惯性元件ppt(1)

1、 第六讲第六讲 第三章第三章 惯性元件惯性元件陀螺仪与加速度计陀螺仪与加速度计 1 1，陀螺仪能测得载体的转角或角速度，陀螺仪能测得载体的转角或角速度， 2 2，加速度计能测得比力或加速度，加速度计能测得比力或加速度， 3 3，惯性元件；陀螺仪与加速度计惯性元件；陀螺仪与加速度计依据的都是惯性力 或惯性矩而且测量结果都是相对惯性空间的，所以 把陀螺仪和加速度计称作惯性元件惯性元件。 陀螺仪和加速度计是惯性导航系统中使用的核心元件， 它们的类型和品质直接影响惯性导航系统的构成和工 作特性。 31 转子陀螺仪力学基础转子陀螺仪力学基础 311 定点转动刚体的动量矩定点转动刚体的动量矩 动量矩；动量

2、矩；设质点i的质量为mi，速度为Vi，到某空间 点O的距离为ri,则该质点的动量mivi与距离ri的向量积向量积 为该质点对空间点O的动量矩动量矩Hi,即 如图31所示，动量矩是一个向量，其方向与动量矩是一个向量，其方向与ri、vi 构成的平面垂直，符合右手法则构成的平面垂直，符合右手法则。 对于绕固定点O转动的刚体，刚体内所有质点的动 量对点O的矩的总和，称为刚体对该点的动量矩称为刚体对该点的动量矩，以 H表示，用公式表达就是： iiii vmrH iii vmrH O i r i i v i H 质点动量矩 设刚体绕o点转动的瞬时角速度向量为则质点 的速度vi可表示成： 上式是一向量表达式

3、。以O点为坐标原点，建立一空 间直角坐标系0 xyz，可将上式表示为分量形式。 设直角坐标系Ozyz的三根轴上的单位向量分别为 i,j,k,向量H,ri,在Ozyz坐标系的表示分别为 ii rv )( iii rmrH kji zyx 运用向量叉乘计算法则，可求得： kHjHiHH kzjyixr zyx iii kzymzxmxym jzymyxmzxm izxmyxmzym rmrH yiiiziiiziii xiiixiiiyiii ziiiyiiixiii iii )( )( )( )( 22 22 22 iiizx iiiyz iiixy iiiz iiiy iiix zxmJ zy

4、mJ yxmJ xymJ zxmJ zymJ )( )( )( 22 22 22 显然，Jx,Jy,Jz分别是刚体对x轴、y轴、z轴的转动惯转动惯 量。量。 Jxy称为刚体对x轴和y轴的惯性积惯性积。 Jyz称为刚体对y轴和z轴的惯性积惯性积。 Jzx称为刚体对x轴和z轴的惯性积惯性积。 则有 yzyxxzzzz xyxzzyyyy zzxyxyxxx JJJH JJJH JJJH 形状对称的刚体，只要以其中心点为坐标系原点，选形状对称的刚体，只要以其中心点为坐标系原点，选 取使刚体对称的轴为坐标轴，则刚体的三个惯性积必取使刚体对称的轴为坐标轴，则刚体的三个惯性积必 然为然为0。这是因为在刚体

5、内任意一点(xi,yi,zi)，必然存 在另外7个对称点：(xi，yi，-zi)、(xi，-yi，-zi)、(xi，- yi，zi)、(-xi，yi,zi)、(-xi，yi，-zi)、(-xi,yi,-zi)、-xi,- yi,zi)，这8个点的惯性积之和为0，因此整个刚体的三 个惯性积必为0： 0 0 0 iiixz iiizy iiixy zxmJ yzmJ yxmJ 惯性主轴；选取坐标系惯性主轴；选取坐标系Oxyz使惯性积为零，则该坐标使惯性积为零，则该坐标 系的各轴就称为刚体的惯性主轴。系的各轴就称为刚体的惯性主轴。例如，对于圆柱形 刚体，将坐标原点选择在圆柱形刚体中心位置，圆柱 体中

6、轴线、过圆点且与中轴线垂直的任意两直线均为 惯性主轴。角动量；在转子陀螺的讨论中，常将转子角动量；在转子陀螺的讨论中，常将转子 具有的动量矩称为角动量具有的动量矩称为角动量，角动量的量纲为 对于小型陀螺而言，常用单位是克克厘米厘米2秒秒。 zzz yyy xxx JH JH JH 例 设转子的转动惯量J=398gcm2，转子的转速为 n=24000rmin，求转子的角动量。 解 转子的自转角速度为 角动量的大小为 方向沿转子自转角速度方向自转角速度方向。 srad n /27.2513 60 240002 60 2 scmgJH/1027.2513398 26 31。2动量矩定理 式(312)

7、两侧对时间求导： 上面的推导中，利用了 为作用在质点i上 的力， 为作用在刚体上各个质点的 外力矩总和，也就是合外力矩。将等式 称为转动刚体的动量矩定理称为转动刚体的动量矩定理 M dt dH MFam iii , MFramr dt dv mrvmv dt dv mrvm dt dr vmr dt d dt dH iiiii i iiiii i iiii i iii dH/dt就是动量矩H的矢端速度VH，因此有 动量矩定理也可以描述成：刚体对固定点动量矩定理也可以描述成：刚体对固定点O 的动量矩的动量矩末端的速度末端的速度，等于作用于刚体的外，等于作用于刚体的外 力对固定点的总力矩，式力对固

8、定点的总力矩，式(3111)也称为也称为 莱查定理莱查定理。 MvH 32 陀螺仪基本特性陀螺仪基本特性 321 陀螺仪的一般原理结构陀螺仪的一般原理结构 陀螺仪的一般原理结构如图32所示， 1，陀螺仪组成，陀螺仪组成；由陀螺转子、内环、外环及基座组成。 2，陀螺主轴或自转轴陀螺主轴或自转轴；转子由内环支承，可高速转动， 转子的转动轴称为陀螺主轴或自转轴转子的转动轴称为陀螺主轴或自转轴。 3，转动方式；转动方式；内环通过内环轴支承在外环上，可相对 外环转动。外环通过外环轴支承在基座上，可绕外环 轴相对基座转动。 4，支点；，支点；陀螺仪的主轴、内环轴、外环轴相交于一点， 该点称为陀螺仪的支点支

9、点。 5，二自由度陀螺仪；，二自由度陀螺仪；图32所示的陀螺仪，其主轴 的指向可随内环绕内环轴的转动及外环绕外环轴的转 动而改变，具有两个转动自由度。这种陀螺仪就称为 二自由度陀螺仪二自由度陀螺仪。 注意注意，这里所说的自由度是指陀螺仪主轴的转动自由 度，而不是转子的转动自由度而不是转子的转动自由度，因转子还可绕自转轴 转动，故有三个转动自由度。 6，单自由度陀螺仪；，单自由度陀螺仪；若将二自由度陀螺仪的外环去掉， 内环直接固定在基座上，则陀螺主轴只有一个自由度 了，这样的陀螺仪称为单自由度陀螺仪单自由度陀螺仪，如图33所 示。 工程上常用的陀螺仪转子支承方式是多种多样的，为 减小作用在陀螺上

10、的有害力矩，特别是摩擦力矩，人 们想出了许多办法，如液浮、气浮、磁悬浮、静电如液浮、气浮、磁悬浮、静电 支承、挠性支承等方式，因而陀螺仪有很多种类支承、挠性支承等方式，因而陀螺仪有很多种类。 一般来说，陀螺仪都有高速转动的转子，主轴有一个 或两个转动自由度。随着科学技术的发展进步，如今 又出现了一些没有转子的新型陀螺仪，如激光陀螺、如激光陀螺、 振动陀螺、粒子陀螺等，这些陀螺虽然没有转子，振动陀螺、粒子陀螺等，这些陀螺虽然没有转子， 但具备陀螺仪的一些特性，能够当成“陀螺”来使用， 因而也称为陀螺仪。 第七讲第七讲 322 二自由度陀螺仪的运动特性二自由度陀螺仪的运动特性 1定轴性定轴性 图3

11、2中，假如陀螺仪的转子没有转动转子没有转动，缓慢转动 基座时，由于框架轴承存在摩擦，转子和内外环就随 着基座一起转动，陀螺仪主轴不具备指向性。陀螺仪主轴不具备指向性。 当陀螺转子绕主轴高速转动后，陀螺转子具备了较 大的动量矩H，根据动量矩定理，当陀螺转子所受的 合外力矩M=0时，动量矩动量矩H相对惯性空间保持恒定不相对惯性空间保持恒定不 变，即转子自转轴指向相对惯性空间恒定不变，主轴变，即转子自转轴指向相对惯性空间恒定不变，主轴 的指向就会保持在其初始方向上，不随基座转动而改的指向就会保持在其初始方向上，不随基座转动而改 变。变。若陀螺受瞬时的冲击力矩，陀螺自转轴将在原位 附近绕其平衡位置作幅

12、度微小的高频摆动，不会顺着 冲击力矩的方向转动，这就是陀螺仪定轴性定轴性的表现 2进动性进动性 当二自由度陀螺仪的转子高速旋转时，若转子受到 绕内环轴方向内环轴方向的外力矩M作用，陀螺主轴将绕外环轴转 动；反之，若转子受到绕外环轴方向的外力矩作用外环轴方向的外力矩作用， 陀螺主轴将绕内环轴转动。陀螺主轴的转动方向与外陀螺主轴的转动方向与外 力矩的作用方向相垂直，这种奇特现象称为陀螺仪的力矩的作用方向相垂直，这种奇特现象称为陀螺仪的 进动性。陀螺主轴绕与外力矩作用方向相垂直的方向进动性。陀螺主轴绕与外力矩作用方向相垂直的方向 的转动运动称为陀螺仪的进动运动，简称进动。的转动运动称为陀螺仪的进动运

13、动，简称进动。 根据莱查定理，陀螺转子角动量的矢端速度矢端速度vH取决 于施加给陀螺的外部力矩M： MvH r M M H V H E上式说明角动量的矢端 速度大小等于 MM 方向平行于M 由于矢端速度存在， 所以H 绕支点O旋转，转子绕O点作旋转运动，即 陀螺发生进动，设陀螺进动角速度为 H M H VH O 由于是由于矢端速度运动引起 的垂直和所在平面，所以 位于的方向上，该方向上的单位矢量 为 H V MH MH MH u 因此 2 90sinH MH HM MH H M u 上式两边叉乘 H 2 )( H HMH H acbbcacba)()()( 因 MHMHMH H HHMMHH

14、H H )90cos0cos( 1 )() 1 2 2 2 得 用陀螺动量矩H在惯性空间的转动角速度来表示 H的矢端速度vH则有 式中，是H相对惯性空间的进动角速度，该式表示 了进动角速度与动量矩H及外力矩M之间的关系。 图3-4(a)、(b)分别给出了沿内环轴方向施加力矩 和沿外环轴方向施加力矩时陀螺转子的进动情况。 进动时，动量矩的方向总是沿捷径方向向外力矩方动量矩的方向总是沿捷径方向向外力矩方 向靠拢向靠拢 MH HvH 3陀螺力矩陀螺力矩 根据牛顿第三定律，当外界施加力矩使陀螺仪进动时、根据牛顿第三定律，当外界施加力矩使陀螺仪进动时、 陀螺仪必然存在反作用力矩，其大小与外加力矩大小相陀

15、螺仪必然存在反作用力矩，其大小与外加力矩大小相 等，方向则相反，并且作用在施加力矩的那个物体上等，方向则相反，并且作用在施加力矩的那个物体上。 陀螺进动时的反作用力矩通常称为陀螺进动时的反作用力矩通常称为“陀螺力矩陀螺力矩”。由于 外力矩M与其造成的陀螺进动角速度陀螺的角H动量 符合规律： 陀螺力矩Mr，显然为 上式的含义有两个方面：陀螺力矩的方向与向量陀螺力矩的方向与向量H和和 所在乎面垂直；陀螺力矩的大为所在乎面垂直；陀螺力矩的大为 ，k 为为H及及之间的夹角之间的夹角 HHMM r MH KHM r sin 陀螺力矩实际上是一种由惯性力产生的惯性力矩由惯性力产生的惯性力矩。当陀螺当陀螺

16、仪转子绕不平行于主轴的其他轴进动时，陀螺转子内的各仪转子绕不平行于主轴的其他轴进动时，陀螺转子内的各 个质点都有哥氏加速度个质点都有哥氏加速度。有哥氏加速度，就有惯性力有哥氏加速度，就有惯性力，相相 对支点中心，就有惯性力矩，陀螺转子各个质点惯性矩的对支点中心，就有惯性力矩，陀螺转子各个质点惯性矩的 合成就是陀螺力矩。合成就是陀螺力矩。 参看图35，陀螺转子可以认为是由各个质点组成的。 陀螺转子高速旋转的同时，假定转子绕内环轴有转动角速 度x,此时陀螺转子的各个质点都有哥氏加速度。图中画 出了某一瞬间转子有代表性的A、B、C、D四个质点的哥 氏加速度方向，以A点为例：转子旋转造成质点A有一个

17、切向速度，同时随整个转子一起绕内环轴转动，按照哥氏 加速度公式 其方向在图中是离开纸面。B点的 哥氏加速度方向与A相同，而C、D两个的哥氏加速度方向 与A、B相反。容易看出，图中y轴上方的所有质点的哥氏 加速度都是离开纸面，而y轴下方的所有质点的哥氏加速 度都是进入纸面。 与哥氏加速度对应的惯性力的方向与哥氏加速度相反与哥氏加速度对应的惯性力的方向与哥氏加速度相反 Fi=-mai。各个质点对y轴形成的力矩合成起来就是陀 螺力矩Mry，在y轴负向。 4二自由度陀螺仪进动的物理过程 如图36(a)所示，建立环架坐标系Ozyz，x轴为陀螺 仪内环轴，y轴为外环轴，z轴与x、y轴垂直，构成右手正 交坐

18、标系。 首先分析当内环轴有干扰力矩Mx作用时，陀螺仪是如 何运动的。如图36(b)所示，假定干扰力矩Mx作用于内 环轴x的正向。在Mx作用下，陀螺转子连同内环会顺着 外力矩Mx方向形成角加速度 并形成绕内环轴x正向的 转动角速度 于是陀螺转子除自转外，还有牵连运动还有牵连运动，根 据哥氏加速度的产生原理可知，此时陀螺仪转子上的各个 质点都具有哥氏加速度，各质点均受到哥氏惯性力的用， 形成绕外环轴绕外环轴y的陀螺力矩的陀螺力矩 其方向在外环轴y的正向。研究物体在非惯性系中的转动 运动时，必须认为物体受到两种力矩的作用：一是其他物一是其他物 体对该物体的作用力矩；二是由非惯性系的牵连运动而体对该物体的作用力矩；二是由非惯性系的牵连运动而 x 引起的惯性力矩引起的惯性力矩。陀螺力矩是由于内环转动引起一种 惯性力矩，研究陀螺转子相对外环的转动时，应作为研究陀螺转子相对外环的转动时，应作为 主动力矩对待主动力矩对待。由于此陀螺力矩的作用，陀螺转子会 绕外环轴y进动，记此进动角加速度为 产生的角速 度为 由于此角速度的方向在y轴正向上，不与陀螺 主轴平行，也会产生哥氏加速度，由此引起的陀螺力 矩 在x轴负向。显然，Mrx的方向是 与外力F产生的力矩Mx的方向相反的，这使得引起陀 螺转子及内环绕内环