若对坐标不加限制，则成为若对坐标不加限制，则成为 x Ldp 3D：相体积：相体积 zyx dpdpdxdydzdp 若对坐标不加限制，则成为若对坐标不加限制，则成为 zyx dpdpVdp x x p L O x x p L O x dp x dp dx 17 xx n L p 2 zz n L p 2 yy n L p 2 由由 xx dp L dn 2 有有 zz dp L dn 2 yy dp L dn 2 故在故在 V 中，粒子的动量在间隔中，粒子的动量在间隔 ， xxx dppp yyy dppp zzz dppp 范围内的量子态数为范围内的量子态数为 zyxzyx dpdpdp

18、h V dndndn 3 在宏观大小的容器内，粒子的动量、能量已变得准连在宏观大小的容器内，粒子的动量、能量已变得准连 续。但原则上仍有量子数的概念。这时如何考虑自由粒子续。但原则上仍有量子数的概念。这时如何考虑自由粒子 的量子态数？的量子态数？ 18 利用不确定关系解释利用不确定关系解释 hpq ii r rr hpppqqq 2121 相格相格：表示粒子的一个状态在：表示粒子的一个状态在 空间中占有的体积。空间中占有的体积。 则上式可理解为：相体积则上式可理解为：相体积Vdpxdpydpz内具有的量子态数内具有的量子态数 为相体积为相体积Vdpxdpydpz比上相格。比上相格。 在在 空间

19、体积元空间体积元 d d 内内粒子可能的状态数为粒子可能的状态数为 r rr r h dpdpdpdqdqdq h d 2121 zyxzyx dpdpdp h V dndndn 3 19 四四. . 三维自由粒子的态密度三维自由粒子的态密度 1D：相体积：相体积 dxdpx , 若对坐标不限制，相体积若对坐标不限制，相体积 Ldpx 其中状态数其中状态数 hLdpx/ 3D： 空间为空间为6维维, 相格大小为相格大小为 h3, 下面分几种情况讨论下面分几种情况讨论. 1 直角坐标直角坐标 组成的体积元组成的体积元 内内 zyx dpdpdxdydzdp 3 / xyz dxdydzdp dp

20、 dph 粒子的状态数为粒子的状态数为 dxxx xxx dppp zzz dppp yyy dppp dzzz dyyy 20 zyx dpdpdp h V 3 3 若动量空间中采用球坐标若动量空间中采用球坐标， 2 sinsin Vpdpddppdp dd 在体积在体积V 内，动量大小在内，动量大小在 p 到到 p + dp, 动量方向在动量方向在 到到 + d ， 到到 + d内，自由粒子可能的状态数为：内，自由粒子可能的状态数为： 3 2sin h d d dp p V 2 若对坐标不加限制若对坐标不加限制, ， dppp xxx zzz dppp ， dppp yyy 内的状态数为内

21、的状态数为 则在则在 V 中中, 动量范围动量范围 ( , , )p 描述质点的动量描述质点的动量 sincos, sinsin, cos . x y z pp pp pp 则动量空间的体积元：则动量空间的体积元： z x y p 21 4 若对动量的方向不加限制若对动量的方向不加限制，则在体积则在体积 V 内，动量绝对值内，动量绝对值 在在 p 到到 p+dp 的范围内，自由粒子可能的状态数为：的范围内，自由粒子可能的状态数为： 2 2 2 33 00 sin 4V pdpV ddp dp hh 5 以能量形式表示以能量形式表示 m p 2 2 3/2 21 2 33 42 2 VV p d

22、pmd hh / mp2 d m dp 2 22 dm h V dD 2123 3 2 2 )( / D( ) 表示表示 附近单位能量间隔内的状态数附近单位能量间隔内的状态数, 称为称为态密度态密度。 以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不 等于零，还要考虑自旋的贡献。等于零，还要考虑自旋的贡献。 表示：在表示：在 V 内，在内，在 到到 + d 的范围内自由粒的范围内自由粒 子可能的状态数。子可能的状态数。 定义：定义： 23热统 4.2 4.2 系统微观运动状态的描述系统微观运动状态的描述 全同粒子系统全同粒子系统 就是由具有就是由具有

23、完全相同属性完全相同属性（相同的质量、自旋、（相同的质量、自旋、 电荷等）的同类粒子所组成的系统。如自由电子气体。电荷等）的同类粒子所组成的系统。如自由电子气体。 近独立粒子系统：近独立粒子系统：粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平 均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的 相互作用。将相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和。( 如如 理想气体：近独立的粒子组成的系统理想气体：近独立的粒子组成的系统 ) i i E 一一 基本概念基本概念 2

24、4热统 任一粒子的状态发生变化任一粒子的状态发生变化, 则整个系统的微观状态发生变化则整个系统的微观状态发生变化 经典描述单粒子的状态要经典描述单粒子的状态要 r 个广义坐标和个广义坐标和 r 个广义动量，个广义动量，N个个 粒子系统的微观运动状态需要粒子系统的微观运动状态需要 ( i = 1, 2, , N ) 共共 2N 个变量来确定。在个变量来确定。在 空间中要用空间中要用N个点表示个点表示 系统某时刻的一个微观运动状态。系统某时刻的一个微观运动状态。 qi1、qi 2、qir； pi1、pi 2、pir i ji j 二二 系统微观运动状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述 全同粒子

25、是可以分辨的。全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系统中在全同粒子系统中, 将两个粒将两个粒 子的运动状态加以交换子的运动状态加以交换, 则系统的力学运动状态是不同的。则系统的力学运动状态是不同的。 25热统 B) 粒子状态是分立的。粒子状态是分立的。 粒子所处的状态叫量子态粒子所处的状态叫量子态 (单粒子态单粒子态)。 量子态量子态 用一组量子数表征（如自由粒子用一组量子数表征（如自由粒子nx, ny, nz）. 不同量子态的量子数取值不同。不同量子态的量子数取值不同。 量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态，对于量子描述单粒子的状态是确定单粒子的量子态，对于 N个粒子的系统，就是个粒子的系统

26、，就是确定各个量子态上的粒子数确定各个量子态上的粒子数。 三三 系统微观运动状态的量子描述系统微观运动状态的量子描述 A) 全同粒子是不可分辨的。交换任何一对粒子不改变全同粒子是不可分辨的。交换任何一对粒子不改变 整个系统的微观状态。整个系统的微观状态。 但定域系粒子可辨（定域系但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）粒子位置被限定） 26热统 1 1 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量 子态上的粒子数不受限制的系统。子态上的粒子数不受限制的系统。 确定了每个粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态确定了每个

27、粒子所处的量子态就确定了系统的一个微观状态 例：例：设系统由设系统由A、B两个粒子组成（定域子）。粒子的个体两个粒子组成（定域子）。粒子的个体 量子态有量子态有3个个, 讨论系统有那些可能的微观状态？讨论系统有那些可能的微观状态？ 因此，对于定域系统可有因此，对于定域系统可有9种不同的微观状态，即种不同的微观状态，即 32。 一般地为一般地为 . a A B 1 2 3 27热统 2 2 不可分辨的全同粒子系统不可分辨的全同粒子系统 对于不可分辨的全同粒子，必须考虑全同性原理。对于不可分辨的全同粒子，必须考虑全同性原理。 确定了每个量子态上的粒子数就确定了系统的微观状态确定了每个量子态上的粒子

28、数就确定了系统的微观状态 （1）玻色系统：）玻色系统：即自旋量子数为整数的粒子组成的系统即自旋量子数为整数的粒子组成的系统. 如光子自旋为如光子自旋为1、 介子自旋为介子自旋为0。由玻色子构成的复合。由玻色子构成的复合 粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子粒子是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子也是玻色子 粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不限粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不限（即不受泡（即不受泡 利原理限制）利原理限制） 28热统 （2）费米系统：）费米系统：即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统即自旋量子数为半整数的粒子组成的系统 如电子、质子、中子等都是自旋为如电子、

29、质子、中子等都是自旋为1/2的费米子。由奇的费米子。由奇 数个费米子构成的复合粒子也是费米子。数个费米子构成的复合粒子也是费米子。 粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个粒粒子不可分辨，每个个体量子态上最多能容纳一个粒 子（费米子遵从泡利原理）。子（费米子遵从泡利原理）。 上例变为上例变为 (A=B) 两个玻色子占据两个玻色子占据 3个量子态有个量子态有6种种 方式方式 29热统 仍为仍为 A=B 两个费米子占据两个费米子占据3个量个量 子态有子态有3种占据方式种占据方式 对于不同统计性质的系统，即使它们有相同的粒子数、对于不同统计性质的系统，即使它们有相同的粒子数、 相同的量子态，系统

30、包含的微观状态数也是不同的。相同的量子态，系统包含的微观状态数也是不同的。 上例仅为两个粒子组成的系统、三个量子态。对于大上例仅为两个粒子组成的系统、三个量子态。对于大 量微观粒子组成的实际系统，其微观状态数目是大量的。量微观粒子组成的实际系统，其微观状态数目是大量的。 分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数分属玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的两个粒子占据三个量子态给出的微观状态数 31热统 .3 .3 统计物理学的基本观点和基本原理统计物理学的基本观点和基本原理 一.一.宏观态与微观态宏观态与微观态的的关系关系： 宏观态：宏观态：系统的热力学状态。系统

31、的热力学状态。 用少数几个宏观参量即可确定系统的宏观态。用少数几个宏观参量即可确定系统的宏观态。 微观态：微观态：系统的力学状态。系统的力学状态。 确定方法：可分辨的全同粒子系统确定方法：可分辨的全同粒子系统(玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统)； 不可分辨的全同粒子系统不可分辨的全同粒子系统(玻色、费米系玻色、费米系) 确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法求出确定各微观状态出现的概率就能用统计的方法求出 微观量的统计平均值，从而求出相应宏观物理量，因此微观量的统计平均值，从而求出相应宏观物理量，因此 确定各微观状态出现的概率确定各微观状态出现的概率是统计物理学的基本问题。是统计物理学的基本问题。

32、宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现；宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现； 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值。 32热统 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状 态出现的概率是相等的！态出现的概率是相等的！ 等概率原理是统计物理学中的一个基本假设，是平衡态等概率原理是统计物理学中的一个基本假设，是平衡态 统计物理学理论的基础。统计物理学理论的基础。不能直接从实验上验证。它的正确不能直接从实验上验证。它的正确 性在于从它推出的各种结论上的正确性。性在于从它推出的各种结论上的正确性。 二二.

33、等概率原理：等概率原理： 对于孤立系统对于孤立系统, 会出现大量的微观状态。会出现大量的微观状态。 这些微观状态都满足具有确定的这些微观状态都满足具有确定的N、E、V 的宏观条件。的宏观条件。 33热统 4.4 4.4 近独立粒子系统的分布和微观状态数近独立粒子系统的分布和微观状态数 大量全同近独立粒子组成的系统，有确定的大量全同近独立粒子组成的系统，有确定的N,E,V(孤立系孤立系)。 一、分布一、分布 若确定了各能级上的粒子数，则确定了系统的一个分布。若确定了各能级上的粒子数，则确定了系统的一个分布。 l , 21 l , 21 ， a a a l , 21 ， 简并度简并度 粒子数粒子数

34、 N 粒子系统的粒子系统的 能能 级级 即：能级即：能级 1上有上有a1个粒子，个粒子， 能级能级 2上有上有a2个粒子，个粒子，。 这就给出一个分布，即数列这就给出一个分布，即数列 al 1 1 a 2 a l a 2 l 满足约束条件满足约束条件 Na l l , Ea l ll 34热统 分布只表示每一个能级上有多少个粒子。一种分布包分布只表示每一个能级上有多少个粒子。一种分布包 含大量的微观状态。含大量的微观状态。 每一种不同的占据方式都是不同的微观运动状态。每一种不同的占据方式都是不同的微观运动状态。 对一个确定的分布，它相应的微观状态数是确定的。对一个确定的分布，它相应的微观状态数

35、是确定的。 二、分布二、分布 al 包含的微观状态数（量子描述）包含的微观状态数（量子描述） 1 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 ( (定域系统定域系统) )： 粒子可以分辨粒子可以分辨(可编号可编号)，每个量子态上的粒子数不限。，每个量子态上的粒子数不限。 (1) al 个粒子占据个粒子占据 l 上的上的l个量子态的占据方式数个量子态的占据方式数: (2) 各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数各个能级都考虑在内，系统总的占据方式数: (3) 由于粒子可分辨，能级之间粒子的交换是新的占据由于粒子可分辨，能级之间粒子的交换是新的占据 方式），能级之间粒子的交换有方式），能级之间粒子的交换有 种不同的

36、交换种不同的交换 方式。（未改变分布）方式。（未改变分布） l a l l a l l l l aN!/ / 35热统 例：系统有例：系统有6个可分辨粒子，共两个能级，个可分辨粒子，共两个能级， 1=3， 2=4 给定分布：给定分布：a1= 4, a2=2 1 1 a 2 a 2 1 1 a 2 a 2 24 43 (4) 系统分布系统分布 al 包含的总微观状态数为包含的总微观状态数为 ! ! l a M Bl l l l N a ll a l a N l ! ! 24 43 能级之间粒子交能级之间粒子交 换的方式数目为换的方式数目为 l l a N ! ! 36热统 2 玻色系统分布玻色系

37、统分布 al 包含的微观状态数包含的微观状态数 粒子不可分辨，交换任意一对粒子不改变系统的微观态。粒子不可分辨，交换任意一对粒子不改变系统的微观态。 每个量子态上的粒子数不受限制。每个量子态上的粒子数不受限制。 CDE A B 12 34 (1) al个粒子占据能级个粒子占据能级 l 上的上的 l个量子态的占据方式数：个量子态的占据方式数： 用用 表示量子态，表示量子态， 表示粒子。表示粒子。 例如：例如：规定：粒子占据左边的量子态。规定：粒子占据左边的量子态。 12345 这样就确定了每个量子态上的粒子数，即确定了一种占这样就确定了每个量子态上的粒子数，即确定了一种占 据方式（一个微观态）。

38、据方式（一个微观态）。 改变排列，可得到新的占据方式。改变排列，可得到新的占据方式。 37热统 12345 12345 1345 2 粒子和量子态之间的交换粒子和量子态之间的交换 会产生新的占据方式：会产生新的占据方式： 量子态和量子态之间的交换量子态和量子态之间的交换 不产生新的占据方式：不产生新的占据方式： 显然，粒子和粒子之间的交换显然，粒子和粒子之间的交换 不会产生新的占据方式。不会产生新的占据方式。 其中粒子与粒子的交换、量子态与量子态的交换不产其中粒子与粒子的交换、量子态与量子态的交换不产 生新的微观态。只有量子态与粒子交换导致不同微观态。生新的微观态。只有量子态与粒子交换导致不同

39、微观态。 量子态、粒子各种交换量子态、粒子各种交换(排列排列)总数总数)!1( ll a 38热统 量子态交换数量子态交换数)!1( l 粒子交换数粒子交换数 ! l a 各种交换共有各种交换共有 种种 可能的方式。可能的方式。 )!1( ! )!1( ll ll a a （2）将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布 al 相应的微观状态数为相应的微观状态数为： (1)! ! (1)! ll BE l ll a a 39热统 粒子不可分辨，每一个量子态最多能容纳一个粒子。粒子不可分辨，每一个量子态最多能容纳一个粒子。 al 个粒子占据能级个粒子占据

40、能级 l 上的上的 l个个 量子态，占据方式数为：从量子态，占据方式数为：从 l个个 量子态中选取量子态中选取al 个量子态让个量子态让al 个粒子占据，即个粒子占据，即 3 费米系统分布费米系统分布 al 包含的微观状态数：包含的微观状态数： ! !()! l l a l lll C aa 将各能级的结果相乘，得到费米系统与分布将各能级的结果相乘，得到费米系统与分布 al 相应的相应的 微观状态数为：微观状态数为： . ! !()! l F D l lll aa 40热统 三、经典极限条件下三种分布微观状态数的关系三、经典极限条件下三种分布微观状态数的关系 1 l l a 若满足若满足, 称

41、为称为经典极限条件经典极限条件(或或非简并性条件非简并性条件) 此时有此时有 !N MB lll llllll a aa )!1(! ) 1()2)(1( ！ lll ll EB a a )!1( ! )!1( . ll a l a l ! llll l FD aa)!( ! ! llll llllll a a aa )!(! )!)(1() 1( !N MB ll a l a l ! !N MB FDBE 即在即在经典极限条件下经典极限条件下 l l a l MB a N l ! ! 反映粒子全同性反映粒子全同性 原理原理 41 热统 四四 经典系统中的分布和微观状态数经典系统中的分布和微观

42、状态数 经典粒子状态由经典粒子状态由 q1qr ，p1pr 的值确定。的值确定。N 粒子系粒子系 统对应统对应空间中的空间中的N个点。个点。 坐标和动量取值连续，微观状态不可数。处理如下坐标和动量取值连续，微观状态不可数。处理如下 第一步：第一步： 空间各轴上取间隔空间各轴上取间隔 dq1dqr , dp1dpr 围成体积元围成体积元 d = dq1 dq2 dqr dp1 dp2 dpr h0r 若体积元很小若体积元很小, 其内各点的状态都看作相同其内各点的状态都看作相同 相格相格. 即：处于同一相格内的各代表点状态都相同。不同相即：处于同一相格内的各代表点状态都相同。不同相 格内代表点的状

43、态不同。每个相格就是一个状态。格内代表点的状态不同。每个相格就是一个状态。 在一定的相体积内包含多少相格，则此体积中就有多在一定的相体积内包含多少相格，则此体积中就有多 少个力学运动状态（微观态）。少个力学运动状态（微观态）。 经典力学中经典力学中 h0可以任意小；量子力学中可以任意小；量子力学中 h0 最小为最小为 h 。 r h0 42 热统 第二步：第二步： 再把再把空间按能量大小划分成许多能量层，每层体积分空间按能量大小划分成许多能量层，每层体积分 别为别为 1、 2 、 l、，每层内包含许多相格。，每层内包含许多相格。 同一能层内各状态同一能层内各状态 (代表点代表点) 的能量相同的

44、能量相同.（能层很薄）（能层很薄） l , 21 ，不同能层中各点的能量则不同。不同能层中各点的能量则不同。 某能量层的体积为某能量层的体积为 l ，则此层内包含的相格数为，则此层内包含的相格数为 r l h0 这些相格的状态不同，但具有相同的能量，故相当于这些相格的状态不同，但具有相同的能量，故相当于 量子描述中的简并度。于是有分布量子描述中的简并度。于是有分布 l , 21 ， ， r h0 1 ， hr 0 2 hr ， 0 1 a a a l, , 21 ， “简并度简并度” 粒子数粒子数 能能 级级 给定了一种分布给定了一种分布 al 43热统 0 ! ! l a l cl r l

45、l l N ah ! ! l a M Bl l l l N a 得到得到 所以经典系统分布所以经典系统分布 al 对应的微观状态数为可参照对应的微观状态数为可参照 玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统 44热统 4.5 4.5 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 一、玻尔兹曼分布的推导（一、玻尔兹曼分布的推导（M.B.系统）系统） 1 1 写出分布及对应的微观状态数写出分布及对应的微观状态数 l a l l l MB l a N ! ! l , 21 ， ， 1 ， 2 l， ， a a a l, , 21 ， 微观状态数微观状态数是分布是分布 al 的函数的函数，可能存在这样一个分布，可能存在这样一个分布， 它使

46、系统的微观状态数最多。它使系统的微观状态数最多。 根据根据等概率原理等概率原理，对于处在平衡状态的孤立系统，系统对于处在平衡状态的孤立系统，系统 各个可能的微观状态出现的概率是相等的各个可能的微观状态出现的概率是相等的，那么微观状态，那么微观状态 数最多的分布，出现的概率最大，称为数最多的分布，出现的概率最大，称为最可几分布（最概最可几分布（最概 然分布）。然分布）。 玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼分布。玻耳兹曼分布。 45热统 2 取对数，用斯特令公式化简取对数，用斯特令公式化简 l l ll l a a N ln!ln!lnln NNN ln l l ll

47、 l l aaaNN lnlnln 斯特林近似公式斯特林近似公式 ln m ! ln mmm ll lll aaa ln l ll a ln l a l l l MB l a N ! ! 要求要求1 l a 要求要求1m l l ll l a a N ln!ln!lnln 46热统 3 拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求极值 (ln)(ln )ln ln lllll ll l l l l aaaa a a 0 lnlnlnln llll ll NNaaa 对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零对上式做一次微分，对于极值，一次微分为零 47热统 由于系统确

48、定，则由于系统确定，则还要满足约束条件：还要满足约束条件： l l aN0 l ll aE0 l l aN l lla E 0 l l Na l 0 l l Ea 对上两式子做一次微分得到：对上两式子做一次微分得到： 上两式子上两式子乘以未定乘子乘以未定乘子得到：得到： 48热统 (ln)ln0NENE 0ln l l l a l ea ll 即即 称为称为 麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布（玻耳兹曼系统粒子玻耳兹曼系统粒子 的最概然分布）。的最概然分布）。 任意，所以任意，所以 l a 0ln l ll l l a a 49热统 拉氏乘子拉氏乘子 、 由约束条件决定：由约束条件决定：

49、 l l aN l l l e l ll aE l ll l ea 50热统 二、粒子按量子态的分布二、粒子按量子态的分布 某量子态某量子态 s 上的平均粒子数上的平均粒子数 1 按量子态的分布函数按量子态的分布函数 l l s a f s efs l ea ll s s fN s s e 约束条件为约束条件为 s ss fE s s s e 2粒子处于第粒子处于第 l 能级上的概率为能级上的概率为 N a P l l 3粒子处于某量子粒子处于某量子 态态 s 上的概率为上的概率为 N f P s s l e N l s e N 1 51热统 三、对玻耳兹曼分布的几点说明三、对玻耳兹曼分布的几点说明 1要证明极大，二阶导数须小于零要证明极大，二阶导数须小于零。 l l l l a a lnln 2 l l l l a a lnln l l l l