材料力学第二章

1、 本章要点本章要点 （1）横截面上正应力计算公式 （2）拉压虎克定律 （3）拉压静不定问题求解 重要概念重要概念 平面假设、轴力、拉压虎克定律、拉压静不定、应力集 中、拉压变形能 目录目录 2-1轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 2-2 轴向拉压时横截面上的内力和应力轴向拉压时横截面上的内力和应力 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 2-4.材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 2-5 许用应力许用应力 安全系数安全系数 拉压强度拉压强度 2-6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形 2-7直杆轴向拉伸或压缩时的变形

2、能直杆轴向拉伸或压缩时的变形能 2-8 应力集中的概念应力集中的概念 2-9拉（压）超静定问题拉（压）超静定问题 2-1轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念 所谓的轴向拉伸和压缩是指所谓的轴向拉伸和压缩是指作用于杆件上的作用于杆件上的 外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿外力合力的作用线与杆件的轴线重合时，杆件沿 着轴线方向发生的伸长或缩短。着轴线方向发生的伸长或缩短。 一、基本概念：一、基本概念： F 拉杆拉杆 F F 压杆压杆 F 1、受力特点受力特点：外力或外力合力的作用线与杆轴线重合外力或外力合力的作用线与杆轴线重合 2、变形特点变形特点：轴向伸长或缩短轴向伸长或缩短 二、举

3、例说明：二、举例说明： 拉杆拉杆 压杆压杆 计算简图计算简图 目录目录 2-2 轴向拉压时横截面上轴向拉压时横截面上 的内力和应力的内力和应力 一一.轴力及轴力图轴力及轴力图 1.轴力的概念 （1）举例）举例 N N F F F F FNFNX00 因因F力的作用线与杆件的轴线重合，故，由力的作用线与杆件的轴线重合，故，由 杆件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必杆件处于平衡状态可知，内力合力的作用线也必 然与杆件的轴线相重合。然与杆件的轴线相重合。 用截面法将杆件分成左右两部分，利用 轴 方向的平衡可得 ： x 结论结论 （2）定义：上述内力的合力）定义：上述内力的合力N就称为轴力就称为轴

4、力 （其作用线因与杆件的轴线重合而得名其作用线因与杆件的轴线重合而得名）。 2.轴力正负号规定： 压缩时的轴力为负，即压力为负。 规定引起杆件拉伸时的轴力为正，即拉力为正； 正正负负 （1）作法：）作法： B、选一个坐标系，用其横坐标表示横截面的位置，纵 坐标表示相应截面上的轴力； （2）举例：）举例： A、用截面法求出各段轴力的大小； 3.轴力图轴力图 C、拉力绘在 轴的上侧，压力绘在 轴的下侧。 xx 求支反力R 由整杆的平衡方程 KNRPPPPRX1000 4321 用截面法求AB段轴力，保留1-1截面左部 同理可求出BC、CD、DE段内的轴力分别为： 解、解、 0X0 1 RNNKN1

5、0 1 拉力 压力 拉力 KNN KNPPN KNPRN 204 5433 5012 用 截 面 法 求 出 各 段 轴 力 单位：单位：KN x N 选一个坐标系，用其横坐标 表示横截面的位置，纵坐标 表示相应截面上的轴力。 拉力绘在x轴的上侧， 压力绘在x轴的下侧。 0 根据轴力图的作法即可画出轴力图 思考题思考题 在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过在画轴力图之前，能否使用理论力学中学过 的力的平移原理将力平移后再作轴力图？的力的平移原理将力平移后再作轴力图？ 二、应力二、应力 1、平面假设、平面假设 实验：实验：受轴向拉伸的等截面直杆，在外力施加之前， 先画上两条互相平行的横向线ab

6、、cd，然后观察该两 横向线在杆件受力后的变化情况。 变形前，我们在横向所作的两条平行线ab、cd， 在变形后，仍然保持为直线，且仍然垂直于轴线，只 是分别移至ab、cd位置。 实验现象实验现象 变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面。 平面假设 实验结论实验结论 F N FN 平面假设平面假设 拉杆所有纵向纤维的伸长相等 材料的均匀性 各纵向纤维的性质相同 横截面上 内力是均 匀分布的 AN （2-1） 对于等直杆，对于等直杆， 当有多段轴力时，最大轴力所对应的截当有多段轴力时，最大轴力所对应的截 面面危险截面。危险截面。危险截面上的正应力危险截面上的正应力最大工作应力，最大工作应力， 其

7、计算公式应为：其计算公式应为： A Nmax max A横截面面积横截面面积 横截面上的应力横截面上的应力 拓展拓展 应力正负号规定应力正负号规定 规定拉应力为正，压应力为负（同轴力相同）规定拉应力为正，压应力为负（同轴力相同） 。 2、公式（、公式（2-1）的应用范围：）的应用范围： 外力的合力作用必须与杆件轴线重合外力的合力作用必须与杆件轴线重合 不适用于集中力作用点附近的区域不适用于集中力作用点附近的区域 当杆件的横截面沿轴线方向变化缓当杆件的横截面沿轴线方向变化缓 慢，慢，而且外力作用线与杆件轴线重而且外力作用线与杆件轴线重 合时，也可近似地应用该公式。合时，也可近似地应用该公式。 如

8、左图如左图 xA xN x 公式（公式（2-1）的适用范围）的适用范围表明：表明：公式不适用于集中力作用点 附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非均匀 的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就会发 生变化。 理论和实践研究表明：理论和实践研究表明：加力方式不同，只对力作用点附近区 域的应力分布有显著影响，而在距力作用点稍远处，应力都 趋于均匀分布，从而得出如下结论，即圣维南原理。 3、圣维南原理、圣维南原理 （1）问题的提出）问题的提出 作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可以用与 它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区 域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可

9、不计。 由圣维南原理可知：下图中的(b)、(c)、(d)都可以用 同一计算简图（a）来代替，从而图形得到很大程度的简化。 （2）圣维南原理）圣维南原理 （3）圣维南原理运用）圣维南原理运用 一横截面为正方形的砖柱分为上下两段，其受力情况， 各段长度及横截面尺寸如图所示。已知P=50KN，试求荷载引 起的最大工作应力。 4、举例、举例 解：解： （一）作轴力图如图所示（一）作轴力图如图所示 （二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下（二）由于此柱为变截面杆，上段轴力小，截面积也小，下 段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须求段轴力大，截面积也大，故两段横截面上的正应力都必须

10、求 出，从而确定最大的正应力。出，从而确定最大的正应力。 2 1 1 mm240240 KN50 A N 1 26 /1087. 0mN （压应力）（压应力） 2 2 2 2 370370 150 mm KN A N 26 /101 . 1mN （压应力）（压应力） 由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其由上述结果可见，砖柱的最大工作应力在柱的下段，其 值为值为1.1MPa, 是正应力。是正应力。 目录目录 2-3 直杆轴向拉伸或压缩时直杆轴向拉伸或压缩时 斜截面上的应力斜截面上的应力 上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这上节中我们分析了拉（压）杆横截面上的正应力，这 是特

11、殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即是特殊截面上的应力，现在我们来研究更一般的情况，即 任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆任一截面上的应力，对不同材料的实验表明，拉（压）杆 的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生的破坏并不都沿横截面发生，有时却是沿某一斜截面发生 的。的。 、斜截面上应力公式推导：斜截面上应力公式推导： 横截面横截面是指垂直杆轴线方向的截面；是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面斜截面与杆轴线不相垂直的截面。与杆轴线不相垂直的截面。 1. 基本概念基本概念 coscos 0 A F p 2 coscos p 2sin 2 sin 0 p 全应力

12、：全应力： 正应力：正应力： 切应力：切应力： 2. 公式推导公式推导（采用截面法）（采用截面法） F F K K F N p （2-3） （2-4） p 二、讨论上述公式二、讨论上述公式 从上可知 、 均是 的函数，所以斜截面 的方位不同，截面上的应力也不同。 0 当 时，斜截面k-k成为横截面。 达最大值， 同时 达最小值 max 0 min （2-6） 0 45 达到最大值， 当 时，2/ max 当 表明在平行于杆件 0 90 时， 0 0 轴线的纵向截面上无任何应力。 目录目录 材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。材料在外力作用下，强度和变形方面所表现出的性能。 2-4.

13、4.材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 重要内容重要内容 金属材料的材料力学性质：包括低碳钢和铸铁金属材料的材料力学性质：包括低碳钢和铸铁 非金属材料的力学性质：包括混凝土、木材及玻璃钢非金属材料的力学性质：包括混凝土、木材及玻璃钢 一、材料力学性质的定义一、材料力学性质的定义 1、低碳钢、低碳钢(C0.3%)拉伸实验及力学性能拉伸实验及力学性能 颈缩阶段颈缩阶段 标准试件（标准试件（低碳钢、铸铁低碳钢、铸铁） p比例极限比例极限 e弹性极限弹性极限 s屈服极限屈服极限 b强度极限强度极限 塑性材料的典型代表塑性材料的典型代表 工作段长度工作段长度l 标距标距lo do

14、lo=10do 或或 5do O e ps b 线弹性阶段线弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 拉伸曲线拉伸曲线 试验设备试验设备： 万能试验机万能试验机：用来：用来强迫强迫 试样变形并测定试样抗试样变形并测定试样抗 力的机器。力的机器。 变形仪变形仪：用来：用来将试样的将试样的 微小变形放大到试验所微小变形放大到试验所 需精度范围内的仪器。需精度范围内的仪器。 延伸率延伸率 %100 0 01 l ll 断面收缩率断面收缩率 %100 0 10 A AA 5%塑性材料塑性材料 5%脆性材料脆性材料 塑性指标塑性指标 l1试件拉断后的长度试件拉断后的长度 A1试件拉断后断口处的最小横

15、截面面积试件拉断后断口处的最小横截面面积 冷作硬化现象冷作硬化现象 构件处于强化阶段实施卸载。如构件处于强化阶段实施卸载。如 卸载后重新加载，曲线将沿卸载曲线卸载后重新加载，曲线将沿卸载曲线 上升。上升。 如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；则，当再加如对试件预先加载，使其达到强化阶段，然后卸载；则，当再加 载时试件的线弹性阶段将增加，同时其塑性降低。载时试件的线弹性阶段将增加，同时其塑性降低。称为冷作硬化称为冷作硬化 现象现象 冷作硬化冷作硬化 O e ps b线线 弹弹 性性 阶阶 段段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 颈缩阶段颈缩阶段 1 2 3 4 102030 e e(

16、%) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 (MPa) 1、锰钢、锰钢 2、硬铝、硬铝 3、退火球墨铸铁、退火球墨铸铁 4、低碳钢、低碳钢 材料性质： 较大，属塑性材料。 2、其它金属材料拉伸时的力学性能、其它金属材料拉伸时的力学性能 O e e A 0.2% S 0.2 0.2 上述这些金属材料 无明显屈服阶段，规定 以塑性应变es=0.2% 所 对应的应力作为名义屈名义屈 服极限服极限，记作 0.2 3、测定灰铸铁拉伸机械性能、测定灰铸铁拉伸机械性能 b 0 A Pb b 强度极限强度极限： O P D D L Pb u b拉伸强度极限，脆性材料唯一拉

17、伸力学性能指标。 v拉伸曲线中应力应变不成正比例，且无屈服、颈缩现象 ，总变形量很小且b很低。 脆性材料的典型代表脆性材料的典型代表 4、 金属材料压缩时的力学性能金属材料压缩时的力学性能 比例极限py，屈服极 限sy，弹性模量Ey基本与 拉伸时相同。 低碳钢压缩实验：低碳钢压缩实验： e e (MPa) 200 400 0.10.2O 低碳钢压缩应力低碳钢压缩应力 应变曲线应变曲线 低碳钢拉伸低碳钢拉伸 应力应变曲线应力应变曲线 e e O bL 灰铸铁的灰铸铁的 拉伸曲线拉伸曲线 by 灰铸铁的灰铸铁的 压缩曲线压缩曲线 bybL，铸铁抗压性能远远大于抗拉性能，断裂面为 与轴向大致成45o

18、55o的滑移面破坏。 铸铁压缩实验：铸铁压缩实验： 塑性材料塑性材料 断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指断裂前变形大，塑性指标高，抗拉能力强。常用指 标标屈服极限，一般拉和压时的屈服极限，一般拉和压时的 S S相同。相同。 脆性材料脆性材料 断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是断裂前变形小，塑性指标低。常用指标是 b、 、 bc 且且 b bc。 塑性和脆性材料变形和破坏特点塑性和脆性材料变形和破坏特点 5、非金属材料的力学性能、非金属材料的力学性能 1) 混凝土混凝土 近似均质、各向同性材料近似均质、各向同性材料 。属脆性材料，工程中一般用于。属脆性材料，工程中一般用于 受压构件的

19、制作。受压构件的制作。 2）木材）木材 各向异性材料。各向异性材料。 3）玻璃钢：）玻璃钢：玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料 各向异性材料。优点是：重量轻，强度高，工艺简单，耐各向异性材料。优点是：重量轻，强度高，工艺简单，耐 腐蚀。腐蚀。 思考题思考题 2、低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种 标距，试问所得伸长率标距，试问所得伸长率 10 和和 5 哪一个大？哪一个大？ 1、强度极限、强度极限 b是否是材料在拉伸过程中所承受是否是材料在拉伸过程中所承受 的最大应力？的最大应力？ 目录目录 p比例极限比例

20、极限 e弹性极限弹性极限 s屈服极限屈服极限 b强度极限强度极限 O e ps b 线弹性阶段线弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 颈缩阶段颈缩阶段 概述概述 2-5 许用应力许用应力 安全系数安全系数 拉压强度拉压强度 线弹性阶段线弹性阶段： 以下的直线部分是线弹性阶段， 称为比例极限。 p p 非线弹性阶段非线弹性阶段： 与 之间的曲线为非线弹性阶段， 称为弹性 p e e 极限。 屈服阶段屈服阶段：图中锯齿形部分称为屈服阶段。上屈服极限不太 稳定，下屈服极限较稳定。通常把下屈服极限称为屈服极限 或流动极限，用 表示。 s 强化阶段强化阶段：图中锯齿形部分至 之间的曲线段称为强度

21、阶段 ， 称为强度极限。 b b 颈缩阶段：颈缩阶段： 点之后存在着一局部范围，该范围内横向尺寸 急剧缩小，形成颈缩现象，直至拉断。该范围就称做颈缩阶段。 b 一、一、基本概念基本概念 1、极限应力、极限应力 构件在外力作用下，当内力达到一定数值时，材料就会 发生破坏，这时，材料内破坏点处对应的应力就称为危险应 力或极限应力。 塑性材料屈服极限 作为塑性材料的极限应力。 s 脆性材料强度极限 作为脆性材料的极限应力。 b 2、强度条件：、强度条件： 塑性构件在荷载作用下正常工作条件是：塑性构件在荷载作用下正常工作条件是： s s s n 式中： 大于1的系数，称为安全系数, 1.25 2.5

22、。 s n 上式中，令 s s n 则： 许用应力 其中， 脆性构件在荷载作用下正常工作条件是：脆性构件在荷载作用下正常工作条件是： b b n 由此，我们得材料的强度条件为： （2-12） 式中,nb 大于1的系数，称为安全系数, 2.5 3.0，甚至 4 14. 确定安全系数要兼顾确定安全系数要兼顾经济与安全经济与安全，考虑以下几方面：，考虑以下几方面： （1 1）极限应力的差异；）极限应力的差异； （2 2）构件横截面尺寸的变异；）构件横截面尺寸的变异； （3 3）荷载的变异；）荷载的变异； （4 4）计算简图与实际结构的差异；）计算简图与实际结构的差异； （5 5）考虑强度储备。）考虑

23、强度储备。 标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。标准强度与许用应力的比值，是构件工作的安全储备。 3、安全系数：、安全系数： 二、二、强度计算强度计算 对于轴向拉压构件，因 ，于是根据强度条件， 我们可以解决： AN/ max max A N 设计截面设计截面 (构件安全工作时的合理截面形状和大小构件安全工作时的合理截面形状和大小) 强度校核强度校核 (判断构件是否破坏判断构件是否破坏) max N A 许可载荷的确定许可载荷的确定 (构件最大承载能力的确定构件最大承载能力的确定) max AN 例例1、图示空心圆截面杆，外径图示空心圆截面杆，外径D18mm，内径，内径d15mm，

24、承受，承受 轴向荷载轴向荷载F22kN作用，材料的屈服应力作用，材料的屈服应力s235MPa，安全因，安全因 数数n=1.5。试校核杆的强度。试校核杆的强度。 解：解： 杆件横截面上的正应力为杆件横截面上的正应力为: MPa283Pa10283 0.015mm180.0 N10224 4 6 22 3 22 dD F F F D d 1、强度校核：、强度校核： 2、截面设计、截面设计 例例2、如图所示，钢木组合桁架的尺寸及计算简图如图如图所示，钢木组合桁架的尺寸及计算简图如图a所示。所示。 已知已知P=16KN，钢的许用应力，钢的许用应力 =120MPa,试选择钢拉杆试选择钢拉杆D1 的直径的

25、直径d 材料的许用应力为材料的许用应力为: 显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作显然，工作应力大于许用应力，说明杆件不能够安全工作。 156MPaPa10156 1.5 Pa10235 6 6 s s n 解：解：（1）求拉杆）求拉杆D1的轴力的轴力N 用一假想载面用一假想载面m-m截取桁架的截取桁架的ACJ部分（图部分（图b），并研究），并研究 其平衡：其平衡： KN P N PNM A 8 2 0360 24 6 10667. 0 10120 10008 m P N N A A N a N R 从而：从而： mmm A d2 . 91092. 0/10667. 04 4 24

26、 取：d=9.2mm 考虑到实际工程中，用于圆拉杆的圆钢的最小直径为考虑到实际工程中，用于圆拉杆的圆钢的最小直径为10mm， 故可选用故可选用d=10mm 3、许可载荷的确定、许可载荷的确定 例例3、图示结构中图示结构中杆是直径为杆是直径为32mm的圆杆，的圆杆， 杆为杆为2No.5槽槽 钢。材料均为钢。材料均为Q235钢，钢，E=210GPa。求该拖架的许用荷载。求该拖架的许用荷载 F 。 1.8m 2.4m C A B F 解：解：1、取、取B为研究对象，并作受力图如为研究对象，并作受力图如 图所示。图所示。 F 1 N 2 N B FN FN FN NN F F 33. 1 67. 1

27、0sin 0cos 0 0 2 1 1 21 Y X 2、计算各杆轴力、计算各杆轴力 kN9 .57 67. 1 1 11 AF kN9 .57min 121 FFFF， kN125 33. 1 1 22 AF AB杆：杆： 4、确定许用荷载、确定许用荷载 3、强度校核、强度校核 BC杆：杆： 目录目录 2-6 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形 一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形 直杆在外力直杆在外力F作用前后的情况如图中所示：作用前后的情况如图中所示： 1、轴向变形、轴向变形 lllD 1 轴线方向线应变：轴线方向线应变： l lD e 横截面上

28、应力：横截面上应力： A N 由虎克定律：由虎克定律： EA Nl l l lE A N ED D e （2-13） 提示：提示：公式（公式（213）也是虎克定律的另一种表达形式）也是虎克定律的另一种表达形式 物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长物理意义：即当应力不超过比例极限时，杆件的伸长D Dl与与F 和杆件的原长度成正比，与横截面面积和杆件的原长度成正比，与横截面面积A成反比。成反比。 式中：EA杆件的抗拉（压）刚度。EA越大， D Dl越小 2、横向变形：、横向变形： 从图中可看出，横向应变为： b bb b b D 1 e 实践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向实

29、践表明：当应力不超过比例极限时，横向应变与轴向 应变应变e e之比的绝对值为一常数，即：之比的绝对值为一常数，即： e e 称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。称为横向变形系数或泊松比，是个没有量纲的量。 因因e e和和e e的符号总是相反的。故可知的符号总是相反的。故可知 ee 几种常用材料的几种常用材料的 值请见表值请见表2-2，书，书P43 二变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形二变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形 LS x dd LS xLS d d dd Ld S d d LS S 1 1 1 21 2 1 2 图所示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重合，图所示，截面尺

30、寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重合， 我们在杆件中取出我们在杆件中取出dx微段，由于微段，由于dx非常微小。故非常微小。故 ExA dxxN ld D 从而，整个杆件的伸长为：从而，整个杆件的伸长为： D l ExA dxxN l （2-16） 三、等直杆在分布力系作用下的变形三、等直杆在分布力系作用下的变形 如图，等直杆，外力为如图，等直杆，外力为F，自重集度，自重集度 为为q，长度为，长度为L，容重为，容重为 弹性模量为弹性模量为E ， 容许应力为容许应力为 求：伸长求：伸长 D Dl。 D Dl F D Dl FF )()(xdNxN )(xN dxAx Ax x )(xN 分析分

31、析此题与上面一题非常相似，由于自重的影响，杆内各横截 面的轴力不相等，故不能直接应用， 而必须从杆的长 度为dx的微段出发，略去无穷小量 dN(x)， 用公式（2-16），并利 用积分求得 L EA Nl l D 作微段的受力分析如图所示，利用虎克定律可得微段dx的伸长 为： dxx A P EEA dxxN dx D 1 EA L W P dxx A P E l l D 21 0 对上式两边按杆件长度进行积分，即可求得整个杆件的伸长量 为： 举例举例：图示为一简单托架，BC杆为圆钢，横截面直径d=20mm， BD杆为8号槽钢。若 试校核托架 的强度，并求B点的位移。设F=60KN 22 /2

32、00,/160mGNEmMN BC N BD N F (b) 4m 3m D C B F B3 B1 B2 (a) B2 B1 B B3 B4 (c) 解：解：（1）对B点作受力分析，如图(b) 由 )(7560 55 )(4560 4 3 4 35 5 3 5 cos/cos 5 3 sin 0 0 KNFN KNFFN FFNFN NNN y x BD BC BDBD BDBDBC /2.7310 101024 1075 /143 4 26 6 3 2 2 2 mMN A N mMN d N BD BD BC BC 故 （2）根据静力学平衡方程求未知应力 （3）由虎克定律求BC、BD杆的变

33、形： m EA LF EA LN L m EA LF EA LN L BD BDBD BD BC BCBC BC 3 69 3 3 69 3 1083. 1 10102410200 51075 4 5 1015. 2 1031410200 31045 4 3 D D 注：本题尚有其他求解方法，要求同学课后思考注：本题尚有其他求解方法，要求同学课后思考 目录目录 2-7直杆轴向拉伸或压缩时的变形能直杆轴向拉伸或压缩时的变形能 一、基本概念 大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就 能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发

34、条上劲的过能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发条上劲的过 程，实际上就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐程，实际上就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐 聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐 地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实 际上就是一种际上就是一种弹性体弹性体。 上述例子的物理意义：上述例子的物理意义：弹性体在外力作用下会产生变形。在变弹性体在外力作用下会产生变形。在变 形过程中，外力所作的功将转

35、变为储存于弹性体内的能量。当外力形过程中，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力 逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。 上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的，上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的， 因此我们就称其为因此我们就称其为变形能变形能。 1、引例、引例 2、定义定义 在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形 能或应变能。能或应变能。 11 LkFD LkFD F F F 1 F F tgk 则：则： 设直线的斜率为设直

36、线的斜率为k 3、变形能的计算、变形能的计算 请看上图，杆件的上端固定，下端作用一外力F，F由零逐渐 增加到F。在比例极限的范围之内， 关系见右图。LFD 当外力加到F1时，杆件的伸长量用DL1表示。 当外力加到F+DF1时，杆件的伸长量用DL1+d(DL1)表示。 由于DF1为无穷小量，在区间(a,b)内我们可近似地认为F1 为常量，则在这个区间内外力作的功为： 22 2 11 11 11 LF l k LdLk LdFW LdFdW D D DD D D F F 1 F F 从上图中可看出：dW在数值上等于阴影部分abcd的面积，当 我们把拉力F看作是一系列dF1的积累时，则拉力F所作的总

37、功W应 为上述微分面积的总和。即W等于FDL线下与水平轴之间区域的面 积。 即：即： LFWD 2 1 根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变 形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，也可忽略） 杆件的变形能用U表示，则： LFWUD 2 1 （2-17） 由虎克定律由虎克定律： EA FL L D 可知： EA LF U 2 2 （2-18） 由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存 的变形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。 e 2 1 2 D AL LF V U u 比能比能 eE 2 2 1 eE （线弹性范围内线弹性范围内） 单位单位：比能的单位为：J/m

38、3 J67.64mmN1067.64 )mm25( 4 )MPa10210( )mm102() 30cos2 N1010 ( ) cos2 ( 2 2 3 23 32 3 2 2 1 EA l F EA lN U 解：解： 例：例： 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理 求结点求结点A的位移的位移DA 。已知。已知 F =10 kN, 杆长杆长 l =2m，杆，杆 径径 d =25mm, =30，材料的弹性模量，材料的弹性模量 E =210GPa。 cos2 21 F NN F A BC 12 )(mm293. 1 N10100 mmN1067.64

39、22 3 3 F U A UFA 2 1 J67.64mmN1067.64 3 U 而而 F A BC 12 思考题思考题 1 1、应变能的计算不能使用力的叠加原理。想一想原因、应变能的计算不能使用力的叠加原理。想一想原因 是什么？是什么？ 2 2、如果杆件因为荷载或截面尺寸连续改变等原因而发、如果杆件因为荷载或截面尺寸连续改变等原因而发 生不均匀轴向变形，比如等直杆受自重荷载作用时，如生不均匀轴向变形，比如等直杆受自重荷载作用时，如 何计算杆件的应变能？何计算杆件的应变能？ 目录目录 2-8 应力集中的概念应力集中的概念 应力集中现象：应力集中现象：由于构件截面突然变化而引起的局部应力由于构

40、件截面突然变化而引起的局部应力 发生骤然变化的现象。发生骤然变化的现象。 F F d b max F F F max 静载下，静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的， 如铸铁）应考虑。如铸铁）应考虑。 动载下，动载下，塑性和脆性材料均需考虑。塑性和脆性材料均需考虑。 应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧应力集中程度与外形的突变程度直接相关，突变越剧 烈，应力集中程度越剧烈。烈，应力集中程度越剧烈。 理想应力集中系数理想应力集中系数: nom max k 其中：其中：最大局部应力最大局部应力 名义应力（平均应力）名义应力（平均应力） nom

41、max 目录目录 一、静定与超静定的概念：一、静定与超静定的概念： 1、静定问题、静定问题 仅利用静力学平衡方程就可求解出全部未知力的问题 称为静定问题静定问题。相应的结构称静定结构静定结构。 2、超静定问题、超静定问题 仅利用静力学平衡方程无法确定全部未知力的问题称 为超静定问题超静定问题或静不定问题静不定问题。相应的结构称超静定结构超静定结构或 静不定结构静不定结构。 2-9拉（压）超静定问题拉（压）超静定问题 特点特点：未知力（外力或内力）的个数等于独立的平衡方程 数目。 特点：特点：未知力的个数多于独立的平衡方程数目。 二、实例二、实例 如图所示：当把螺母旋进1/4圈以后，螺栓必然受到

42、 拉力而N1而使 筒受到压力N2，由于在这里求解N1，N2 的静力平衡方程只有一个： 2121 0NNNN 故不能求解出N1和N2 ， 因此该问题属静不定问题。 三、静不定次数三、静不定次数（超静定次数）=未知力数目独立平 衡方程的数目。 四、求解步骤：四、求解步骤： （1）通过分析多余未知力的数目和独立平衡方程的数目，判 明是否属静不定问题，若是静不定问题，属几次静不定问题。 （2）建立静力学平衡方程。 （3）根据构件之间的变形关系，找出几何方程。 （4）根据虎克定律建立物理方程。 （5）根据静力平衡方程、几何方程、物理方程求解出全部 求知力。 注：关键步骤：找几何方程注：关键步骤：找几何方

43、程 五、静不定问题的解法举例：五、静不定问题的解法举例： （1）建立静力学平衡方程）建立静力学平衡方程 0PRR BA （2）寻找几何方程）寻找几何方程 0DDD BCAC （3）建立物理方程）建立物理方程 D D )( 22 2 11 1 引起的轴力为压力 B B BC A AC R AE R AE R (1) 1 2 F 11A E 22A E B B R A R A C(3) (2) 1 2 F A B 11A E 22A E C 1 2 F C 11A E 22A E BB R A （4）依据几何方程和物理方程确立变形协调）依据几何方程和物理方程确立变形协调 条件（或称相容方程、补充方

44、程）条件（或称相容方程、补充方程） 0 22 2 11 1 AE R AE R BA (4) （5）联立方程（）联立方程（1）、（）、（4），即可求解未知力），即可求解未知力 122211 122 2 122211 211 1 AEAE APE R AEAE APE R 解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。解题关键点：找几何方程、建立协调条件方程。 同学思考同学思考 A B l l l F1 F2 A B l l F 11A E 22A E EA 1、如图所示结构中，1，2杆抗拉刚度 为E1A1，3杆抗拉刚度为E1A1，求各 杆内力? 解：解：1）取）取A结点研究，作受力图如图所示结点研究，作受力图如图所示 21 :NN 由对称性可知（1） 由于未知力个数是2个（N1和N3），而 平衡方程数只有1个，故为一次超静定问题。 三、解题举例三、解题举例 A 12 3 F L F 1 N 2 N 3 N 2）建立静力学平衡方程）建立静力学平衡方程 PNNFy 31 cos20 （2） 3）几何方程）几何方程 由结构、材料、荷载的对称性 21 DD c