矩形性质+判定(公开课2课时合一)

1、A B C D 四边形四边形ABCD 如果如果 ABCD ADBC B D ABCD A C 平行四平行四 边形的边形的 性质：性质： 边边 平行四边形的对边平行四边形的对边平行平行； 平行四边形的对边平行四边形的对边相等相等； 角角 平行四边形的对角平行四边形的对角相等相等； 平行四边形的邻角平行四边形的邻角互补互补； 对角线对角线平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分互相平分； 平行四平行四 边形的边形的 判定：判定： 边边 两组对边分别两组对边分别平行平行的四边形；的四边形； 两组对边分别两组对边分别相等相等的四边形；的四边形； 角角两组对角分别两组对角分别相等相等的四边形；的四边

2、形； 对角线对角线 对角线对角线互相平分互相平分的四边形；的四边形； 一组对边一组对边平行平行且且相等相等的四边形；的四边形； 平行四边形的判定定理：平行四边形的判定定理： 有一个角是直角有一个角是直角的的平行四边形平行四边形叫做叫做矩形矩形 （通常也叫长方形）（通常也叫长方形）. 矩形矩形 矩形是特殊的平行四边形矩形是特殊的平行四边形. 即： 即： A=90 ABCD ABCD是矩形是矩形. 四边形四边形 平行平行 四边形四边形 两组对边两组对边 分别平行分别平行 一个角一个角 是直角是直角 四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 矩形矩形 矩形与四边形、平行四边形的关系矩形与四边形、

3、平行四边形的关系 矩形有什么矩形有什么 性质？性质？ 有平行四边形有平行四边形 的所有性质的所有性质 还有其它特还有其它特 殊的性质殊的性质 A B C D O 矩形的对边平行且相等矩形的对边平行且相等. 矩形的对角相等矩形的对角相等. 矩形的对角线互相平分矩形的对角线互相平分. 矩形的一般性质矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）（即平行四边形所有性质） 边：边： 角：角： 对角线：对角线： 猜想猜想1：矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 猜想猜想2：矩形的对角线相等矩形的对角线相等 A BC D 矩形的特殊性质矩形的特殊性质 角：角： 对角线：对角线： 边：边： 矩形的四个角都是直角

4、矩形的四个角都是直角 已知：四边形已知：四边形ABCD是矩形是矩形 求证：求证：A=B=C=D=90 D CB A 证明：证明：四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， C=90 A=C=90 B+C=180 B=180C=90 D=B=90 即即A=B=C=D=90 探究探究1 定理证明定理证明 已知：四边形已知：四边形ABCD是矩形是矩形 求证：求证：AC = BD A B C D 证明：在矩形证明：在矩形ABCD中中 ABC = DCB = 90 又又AB = DC ， BC = CB ABC DCB（SAS） AC = BD 矩形的对角线相等矩形的对角线相等 探究探究2 定理证

5、明定理证明 矩形的矩形的 两条对角线互相平分两条对角线互相平分 矩形的两组对边分别相等矩形的两组对边分别相等 矩形的两组对边分别平行矩形的两组对边分别平行 矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角 矩形矩形 的的两条对角线相等两条对角线相等 边边 对角线对角线 角角 数学语言数学语言 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 AD = BC ，CD = ABAD BC ，CD ABAC= BD A B C D O AO= CO ，OD = OB 0 90DCBA 边边角角对角线对角线对称性对称性 平行四平行四 边形边形 矩形矩形 对边平行对边平行 且相等且相等 对角相等对角相等 邻角互补邻角互补 对角

6、线互对角线互 相平分相平分 中心对中心对 称图形称图形 对边平行对边平行 且相等且相等 四个角四个角 为直角为直角 对角线对角线互相互相 平分且平分且相等相等 中心对称图形中心对称图形 轴对称图形轴对称图形 O 这是矩形所这是矩形所 特有的性质特有的性质 相等的角：相等的角： 在矩形在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角中，找出相等的线段与相等的角. AD C B O 相等的线段：相等的线段： AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB =OD= AC = BD 2 1 2 1 DAB=ABC=BCD=CDA=90 AOB=DOC AOD=BOC OAB=OBA=ODC=OCD

7、OAD=ODA=OBC=OCB 等腰三角形：等腰三角形： OAB OBC OCD OAD 直角三角形：直角三角形： RtABC RtBCD RtCDA RtDAB 全等三全等三 角形：角形： RtABC RtBCD RtCDA RtDAB OAB OCD OAD OCB 在矩形在矩形ABCD中，找出所有等腰、直角、全等三角形中，找出所有等腰、直角、全等三角形. AD C B O 已知：在已知：在RtABC中，中，ABC=900，BO是是AC上的中线上的中线. 求证求证: BO = AC O O C CB B A A D 证明证明: 延长延长BO至至D,使使OD=BO, 连结连结AD、DC. A

8、O=OC, BO=OD 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形. ABC=900 ABCD是矩形是矩形 AC=BD 1 2 1 2 BO= BD= AC 再探新知再探新知 2 1 推论：推论： 直角三角形斜边上的中线直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半等于斜边的一半 C CB B A A O 矩形矩形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点O， AOB=60，AB=4cm，求矩形对角线的长。，求矩形对角线的长。 例题 解：解：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形， AC与与BD相等且互相平分相等且互相平分. OA=OB。 又又 AOB=60， OAB是等边三角形是等边三角形. 矩

9、形的对角线长矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=24=8（cm）. 练习：已知：如图，矩形练习：已知：如图，矩形ABCDABCD的两条对的两条对 角线相交于点角线相交于点O O，AOD=120AOD=120，AC=8cmAC=8cm， 求矩形的边长求矩形的边长. . A B O C D 解：在矩形ABCD中， AOD=120 AOB=60 OA=OB AOB为等边三角形为等边三角形 AB=OA= AC=4cm 2 1 在RtABC中， 22 4-8 48 22 AB-AC BC= 方法小结方法小结: 如果矩形两对角如果矩形两对角 线的夹角是线的夹角是60 或或120, 则其中必有等边三角形

10、则其中必有等边三角形. cm34 = 矩形矩形 ABCD，AB长长8 cm ，对角线比，对角线比AD边长边长4 cm。求。求AD的长及点的长及点A到到BD的距离的距离AE的长。的长。 例题 解：设解：设AD=xcm，则对角线长（，则对角线长（x+4）cm，在，在 RtABD中，由勾股定理：中，由勾股定理： AD2+AB2=BD2 解得解得x=6。则。则 AD=6cm。 AEDB= ADAB 解得解得 AE= 4.8cm. 2 22 48xx “直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利是一个基本图形，利 用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上用面积公式，可得到两直角边、斜边

11、及斜边上 的高的一个基本关系式：的高的一个基本关系式： AEDB= ADAB 已知：矩形已知：矩形ABCD中，中，E是是BC上一点，上一点， DFAE于于F，若，若AE=BC. 求证：求证：CEEF。 练习 矩形的问矩形的问 题常可以转化题常可以转化 为为直角三角形直角三角形 或或等腰三角形等腰三角形 的问题来解决的问题来解决. 证明：证明： 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 B=90，且，且ADBC 1=2 DFAEAFD=90B=AFD。 在在ABE和和DFA中中 1=2 B=AFD AD =AE ABE DFA（AAS） AF=BE EF=EC 矩形的定义：矩形的定义：有一个角是直角的平

12、行四边形有一个角是直角的平行四边形. 矩形的性质：矩形的性质： 具有平行四边形的一切特征具有平行四边形的一切特征. 四个角都是直角四个角都是直角. 对角线相等且平分对角线相等且平分. 课堂小结课堂小结 直角三角形的一个性质：直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. . 1. 填空：填空： （1）矩形的定义中有两个条件：一是）矩形的定义中有两个条件：一是_ ， 二是二是_ . （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则，则 矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为矩形两条对角线相交所得的四个角的

13、度数分别为_、 _ 、 _ 、 _ 。 （3）已知矩形的一条对角线长为）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的，两条对角线的 一个交角为一个交角为120，则矩形的边长分别为，则矩形的边长分别为_ cm， _ cm， _ cm，_ cm。 有一个角是直角有一个角是直角 平行四边形平行四边形 60 60120120 5 53535 随堂练习随堂练习 2.下列说法错误的是（下列说法错误的是（ ） A. 矩形的对角线互相平分。矩形的对角线互相平分。 B. 矩形的对角线相等。矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。 D. 有一个角是直角的平行四边形叫

14、做矩形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 3. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三 角形一共有（角形一共有（ ） A. 2对对 B. 4对对 C. 6对对 D. 8对对 C B 4. 工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使），使 AB=CD, EF=GH （2）摆放成如图（）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是）的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是，根据的数学道理是 （3）将直角尺靠紧窗框的一个角（

15、如图）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图3）调整窗框的边）调整窗框的边 框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图4） 说明窗框合格，这时窗框是，根据的数学道理说明窗框合格，这时窗框是，根据的数学道理 是是 BA C E D G F H 1234 平行四边形平行四边形两组对边分别相等两组对边分别相等 的的 矩形矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形 四边形是平行四边形四边形是平行四边形 5. 用用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面, 则每块长方形地砖的长和宽分别是则每块长方形地砖的长和

16、宽分别是( ) A. 48cm,12cm B. 48cm,16cm; C. 44cm,16cm D. 45cm,15cm. 60cm D 6. 四个学生正在做投圈游戏四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在他们分别站在 一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处交点处,这样的队形对每个人公平吗这样的队形对每个人公平吗?为什么？为什么？ O A B C D 公平，因为公平，因为OA=OC=OB=OD 10. 小明想要做一个矩形像框，于是找来两根长小明想要做一个矩形像框，于是找来两根长 度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你度相等的短木条和两根长度相

17、等的长木条制作，你 有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？ 1、理解并掌握矩形的判定方法。 2、能应用矩形定义、判定等知识，解 决简单的证明题和计算题。 1什么叫做平行四边形？什么叫做什么叫做平行四边形？什么叫做 矩形？矩形？ 2矩形有哪些性质？矩形有哪些性质？ 3矩形与平行四边形有什么共同之矩形与平行四边形有什么共同之 处？有什么不同之处？处？有什么不同之处？ A B C D 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂 参观时，一木工师傅要他们利用自己所参观时，一木工师傅要他们利用自己所 学的几何知识帮助检测一个窗框学的几何知识帮助检测

18、一个窗框ABCD 是不是矩形，他们各自做了检测。你认是不是矩形，他们各自做了检测。你认 为他们的方法对吗？为他们的方法对吗？ A B C D 甲同学先用刻度尺量得甲同学先用刻度尺量得AB=CD， AD=BC，然后又用量角器量得其中一，然后又用量角器量得其中一 个内角个内角DAB=90，因此甲判定这个，因此甲判定这个 四边形四边形ABCD是矩形。是矩形。 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 A B C D 乙同学认为甲的方法太复杂，他只乙同学认为甲的方法太复杂，他只 用量角器量得这个四边形的三个内角用量角器量得这个四边形的三个内角 DAB 、 ABC、BCD

19、都是都是90， 他就判定这个四边形他就判定这个四边形ABCD是矩形。是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。 A B C D 丙同学想了一下，他决定用与他们丙同学想了一下，他决定用与他们 不同的方法来判断。他先用刻度尺量得不同的方法来判断。他先用刻度尺量得 AB=CD，AD=BC，然后又量得这个四，然后又量得这个四 边形的两条对角线边形的两条对角线AC=BD，他就判定这，他就判定这 个个 四边形是矩形。四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。 O 矩形的判定方法：矩形的判定方法： 1、有一个角是直角的、有一个角是直角的平行四边形

20、平行四边形是是矩形矩形。 2、对角线相等的、对角线相等的平行四边形平行四边形是是矩形矩形。 3、有三个角是直角的、有三个角是直角的四边形四边形是是矩形矩形。 对于对于1、2两种判定方法是在两种判定方法是在平行四边平行四边 形形的前提下来判断的，而的前提下来判断的，而3是直接在是直接在四边形四边形 的前提下判断的。的前提下判断的。 1、下列各句判定矩形的说法是否正确？、下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （3）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （5）一组邻边

21、垂直，一组对边平行且相等的 四边形是矩形；（ ） （6）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形 ( ) D A B C EF 1ABCDEF BCBE=CFAF=DE 1ABFDCE 2ABCD 、如如图图，在在中中， 、 为为 上上的的两两点点，且且，。 求求证证：； 四四边边形形是是矩矩形形。 1BE=CF BE+EF=CF+EF BF=CE. ABCD AB=CD AF=DE ABFDCESSS 证证明明：， ， 四四边边形形是是平平行行四四边边形形， 又又， （） 2ABFDCE B= C B+ C=180 B=90 ABCD ， 又又， 是是矩矩形形。 O A B C D 2

22、ABCDAC BDOAOB ABCD 、已已知知的的对对角角线线、 相相交交于于点点 ，是是等等边边 三三角角形形。 求求证证：四四边边形形是是矩矩形形。 AOB OA=OB ABCD AC=2OABD=2OB AC=BD ABCD 证证明明：是是等等边边三三角角形形， 四四边边形形是是平平行行四四边边形形 ， ， 是是矩矩形形。 要判定一个四要判定一个四 边形是矩形，通常边形是矩形，通常 先判定它是平行四先判定它是平行四 边形，再根据平行边形，再根据平行 四边形构成矩形的四边形构成矩形的 条件，判定有一个条件，判定有一个 角是直角或者对角角是直角或者对角 线相等。线相等。 1、下列说法正确的是（、下列说法正确的是（ ） （A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形）有一组对角是直角的四边形一定是矩形 （B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C）对角线互相平分的四边形是矩形）对角线互相平分的四边形