随机信号分析课件-2

1、随机信号分析随机信号分析 电子工程系电子工程系 张俊生张俊生 第二章 随机过程 噪声电压的起伏波形噪声电压的起伏波形 00.050.10.150.20.250.30.350.40.450.5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 -3 t X(t) 2.1 随机过程的基本概念及其统计特性 定义定义1 1：设随机试验设随机试验E E的样本空间的样本空间S, ,若对每个若对每个 元素元素S，总有确知的时间函数，总有确知的时间函数X(t,),tT与它与它 相对应；这样，对于所有的相对应；这样，对于所有的S，就可以得到一，就可以得到一 族时间族时间t t的函数，将其称为随机过程。族中的

2、每一的函数，将其称为随机过程。族中的每一 个函数称为该过程的样本函数。个函数称为该过程的样本函数。 特定实验结果特定实验结果 一个确知的时一个确知的时 间函数间函数 定义定义2 2：若对于每个特定的时间若对于每个特定的时间 都是随机变量，则称都是随机变量，则称 为随机过程。为随机过程。 一个特定时间一个特定时间 一个取一个取 决于决于的随机变量的随机变量 ( ,) ii X t (1,2,) , ( , ) ii t iX t ( , )X t ( , ) ii tX t 常用于对随机过程的实际观测常用于对随机过程的实际观测 用实验方法观测到各个样本用实验方法观测到各个样本 样本数目越多，越能

3、掌握随机过程样本数目越多，越能掌握随机过程 的统计规律性的统计规律性 常用于理论分析常用于理论分析 可以看成随机变量的推广（可以看成随机变量的推广（n n维）维） 随机变量的维数越大，越能掌握随随机变量的维数越大，越能掌握随 机过程的统计规律性机过程的统计规律性 随机过程随机过程X(t)X(t)在四种不同情况下的含义在四种不同情况下的含义 4 4 一个确定值（一个确定值（t t和和都固定）都固定） 2 2 一个确知的时间函数一个确知的时间函数(t(t是变量，而是变量，而固定）固定） 1 1 一个时间函数族（一个时间函数族（t t和和都是变量）都是变量） 3 3 一个随机变量（一个随机变量（t

4、t固定，而固定，而是变量）是变量） 2.1.2随机过程的分类 一、按一、按X(t)X(t)的时间和状态是离散还是连续进行分类的时间和状态是离散还是连续进行分类 1 1、连续型随机过程任意的、连续型随机过程任意的 都是都是 连续型随机变量；连续型随机变量； 2 2、离散型随机过程任意的、离散型随机过程任意的 都是都是 离散型随机变量；离散型随机变量； 3 3、连续随机序列任意离散时刻的状态是连、连续随机序列任意离散时刻的状态是连 续型随机变量；续型随机变量； 4 4、离散随机序列随机过程的时间和状态都、离散随机序列随机过程的时间和状态都 是连续的是连续的 11 , ( )tTX t 11 , (

5、 )tTX t 二、按随机过程的样本函数的形式不同进行分类二、按随机过程的样本函数的形式不同进行分类 1 1、不确定性随机过程样本函数的未来值不能由、不确定性随机过程样本函数的未来值不能由 过去的观测值准确预测；过去的观测值准确预测； 2 2、确定性随机过程样本函数的未来值可以由、确定性随机过程样本函数的未来值可以由 过去的观测值预测；过去的观测值预测； 三、按随机过程三、按随机过程X(t)X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类的的分布函数或概率密度的不同特性分类 平稳性过程、遍历性平稳性过程、遍历性 2 正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程1 宽带过

6、程、窄带过程、白噪声、有色噪声宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声 4 3 将对随机变量的研究推广到随机过程中去。将对随机变量的研究推广到随机过程中去。 一、一维概率分布一、一维概率分布 随机过程在任一特定时刻随机过程在任一特定时刻 取样得到随机取样得到随机 变量变量 ，其概率分布为，其概率分布为 称作随机过程称作随机过程X(t)X(t)的一维分布函数。的一维分布函数。 求偏导数数可得求偏导数数可得 称作随机过程称作随机过程X(t)X(t)的一维概率密度。的一维概率密度。 1 tT 1 ( )X t 1111 ( ; )( ) X Fx tP X tx 11 11 1 ( ; ) ( ; )

7、X X Fx t fx t x 2.1.32.1.3随机过程的概率分布随机过程的概率分布 12 , , n t tt 12 ( ),( ),( ) n X tX tX t 时刻采样，得到一族随机变量时刻采样，得到一族随机变量 随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有 一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度 的各种性质；的各种性质； 随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是 时间时间t t的函数；的函数； 随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述随机过程的一维分布函数和一维概

8、率密度描述 该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。 二、二维概率密度二、二维概率密度 随机过程随机过程X(t)X(t)的二维分布函数为的二维分布函数为 12121122 ( ,; , )( ),( ) X Fx x t tP X tx X tx 随机过程随机过程X(t)X(t)的二维概率密度为的二维概率密度为 2 1212 1212 12 ( ,; , ) ( ,; , ) X X Fx x t t fx x t t x x 三、三、n维概率分布维概率分布 随机过程随机过程X(t)的的n维分布函数为维分布函数为 随机过程随机过程X(t)的的n维概率密度

9、为维概率密度为 1212 1122 ( ,; , ,) ( ),( ),( ) Xnn nn Fx xx t tt P X tx X txX tx 1212 1212 12 ( ,; , ,) ( ,; , ,) Xnn n Xnn n fx xx t tt Fx xx t tt x xx 随机过程随机过程X(t)X(t)的的n n维分布函数的主要性质：维分布函数的主要性质： 1212 ( ,; , ,)0 Xnn fx xx t tt 121212 ( ,; , ,)1 Xnnn n fx xx t tt dx dxdx 重 121212 () 1212 ( ,; , ,) ( ,; , ,

10、) Xnnmmn n m Xmm fx xx t tt dxdxdx fx xxt tt 重 1212 ( ,; , , ,)0 Xnin Fx xx t ttt 12 ( ,; , ,)1 Xn Ft tt 5 5、 4 4、 3 3、 2 2、 1 1、 6 6、如果、如果 统计独立，则有统计独立，则有 1212 1122 ( ,; , ,) ( ; )(; )(; ) Xmm XXXnn fx xxt tt fx tfx tfx t 12 ( ),( ),( ) n X tX tX t 作业一 设正弦波随机过程为 其中 为常数，A为均匀分布在0,1内的随机 变量，试求： （1）画出过程X

11、(t)的几个样本函数； （2）试求出 时，X(t)的一 维概率密度，并画出它们的曲线； （3）试求出 时，X(t)的一维概率密度。 0 ( )cosX tAt 0 000 3 0, 44 t 0 2 t 2.1.4 2.1.4 随机过程的数字特征随机过程的数字特征 在实际应用中，要确定随机过程的概率分布族，在实际应用中，要确定随机过程的概率分布族， 并加以分析，常比较困难；并加以分析，常比较困难； 随机变量的数字概念推广到随机过程中去；随机变量的数字概念推广到随机过程中去； 随机过程数字特征通常不再是确定数值，而是随机过程数字特征通常不再是确定数值，而是 确定的时间函数。确定的时间函数。 一、

12、数学期望一、数学期望 随机过程随机过程X(t)X(t)在任意一个时刻在任意一个时刻t t的取值是一个的取值是一个 随机变量随机变量X(t)X(t)，将其任意取值，将其任意取值x(t)x(t)简计为简计为x x，由随，由随 机变量的数学期望定义可得机变量的数学期望定义可得 为时间的确定函数，称为随机过程的数学期望。为时间的确定函数，称为随机过程的数学期望。 ( )( )( ; ) XX mtE X txfx t dx 随机过程随机过程X(t)X(t)的数学期望的数学期望 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01

13、0.015 t X(t) 二、均方值和方差二、均方值和方差 随机变量随机变量X(t)X(t)的二阶原点矩的二阶原点矩 为随机过程为随机过程X(t)X(t)的均方值。的均方值。 随机变量随机变量X(t)X(t)的二阶中心矩的二阶中心矩 为随机过程为随机过程X(t)X(t)的方差。的方差。 为中心化随机过程。为中心化随机过程。 均方值和方差都是均方值和方差都是t t的确定函数；的确定函数； 方差描述了诸样本对于其数学期望的偏离程方差描述了诸样本对于其数学期望的偏离程 度；度； 222 ( )( )( ; ) XX tE Xtx fx t dx 222 ( )( )( )( )( ) XX tD X

14、 tE XtE X tmt ( )( ) X XX tmt 二、自相关函数二、自相关函数 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 t X(t) 具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程 具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 t Y(t) 自相关函数是用来描述随机

15、过程任意两个自相关函数是用来描述随机过程任意两个 时刻的状态之间内在联系的重要特征。时刻的状态之间内在联系的重要特征。 随机过程的自相关函数定义为随机过程的自相关函数定义为 相关函数反映了相关函数反映了X(t)X(t)在任意两个时刻的状态之在任意两个时刻的状态之 间的相关程度。间的相关程度。 当当 时时 1212 ( , )( )( ) X Rt tE X t X t 12121212 ( ,; , ) X x x fx x t t dx dx 2 12 ( , )( , )( )( )( ) XX Rt tRt tE X t X tE Xt 12 ttt 随机过程的协方差函数为随机过程的协方

16、差函数为 协方差函数描述了在任意两个时刻的起伏值之间协方差函数描述了在任意两个时刻的起伏值之间 的相关程度。的相关程度。 协方差函数与相关函数之间的关系：协方差函数与相关函数之间的关系： 1212 ( , )( )( ) X Kt tE X tX t 1122 ( )( )( )( ) XX E X tmtX tmt 1122121212 ( )( )( ,; , ) XXX xmtxmtfx x t t dx dx 121122 ( , )( )( )( )( ) XXX Kt tE X tmtX tmt 1212 2112 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) X XXX

17、 E X t X tmt E X t mtE X tmt mt 1212 ( , )( )( ) XXX Rt tmt mt 当当 时，有时，有 推导可得推导可得 数学期望和相关函数是随机过程两个最基数学期望和相关函数是随机过程两个最基 本的数字特征，其它数字特征都可以通过二者本的数字特征，其它数字特征都可以通过二者 间接求得。间接求得。 12 ttt 12 ( , )( , ) XX Kt tKt t 2 ( )( ) X E X tmt 2 ( )( ) X D X tt 222 ( )( )( ) XX tE Xtmt 【例题例题】分析正弦型随机相位信号分析正弦型随机相位信号 0 ( )

18、cos()X tAt 0 A(-,)为数为匀随变 ，求随机信号的均值、方差和自相关函数 其其中中 和和常常，上上均均分分布布的的机机 量量。 解：解： 0 ( )( )cos() X mtE X tE At 0 1 cos() 2 Atd 0 1212 ( , )( )( ) X Rt tE X t X t 0 10 2 cos()cos()E AtAt 222 1 ( )( , )( ) 2 XXX tRt tmtA 2 012012 2 012 2 012 2 012 1 cos()cos()2 2 1 cos() 2 11 cos()2 22 1 cos() 2 A Etttt Att

19、Attd Att 2.1.52.1.5随机过程的特征函数随机过程的特征函数 概率密度和特征函数是一对傅立叶变换。利概率密度和特征函数是一对傅立叶变换。利 用特征函数可以简化运算。用特征函数可以简化运算。 一、一维特征函数一、一维特征函数 称为随机过程称为随机过程X(t)X(t)的一维特征函数。的一维特征函数。 一维特征函数的傅立叶反变换为一维特征函数的傅立叶反变换为 11 ( ) 11 ( ; ) ju X t X Cu tE e 1 1 111 ( ; ) ju x X efx t dx 11 ( ; ) X fx t 1 1 111 1 ( ; ) 2 ju x X eCu t du 随机

20、过程随机过程X(t)X(t)的的n n阶原点矩函数为阶原点矩函数为 二、二维随机过程二、二维随机过程 称为随机过程称为随机过程X(t)X(t)的二维特征函数。的二维特征函数。 其傅立叶反变换为其傅立叶反变换为 0 ( ; ) ( )( ; )() n nnn X X n u Cu t E Xtx fx t dxj u 12121122 1 122121212 ( ,; , )exp( )( ) exp()( ,; , ) X X Cu u t tEju X tju X t ju xju xfx x t t dx dx 1212 1 1221212122 ( ,; , ) 1 exp()( ,;

21、 , ) 2 X X fx x t t ju xju x Cu u t t du du 随机过程随机过程X(t)X(t)的相关函数可表示为的相关函数可表示为 三、随机过程的三、随机过程的n n维特征函数维特征函数 称为随机过程称为随机过程X(t)X(t)的的n n维特征函数。维特征函数。 12 1212121212 2 1212 12 0 ( , )( ,; , ) ( ,; , ) XX X uu Rt tx x fx x t t dx dx Cu u t t u u 1212 1122 1 122 121212 ( ,; , ,) exp( )( )( ) exp() ( ,; , ,)

22、Xnn nn nn n Xnnn Cu uu t tt Eju X tju X tju X t ju xju xju x fx xx t tt dx dxdx 重 傅立叶反变换为傅立叶反变换为 1212 1212 1 12212 ( ,; , ,) 1 ( ,; , ,) (2 ) exp( () Xnn Xnn n n nnn fx xx t tt Cu uu t tt ju xju xju xdu dudu 重 作业二 设随机相位信号 ，式中 皆为常数， 为均匀分布在 上的随机变 量。求该随机信号的均值、方差、相关函 数和协方差函数。 0 (t)acos(t)X 0 a, 0,2 2.2

23、随机过程的微分与积分 2.2.1 随机连续性 若随机过程X(t)满足 则称过程X(t)在均方意义下连续，简称均方连 续（m.s连续）。 若X(t)均方联系，则其数学期望必然连续： 或者写作 2 (X(tt)(t) 0 (t0)EX 00 limX(tt)limX(tt) tt EE t0 X(tt)X(t) EE 2.2.2 随机过程的微分及数字特征 一、随机过程的微分 如果上式对所有的样本函数都存在，则具有通 常导数的定义。 均方导数： 均方可微的条件： 存在。 0 (t)(t)(t) (t)lim t dXXtX X dtt 2 0 (t)(t) lim(t) 0 t XtX EX t 1

24、2 2 12 12 ( , ) X tt Rt t t t 2.2.2 随机过程的微分及数字特征 二、随机过程导数的数字特征 有： (t) (t)(t) dX YX dt 0 0 0 (t)(t) (t)Y(t)lim (t)(t) lim (t)(t)(t) lim Y t t XXX t XtX mEE t XtX E t mtmdm tdt 2.2.2 随机过程的微分及数字特征 二、随机过程导数的数字特征 有 121212 (t ,t )Y(t )Y(t )X(t )(t ) Y REEX 12 1212 2 ( , ) ( , )( ) ( ) XY XY Rt t Rt tE X t

25、 Y t t 2 12 1212 12 (t ,t ) (t ,t )Y(t )Y(t ) tt X Y R RE 12 (t ,t )? YX R 2.2.3 随机过程的积分及数字特征 一、随机过程的积分 Y变为随机变量。引入权函数 ： Y(t)重新变为随机过程。 均方可积的条件： (t)dt b a YX ( )( ) ( , ) b a Y tXht d ( , )ht 1211 ( , ) bb X aa Rt tdt dt 2.2.3 随机过程的积分及数字特征 二、随机过程积分的数学期望 ( )( )( ) bbb X aaa E YEX t dtE X t dtmt dt 2 12

26、12 ( ,t ) bb X aa E YRtdt dt 2 1212 ( ,t ) bb YX aa Ktdt dt 2.2.3 随机过程的积分及数字特征 三、随机过程的相关函数 0 (t)( )d t YX 12 12 1212 00 00 ( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( ,) Y tt tt X R t tE Y t Y t EXdXd Rd d 例题数学期望为 ，相关函数为 的随机信号输入微分电 路，该电路的输出信号 。求Y(t) 的均值和相关函数。 解： ( )5sin X mtt 2 21 0.5() 12 ( , )3 tt X Rt te ( )( )Y tX t

27、 ( ) ( )5cos X Y dmt m tt dt 2 21 2 0.5()2 12 1221 12 ( , ) ( , )31 () tt X Y Rt t R t tett t t 2.2.3 3平稳性随机过程和遍历性过程平稳性随机过程和遍历性过程 2.2.3 3.1.1平稳随机过程平稳随机过程 一、严平稳随机过程及其数字特征一、严平稳随机过程及其数字特征 1 1、严平稳随机过程的定义、严平稳随机过程的定义 设有随机过程设有随机过程X(t)X(t)，若它的，若它的n n维概率密度不随维概率密度不随 时间起点的选择的不同而改变，即对于任何的时间起点的选择的不同而改变，即对于任何的n n

28、和和 ，过程，过程X(t)X(t)的的n n维概率密度满足维概率密度满足 则称则称X(t)X(t)为严平稳随机过程或狭义平稳过程。为严平稳随机过程或狭义平稳过程。 严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起严平稳随机过程的统计特性与所选取的时间起 点无关。点无关。 1212 1212 ( ,; , ,) ( ,;,) Xnn Xnn fx xx t tt fx xx ttt 1 1、严平稳随机过程的一、二维概率密度及数字特征、严平稳随机过程的一、二维概率密度及数字特征 （1 1）若）若X(t)X(t)是严平稳随机过程，则它的一维概率密是严平稳随机过程，则它的一维概率密 度与时间无关度与时间无关

29、令令 可得可得 进一步可求得进一步可求得 均值均值 均方值均方值 方差方差 1 t 11 ( ; ) X fx t 11 ( ;) X fx t 1 ( ;0) X fx 1 () X fx ( )E X t 111 () XX x fx dxm 2 ( )E Xt 22 111 () XX x fx dx ( )D X t 22 111 ()() XXX xmfx dx （2 2）严平稳随机过程二维概率密度只与）严平稳随机过程二维概率密度只与t t1 1、t t2 2的时的时 间间隔有关，而与时间起点无关。间间隔有关，而与时间起点无关。 令令 可得可得 这时过程这时过程X(t)X(t)的自相

30、关函数为的自相关函数为 协方差函数为协方差函数为 当当t1t1t2t2，即，即0 0时时 121 , ttt 1212 ( ,; , ) X fx x t t 1212 ( ,;,) X fx x tt 1221 ( ,;0,) X fx xtt 12 ( ,; ) X fx x 12 ( , ) X Rt t 121212 ( ,; ) X x x fx xdx dx ( ) X R 12 ( , )( ) XX Kt tK 2 ( ) XX Rm (0) X K 2 X 2 (0) XX Rm 二、宽平稳随机过程二、宽平稳随机过程 满足满足 则称则称X(t)X(t)为宽平稳随机过程或广义平

31、稳随机过程。为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征；只涉及与一、二维概率密度有关的数字特征； 严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平严平稳过程只要均方值有界，则它必定是宽平 稳的，反之不一定成立；稳的，反之不一定成立； 正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。正态随机过程的宽平稳与严平稳是等价的。 1212 ( , )( ),( )( ) XX Rt tE X tX tR 2 ( )E Xt ( ) X E X tm 2.2.3 3.2.2遍历性过程遍历性过程 一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻一般随机过程要对大量样本函数在特定时刻 取值，用统计方法到

32、数字特征。这种方法成取值，用统计方法到数字特征。这种方法成 为统计平均或集合平均，也简称为集平均。为统计平均或集合平均，也简称为集平均。 辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平辛钦证明：在具备一定的补充条件下，对平 稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就稳随机过程的一个样本函数取时间均值，就 从概率意义上趋近于此过程的统计均值。从概率意义上趋近于此过程的统计均值。 任何一个样本函数的特性都能充分地代表整任何一个样本函数的特性都能充分地代表整 个随机过程的特性。个随机过程的特性。 具有遍历性的随机过程具有遍历性的随机过程X(t)X(t) 00.050.10.150.20.250.30.350.4

33、0.450.5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10 -3 t X(t) 一、遍历性过程的定义一、遍历性过程的定义 1 1、严遍历性过程的定义、严遍历性过程的定义 如果一个随机过程如果一个随机过程X(t),X(t),它的各种时间平均依概它的各种时间平均依概 率率1 1收敛于响应的集合平均，则称过程收敛于响应的集合平均，则称过程X(t)X(t)具有严格具有严格 遍历性或侠义遍历性，并称此过程为严格遍历性过程遍历性或侠义遍历性，并称此过程为严格遍历性过程 或侠义遍历性过程，简称或侠义遍历性过程，简称严遍历过程严遍历过程。 2 2、随机过程的时间平均、随机过程的时间平均 对随机过程对

34、随机过程X(t)X(t)沿整个时间轴的下列两种时间平沿整个时间轴的下列两种时间平 均均 分别称为过程分别称为过程X(t)X(t)的时间均值和时间相关函数。的时间均值和时间相关函数。 ( )( )AX tX t 1 lim( ) 2 T TT X t dt T ( ,)( )() X t tX t X t 1 lim( )() 2 T T X t X tdt T 3 3、遍历性过程的定义、遍历性过程的定义 设设X(t)X(t)是一个平稳随机过程是一个平稳随机过程 如果如果 依概率依概率1 1成立，则称过程成立，则称过程X(t)X(t)的均值具有遍历性。的均值具有遍历性。 如果如果 依概率依概率1

35、 1成立，称过程成立，称过程X(t)X(t)的自相关函数具有遍历的自相关函数具有遍历 性。性。 若在若在0 0时，上式成立，则称过程时，上式成立，则称过程X(t)X(t)的均方的均方 值具有遍历性。值具有遍历性。 如果过程如果过程X(t)X(t)的均值和自相关函数都具有遍历性。的均值和自相关函数都具有遍历性。 则称则称X(t)X(t)是宽遍历性过程或广义遍历性过程，简是宽遍历性过程或广义遍历性过程，简 称遍历性过程。称遍历性过程。 ( )( )AX tX t( ) X E X tm ( ,)( )() X t tX t X t( )()( ) X E X t X tR 二、遍历性的实际意义二、

36、遍历性的实际意义 任一样本函数的时间平均可以代替整个过程任一样本函数的时间平均可以代替整个过程 的统计平均；的统计平均； 遍历过程的一、二阶距函数具有明确的物理遍历过程的一、二阶距函数具有明确的物理 意义；意义； ( )X t 1 lim( ) 2 T X TT mx t dt T 22 1 (0)lim( ) 2 T XX TT Rx t dt T 22 1 lim ( ) 2 T XX TT x tmdt T 2 XX 电压信号电压信号 直流分量直流分量 总平均功率总平均功率 交流平均功率交流平均功率 电压有效值电压有效值 二、随机过程具有遍历性的条件二、随机过程具有遍历性的条件 1 1、

37、随机过程必须是平稳的。、随机过程必须是平稳的。 时间均值必定是一个与时间无关的常数。时间均值必定是一个与时间无关的常数。 时间相关函数必定只是时间差时间相关函数必定只是时间差的函数。所以的函数。所以 是平稳随机过程。是平稳随机过程。 平稳随机过程不一定具有遍历性，如图平稳随机过程不一定具有遍历性，如图X(t)X(t)具具 有平稳性，但不具有遍历性。有平稳性，但不具有遍历性。 1 ( )( )lim( ) 2 T TT AX tX tX t dt T 1 ( ,)( )()lim( )() 2 T X T t tX t X tX t X tdt T 不具备遍历性的平稳过程不具备遍历性的平稳过程

38、00.10.20.30.40.50.60.70.80.91 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 t X(t) 2 2、平稳随机过程、平稳随机过程X(t)X(t)的均值具有遍历性的充的均值具有遍历性的充 要条件为要条件为 证明：证明： 是随样本函数不同而变化的随机是随样本函数不同而变化的随机 变量，其数学期望为变量，其数学期望为 对于平稳过程对于平稳过程X(t)X(t)，可得，可得 2 2 0 1 lim(1)( )0 2 T XX T Rmd TT ( )X t 1 ( )lim( ) 2 T TT E X tEX t dt T 1 lim(

39、 ) 2 T TT E X tdt T ( ) X E X tm 的方差为的方差为 变量替换可得变量替换可得 ( )X t ( )D X t 22 ( ) X X E X tm 1212 2 1 lim( , ) 4 TT X TTT Kt t dt dt T 2112 2 1 lim() 4 TT X TTT Ktt dt dt T 2 22 2 1 lim(1)( ) 22 T XX X TT Rmd TT 2 2 0 1 lim(1)( ) 2 T XX T Rmd TT 被积函数偶函数 由由X(t)X(t)的遍历性可得的遍历性可得 于是，由切比雪夫不等式，有于是，由切比雪夫不等式，有

40、即，即， 依概率收敛于依概率收敛于 。因。因 由方差性质可知，由方差性质可知， 依概率依概率1 1成成 立。立。 3 3、自相关函数的遍历性定理。、自相关函数的遍历性定理。 平稳随机过程平稳随机过程X(t)X(t)的自相关函数具有遍历性的充的自相关函数具有遍历性的充 要条件为要条件为 2 ( )0 X D X t 2 2 ( )( )0 X P X tE X t ( )X t( )E X t( )0D X t ( )( ) X X tE X tm 令令 ，就可得到均方值具有遍历性的充要，就可得到均方值具有遍历性的充要 条件。条件。 4 4、对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关函、对于正态平

41、稳随机过程，若均值为零，自相关函 数数 连续，则可以证明此过程具有遍历性的连续，则可以证明此过程具有遍历性的 一个充分条件为一个充分条件为 2 2 1 11 0 1 lim(1)( ( )( ) 2 T X T BRd TT 111 ( )()()()( )BE X tX tX tX t 0 ( ) X R 0 ( ) X Rd 2.2.3 3.3 .3 平稳随机过程相关函数的性质平稳随机过程相关函数的性质 一、平稳随机过程自相关函数的性质一、平稳随机过程自相关函数的性质 22 (0)( )0 XX RE X t 1 1 ( )() XX RR2 2 证：证： ( )( )() X RE X

42、t X t()( )E X tX t () X R ( )() XX KK 3 3 (0)( ) XX RR 证：正函数的数学期望恒为非负值，即证：正函数的数学期望恒为非负值，即 2 ( )() 0E X tX t 22 ( )2( )()()0E XtX t X tXt 22 ( )( )()(0) X X tE XtE XtR平稳 2(0)2( )0 XX RR (0)( ) XX RR (0)( ) XX KK 在零点以外也在零点以外也 可能有最大值可能有最大值 4 4 周期平稳随机过程的自相关函数必为周期函数，周期平稳随机过程的自相关函数必为周期函数， 且它的周期与过程的周期相同。且它

43、的周期与过程的周期相同。 () X RT( )()E X t X tT ( )()( ) X E X t X tR 5 5 若平稳随机过程含有一个周期分量，则自相关函若平稳随机过程含有一个周期分量，则自相关函 数也含有一个同周期的周期分量。数也含有一个同周期的周期分量。 0 ( )( )( )cos()( )X tS tN tatN t 2 0 ( )( )( )cos( ) 2 XSNN a RRRR ( )( )0,2 ( ) S tN t N t 、统计独立； 在()上均匀分布； 为平稳过程 6 平稳随机过程中不含有任何周期分量，则平稳随机过程中不含有任何周期分量，则 2 lim( )(

44、 ) XXX RRm 证：证： lim( )lim( )() X RE X t X t 2 lim( ) () X E X t E X tm lim( )( )0 XX KK 证：证： 7 若平稳过程含有平均分量（均值），则相关函若平稳过程含有平均分量（均值），则相关函 数也将含有平均分量，且等于均值的平方，即数也将含有平均分量，且等于均值的平方，即 2 ( )( ) XXX RKm 2 6 (0)( ) XXX RR 在满足性质 的条件下，有 ( )( )() XXX KE X tmX tm 2 ( ) XX Rm 22 (0)(0) XXXX KRm (0)( ) XX RR 8 平稳随机

45、过程的自相关函数必须满足平稳随机过程的自相关函数必须满足 ( )0 j X Red 二、平稳过程的相关系数和相关时间 1 相关系数相关系数 2 2 ( )( ) ( ) (0) XXX X XX KRm r K 1 相关时间相关时间 0 0 ( ) X rd 【例题例题1】设随机随机过程设随机随机过程 0 (t)cos(t)Xa 式中式中 皆为常数，皆为常数， 是在是在 上均匀分布的随机上均匀分布的随机 变量。判断变量。判断X(t)的平稳性和遍历性。的平稳性和遍历性。 解：解： 0 a、 (0,2 ) 【例题例题2】已知平稳随机过程已知平稳随机过程X（t）的自相关函数为）的自相关函数为 10

46、( )100100cos10100 X Re 求均值、均方差和方差。求均值、均方差和方差。 解：解： 10 ( )100cos10100100 X Re 12 ( )( ) XX RR 22 ( )10 XX mR 12 10 XXX mmm 2 ( )(0)300 X E XtR 22 (0)200 XXX Rm 作业三 1、设随机过程 ，其中 是平 稳随机过程， 讨论 z(t)的遍历性。 (t)(t)ZXY(t)X (t)YX是与无关的随机变量。 作业三 2、根据下图写出平稳过程X(t)的自相关函数 的表达式，并求X(t)的均值、均方值、自协 方差函数和方差。 20 0 )(Rx 10 2

47、.2.4 4随机过程的联合概率分布和互相关函数随机过程的联合概率分布和互相关函数 2.2.4 4.1.1两个随机过程的联合概率分布两个随机过程的联合概率分布 随机过程随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的多维概率密度分别为的多维概率密度分别为 定义两个随机过程的多维联合分布函数为定义两个随机过程的多维联合分布函数为 1212 1212 ( ,; , ,) (,; , ,) Xnn Ymm fx xx t tt fy yyt tt 12121212 1122 1122 ( ,; , , , , ,) ( ),( ),( ), ( ), ( ), () XYnmnm nn mm Fx xx

48、y yyt tt t tt P X tx X txX tx Y ty Y tyY ty 定义两个随机过程多维联合概率函数为定义两个随机过程多维联合概率函数为 如果如果 则称随机过程是相互独立的。则称随机过程是相互独立的。 如果两个随机过程的联合概率密度不随时间如果两个随机过程的联合概率密度不随时间 变化，即与时间起点无关，则称此过程为联合严变化，即与时间起点无关，则称此过程为联合严 平稳或严平稳相依过程。平稳或严平稳相依过程。 12121212 12121212 1212 ( ,; , , , , ,) ( ,; , , , , ,) XYnmnm m n XYnmnm nm fx xxy y

49、yt tt t tt Fx xxy yyt tt t tt x xxy yy 12121212 12121212 ( ,; , , , , ,) ( ,; , ,)(,; , ,) XYnmnm XnnYmm fx xxy yyt tt t tt fx xx t ttfy yyt tt 2.2.4 4.2.2互相关函数互相关函数 互相关函数的定义为互相关函数的定义为 互协方差函数定义为互协方差函数定义为 互相关函数与互协方差存在如下关系互相关函数与互协方差存在如下关系 1212 12 ( , )( ) ( ) ( , ; , ) XY XY Rt tE X t Y t xyfx y t t d

50、xdy 121122 1212 ( , )( )( )( ( )( ) ( )( )( , ; , ) XYXY XYXY Kt tE X tmtY tm t xmtym tfx y t t dxdy 121212 ( , )( , )( )( ) XYXYXY Kt tRt tmt m t 随机过程正交随机过程正交 随机过程的不相关随机过程的不相关 若果随机过程若果随机过程 则称随机过程则称随机过程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 为联合宽平稳为联合宽平稳 或宽平稳相依。或宽平稳相依。 宽平稳随机过程的互相关函数的性质：宽平稳随机过程的互相关函数的性质： 1 1、 121212

51、 ( , )0( , )( )( ) XYXYXY Rt tKt tmt m t 或 121212 ( , )0( , )( )( ) XYXYXY Kt tRt tmt m t 或 1212 ( , )( ) ( )( ) XYXY Rt tE X t Y tR ( )() ( )() XYYX XYYX RR KK 2 2、 3 3、 4 4、 归一化相关函数或标准互协方差函数归一化相关函数或标准互协方差函数 2 2 22 ( )(0)(0) ( )(0)(0) XYXY XYXYXY RRR KKK 22 1 ( )(0)(0) 2 11 ( )(0)(0)() 22 XYXY XYXY

52、XY RRR KKK ( )( ) ( ) (0)(0) XYXYXY XY XY XY KRm m r KK 时间互相关函数定义为时间互相关函数定义为 如果如果 称过程称过程 X(t) X(t) 和和 Y(t) Y(t) 具有联合宽遍历性。具有联合宽遍历性。 例题：设两个连续时间相位随机信号例题：设两个连续时间相位随机信号 其中其中 为常数，为常数， 在在 上均匀分布，上均匀分布， 求互协方差函数。求互协方差函数。 1 ( )( ) ()lim( ) () 2 T XY TT X t Y tX t Y tdt T ( )( ) XYXY R 00 ( )sin() , ( )cos()X t

53、tY tt 0 (, ) 作业四 设两个平稳随机过程 其中 是在 上均匀分布的随机变量。 试问这两个过程是否平稳相依？是否正交、 不相关、统计独立？说明之。 )tsin() t (Y)tcos() t (X )2 , 0( 2.2.5 5复随机过程复随机过程 2.2.5 5.1.1复随机变量复随机变量 复随机变量定义为复随机变量定义为 数字特征推广到复随机变量时必须遵循的原数字特征推广到复随机变量时必须遵循的原 则是：在特殊情况下，即当则是：在特殊情况下，即当Y Y0 0时，时，Z Z的数字特征的数字特征 应该等于随机变量应该等于随机变量X X的数字特征。的数字特征。 复随机变量的数学期望复随

54、机变量的数学期望 ZXjY ZXY mE ZE XjE Ymjm 复随机变量的方差复随机变量的方差 复随机变量复随机变量Z1Z1和和Z2Z2的相关矩的相关矩 两个随机变量独立两个随机变量独立 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 相互独立相互独立 222 22 | Z XY DD ZE ZE XY E XE YDD 12 121 21 221 * 121122 ()() () Z Z X XYYX YY X KE Z ZE XYXY KKj KK 12 1 21 12 2 12121122 ( ,)( ,)(,) X X YYX YX Y fx xy yfx yfxy 两个随机变量不相关两个随机变量不

55、相关 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 不相关不相关 两个随机变量正交两个随机变量正交 Z1 Z1 和和 Z2 Z2 正交正交 12 1122 ()()0 Z Z KE XYXY 12 * 12 0 Z Z RE Z Z 2.2.5 5.2.2复随机过程复随机过程 复随机过程的定义复随机过程的定义 其概率密度为其概率密度为 其数学期望为其数学期望为 其方差为其方差为 ( )( )( )Z tX tjY t 12121212 ( ,; , , , , ,) XYnnnn fx xxy yy t tt t tt ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Z XY mtE Z tE X tjE Y t

56、 mtjm t 222 22 ( ) ( )|( )| ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Z XY DtD Z tE Z tE X tY t E X tE Y tDtD t 其自相关函数为和协方差函数其自相关函数为和协方差函数 平稳复随机过程平稳复随机过程 * ( ,)( ) () Z Rt tE Zt Z t ( ,)( ) (0) ZXY ZZ Z mmjm Rt tR R * * ( ,)() ( ( )( ) ( ()() Z ZZ Kt tE Z Z t E Z tmtZ tmt 复平稳随机过程的互相关函数和互协方差函复平稳随机过程的互相关函数和互协方差函 数数 复平稳随机

57、过程的不相关复平稳随机过程的不相关 复平稳随机过程的正交复平稳随机过程的正交 12 * 12 ( ,)( )() Z Z Rt tE Zt Z t 12 * 12 ( ,)() Z Z Kt tE Z Z t 12 ( ,)0 Z Z Kt t 12 ( ,)0 Z Z Rt t 2.2.6 6正态随机过程正态随机过程 2.2.6 6.1.1正态随机过程的一般概念正态随机过程的一般概念 正态随机过程正态随机过程X(t)X(t)的的n n维概率密度为维概率密度为 式中式中 是是n n维向量，维向量， 是是n n维矩阵。维矩阵。 1212 ( ,; , ,) Xnn fx xx t tt X mK

58、 1 1/2 /2 ()()1 exp 2 (2 ) T XX n xmKxm K ( ,)()() ikXikiikkikik KKt tE XmXmr 11121 21222 12 n n nnnn KKK KKK K KKK 正态随机过程的正态随机过程的n n维概率密度只取决于其一、维概率密度只取决于其一、 二阶矩函数二阶矩函数数学期望和方差数学期望和方差 2.2.6 6.2.2平稳正态随机过程平稳正态随机过程 若若 此正态随机过程称为广义平稳随机过程。此正态随机过程称为广义平稳随机过程。 ( ,)() , ,1,2, (0) iX XikXk i k iki X mm Rt tR i

59、kn R n n维概率密度为维概率密度为 1212 2 11 ( ,; , ,) 11 exp()() 2 (2 ) Xnn nn ikiXkX nn ik X X fx xx t tt Rxmxm R R 11121121 21222212 1212 1 1 1 nn nn nnnnnn rrrrr rrrrr R rrrrr 2.2.6 6.3.3正态随机过程的性质正态随机过程的性质 1 1、正态随机过程的、正态随机过程的n n维概率密度完全取决于它的均维概率密度完全取决于它的均 值集合和协方差函数集合。值集合和协方差函数集合。 2 2、正态过程的宽平稳与严平稳等价。、正态过程的宽平稳与严

60、平稳等价。 3 3、如果正态随机过程、如果正态随机过程X(t)X(t)在在n n个不同时刻个不同时刻 采样，所得一组随机变量采样，所得一组随机变量 为两两互为两两互 不相关，即不相关，即 则，这些随机变量也是相互独立的。则，这些随机变量也是相互独立的。 12 , , n t tt 12 , n XXX ( ,)()()0 ikXikiikk KKt tE XmXm 证明：证明：X(t)X(t)的的n n维概率密度为维概率密度为 1212 2 2 1 12 ( ,; , ,) ()11 exp 2 (2 ) Xnn n ii n i i n fx xx t tt xm 2 2 1 ()11 ex