第五章傅立叶变换应用于通信系统

1、 第五章第五章 傅里叶变换应用傅里叶变换应用 于通信系统于通信系统-滤滤 波、调制与抽样波、调制与抽样 本章的主要内容本章的主要内容 本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几 个主要方面个主要方面滤波、调制和抽样滤波、调制和抽样。 n 系统函数系统函数H(j)及傅里叶变换分析法；及傅里叶变换分析法； n 包括无失真传输条件；包括无失真传输条件； n 理想低通滤波器模型；理想低通滤波器模型； n 系统的物理可实现条件；系统的物理可实现条件； n 调制解调的原理与实现；调制解调的原理与实现； n 带通系统的运用；带通系统的运用； n 抽样信号的传

2、输与恢复。抽样信号的传输与恢复。 第一节 引言 则根据卷积定理有则根据卷积定理有 te tr E R th H )(j)(j)(j HER )(j )(j )(j E R H 所所以以 一一.傅里叶变换形式的系统函数傅里叶变换形式的系统函数 设设 ),()( Ete若若)(j E或或 ),()( Rtr )(j R或或 ),()( Hth )(j H或或 ( )( )( )r te th t 系统的响应：系统的响应： 一、傅里叶变换形式的系统函数一、傅里叶变换形式的系统函数 ()()HjjRjE则 ()( )(: def HtjH jh系统函数F 对于稳定系统对于稳定系统 j j s HH s

3、 )(j e)(j)(j HH 系统频率响应特性系统频率响应特性 ：系系统统的的幅幅频频特特性性 )(jH )(：相频特性：相频特性 区分：时域系统函数时域系统函数h(th(t) ) 频域系统函数频域系统函数H(jwH(jw) ) 复频域系统函数复频域系统函数H(sH(s) ) 二、系统函数的物理意义二、系统函数的物理意义 1 1）系统可以看作是一个信号处）系统可以看作是一个信号处 理器理器 激励激励：E(j ) 响应：响应：H(j )E(j ) )(j e e)(j)(j EE )(j h e)(j)(j HH )(j)(j)(j HER )()()( her 加加权权由由 的的幅幅度度 )

4、( )( H E 修修正正由由 的的相相位位 E 对信号各频率分对信号各频率分 量进行加权量进行加权 2）物理意义： () ()()() Hj H jE jR j 系统功能对信号各频率分量进行加权， 加权函数激励 ,在在线线性性时时不不变变系系统统的的分分析析中中 无无论论时时域域, ,频频域域, ,复复频频域域 的的方方法法都都可可按按信信号号分分解解, ,求求响响应应再再叠叠加加的的原原则则来来处处理理. . 系统对信号起滤波的作用，因此又叫滤波器。系统对信号起滤波的作用，因此又叫滤波器。 3）存在问题： ( )H s 傅傅立立叶叶分分析析求求逆逆变变换换过过程程较较烦烦琐琐， 求求解解非

5、非周周期期信信号号作作用用的的响响应应时时宜宜用用 2 1 1 )(j H arctan)( )632sin( 5 1 t :3sint )723sin( 10 1 t )45sin( 2 1 t 例例5-1-15-1-1 ? 3sin,2sin,sin j1 1 j 输输出出为为多多少少 时时的的当当输输入入分分别别为为若若tttH sin :1t :2sint 响应响应1 |()|, ( )45 2 H j 第二节 利用系统函数 H(jw)求响应 一、利用系统函数H(jw)求响应 o 当H(s)在虚轴上及右半平面无极点时,才存在: ()( )( ) sjw FtjHhsH ()( )H j

6、h t求反变换为系统冲激响应才能直接将. ti tv C ( )( )tv th t 当当输输入入为为时时，求求出出即即 11 ( )( )( )d( ) t h tv ti ttu t CC 1 ( )( )H sh t sC L L 例：例： 1 ()( ) sj H jH s j C 利用利用H(sH(s) )求稳态响应，则有求稳态响应，则有 11 (j)( ) j Hh t C F F 例例5-1 举例举例5.2:5.2: )( )( 2 1 tu tuRC 利用傅立叶分析法求 如图所示矩形脉冲低通网络，输入如图所示 1( ) u t t 0 E 输入信号波形 R C1( ) u t

7、RC低通网络 2( ) u t 2 1 11 ( ) ( ) 11 ( ) V s sCRC H s V s Rs sCRC 解： RC j RC sHjH js 1 1 )()( （稳定系统） 举例举例5.2:5.2: 1 ,()H j RCj 令 0 ()H j w 1( ) ( )()u tE u tu t由图 1( )( )( ) jj EE V jEEee jj (1) j E e j 举例举例5.2:5.2: 222 1 () jjj E Vjeee j 2 () 2 j E Sae 1（）频谱分析 21 ()()()VjH jV j又 举例举例5.2:5.2: 1( ) u t

8、t 0 E 输入信号波形 2( ) 2 22 () 2 j jw VjE SaeVje j 举例举例5.2:5.2: 2 22 2sin 2 w E Vj 2 42(21) 2 2(21)2(22) 2 0, 1, 2, wwnn arctgw a wwnn arctgw a n 2 2 22 2sin 2 () 1 E Vj RC R C O jH O j 1 V E O j 2 V 1 22 1( )() 2 VjE Sa 输输入入信信号号的的频频谱谱的的高高频频分分量量比比起起低低频频分分量量受受到到较较严严重重的的衰衰减减 举例举例5.2: ti tv C (2）求响应 举例举例5.2

9、:5.2: 2 11 ()(1)()(1) 1 (1)(1) jwjw jwjw E VjeEe jw jwjwjw E Eee jwjw 1 (1)( )() j E eE u tu t j 又 F 1 ( ) t E Eeu t j F () 2( ) ( )()( )() tt u tE u tu tE eu teu t 11 () 1( )1() tt RCRC Eeu tEeu t 举例举例5.2:5.2: 2( ) u t 0t 输出信号的失真波形 E 1( ) u t t 0 E 输入信号波形 0, , : () tt H jw 输出信号的波形与输入信号相比产生了失真, 这表现在

10、输出波形上升和下降特性上. 输入信号在时刻急剧上升 在时刻急剧下降 意味着 有很高的频高分量. 由于系统为低通滤波器,不允许高频分量通过, 输出电 急剧变化 矩形脉冲压不能迅速变化,于是不再表现为, 而是以指数规律逐渐上升和下降. 举例举例5.2:5.2: ,RC如果减少时间常数 则此低通带宽增加 允许更多的高频分量通过, 响应信号 系统函数相位 波形的上升,下降时间就要缩短. 也会影响响应特性波形的变化. 举例举例5.2:5.2: 0 ()H j w 作业 n P314，5-1 第三节 无失真传输 一、信号失真原因一、信号失真原因 一一般般情情况况下下, ,系系统统响响应应波波形形与与激激励

11、励波波形形不不相相同同. . 即即信信号号在在传传输输过过程程中中产产生生失失真真. . 线性系统引起的信号失真有两方面因素: 系统各频率幅度不同程度的衰对信号中分量产生, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, (1） 即引入 幅度失真. 减 幅度失真. 信号失真原因信号失真原因 对对信信号号中中分分量量产产生生相相移移不不与与频频率率成成正正比比, , 使使响响应应各各频频率率分分量量在在时时间间轴轴上上的的相相对对相相对对位位置置产产 系系 生生 统统各各 变变化化 ( (2 2）相相 , , 即即引引入入 频频 相相 位位失失真真 率率 . . 位位失失真真. . 线性系统线性系统的幅度

12、失真与相位失真都不产生新的频率不产生新的频率 分量。 非线性系统非线性系统：由于非线性特性对所传输信号产生非 线性失真。非线性失真可能产生新的频率分量非线性失真可能产生新的频率分量。 信号失真原因信号失真原因 信号的失真信号的失真有有正反正反两方面：两方面： （1）如果有意识地利用系统进行）如果有意识地利用系统进行波形变换波形变换，则要，则要 求求信号信号经系统经系统必然必然产生产生失真失真。 （2）如果要进行原）如果要进行原信号的传输信号的传输，则要求传输过程，则要求传输过程 中信号失真最小，即要研究中信号失真最小，即要研究无失真传输无失真传输的条件。的条件。 二、信号无失真传输的概念二、信

13、号无失真传输的概念 （即时域波形传输不变）（即时域波形传输不变） 0 ()( )Kerttt 而波形不变 大小和出现时间不同 响应信号激励信号 即 0 0 ( )( ) Kt r te tt 是是一一常常数数， 为为滞滞后后时时间间。 满满足足无无失失真真条条件件时时，波波形形是是波波形形经经 时时间间的的滞滞后后。 0 () jwt HjwKe 线性网络 ( )e t t ( )r t t 0 t 三、信号无失真传输的条件三、信号无失真传输的条件 （对系统提出的要求）（对系统提出的要求） 1)无失真传输条件（1）：（频域角度 ( )(),( )(),( )()e tE jr tR jh tH

14、 j设 0 () () () tj R j e E H j jK 则 即即 为为 满满 足足 信信 号号 无无 失失 真真 传传 输输 ， 对对 系系 统统 的的 频频 率率 响响 应应 特特 性性 提提 出出 的的 无无 失失 真真 传传 输输 条条 件件 。 0 () K t 保保证证 即即要要求求系系统统的的特特性性为为常常数数； 为为一一通通过过原原点点的的 幅幅 直直线线。 幅幅度度无无失失真真 频频响响 ；相相 应应 相相频频响响应应 位位无无失失真真 )无失真传输条(2）（时2域角度件 信号无失真传输的条件信号无失真传输的条件 ( )()h tH j 设 F 0 ()tKth t

15、则 即要求系统的冲激响应仍为冲激函数 0 (j ) : HK t 即即 频谱图频谱图 几点认识：几点认识： 要求幅度为与频率无关的常数要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为，系统的通频带为 无限宽。无限宽。 相位特性与相位特性与 成正比，是一条过原点的负斜率直线。成正比，是一条过原点的负斜率直线。 不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。 相位特性为什么与频率成正比关系？ 0 j 0 (j )e t HKKtth t 只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延 迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真

16、。迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 延迟时间延迟时间t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0 d d t 群时延群时延 或称群延时或称群延时 d d 在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的 群时延特性应为常数。群时延特性应为常数。 ( ) ( ) dw dw w 相相位位特特性性相相比比 实实际际中中，传传输输系系统统为为负负值值，因因而而 为为正正值值。 用用 与与直直接接用用描描述述 用用群群时时延延间间接接表表达达相相位位特特性性的的好好处处是是便便于于 而而且且有有助助于于理理解解调调幅幅传传输输过过程程的的 ： 实实际际

17、测测量量， 波波形形变变化化。 特性描述相位群时延无传真： ( ) def d C d 常数 四、群时延概念四、群时延概念 ( )( )()r tr tR j设欲得输出波形， 1 ()(, ( ) ( )( () ) (R jtH h trH je t tj 则使 即 可获取 F 五、特定波形的形成五、特定波形的形成 实际应用中，有意识地利用系统引起失真来形实际应用中，有意识地利用系统引起失真来形 成成某种特定某种特定波形。波形。 这时，系统传输函数则应根据所需要求进行设计。这时，系统传输函数则应根据所需要求进行设计。 例子例子1：利用：利用冲激信号冲激信号作用于系统产生某种特定作用于系统产生

18、某种特定 的波形的方法。的波形的方法。 2 1 cos()() 22 0( tt t 底宽为 的升余弦脉冲的表达式为 E r(t)= 2 为其他值) 2 sin() 1 2 1 2 2 w w w 其 频 谱 为 : E R(jw)= 2 例子例子2 2 2 ()() sin() 1 2 2 1 2 2 HjwR jw w E w w 取取系系统统函函数数 即即此此系系统统在在的的作作用用下下, ,即即产产生生升升余余弦弦脉脉冲冲冲冲激激信信号号的的输输出出. . 例子例子2 2 0 ( )r t t 4 2 E 2 E 0 ()R j w w 2 4 6 2 E , ()(). : ( )

19、( ) Hj r t ww t 实实际际应应用用中中波波形形无无法法实实现现 用用信信号号来来实实现现, , 所所以以, ,输输出出信信号号基基本本上上可可近近似似为为升升余余弦弦函函数数. . 此此外外, ,实实际际实实现现时时 波波形形 函函数数 窄窄脉脉 还还会会包包含含一一 在在时时 定定的的 间间上上 相相移移 意意味味 冲冲 会会滞滞后后. . 例子例子2 2 0 ( )r t t 4 2 E 2 E 2 4 6 0 ()Hj w w 2 E ( ) t 0 ( )r t t 4 2 E 2 E 作业 o P310 5-2 第四节第四节 理想低通滤波器理想低通滤波器 理想低通的频率

20、特性理想低通的频率特性 理想低通的冲激响应理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 理想低通对矩形脉冲的响应理想低通对矩形脉冲的响应 理想低通滤波器频域特性理想低通滤波器频域特性 0 j c c 1 e j 0 t H c c O )(j H 1 的低频段内，传输信号无失真的低频段内，传输信号无失真 ( ) 。 c 0 在在 0 t只只有有时时移移 为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简 称频带。称频带。 c 0 t 即即 c c 1 j 0 H O c c ( )(j)h tH 因因为为 1j 1 ( )(j)(j)ed 2 t

21、h tHH 所所以以F F c 0 0c c c jj() 0 111 1 ede 22 j t tt t tt 一理想低通的冲激响应一理想低通的冲激响应 0 jj 1 1 eed 2 c c tt c0c0 jj 0 111 ee 2j t tt t tt c0 c c0 sin tt tt c c0 Sa tt 一、一、 理想低通的冲激响应理想低通的冲激响应 0 t t 激励在时刻加入， 而响应在负 值已出现 即网络可预测激励函数 （实际无法实现） 0 ( )h t t c w 0 tt 理想低通滤波器的冲激响应波形 0 ()()( c c w F HjwSa wh ttt ( ) t 0

22、 t 1 1比较输入输出，可见严重失真；比较输入输出，可见严重失真； 2 2理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统 几点认识几点认识 信号频带无限宽信号频带无限宽， 1t 而理想低通的通频带而理想低通的通频带( (系统频带系统频带) )有限的有限的 c 0 系统为全通网络，可以系统为全通网络，可以 无失真传输无失真传输。 c 当当时时，( )( )h tt 当当 经过理想低通时，经过理想低通时， 以上的频率成分都衰以上的频率成分都衰 减为减为0，所以失真。，所以失真。 t c (4) 理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系 0 1 )(jH c c

23、0 1 )(jH c c 0 1 )(jH )(th t 0 )( d tt d t )(th t c 2 0 d t )(th t c 20 d t 如如果果具具有有跃跃变变不不连连续续点点的的信信号号通通过过低低通通滤滤波波器器传传输输, , 则则 因因为为信信号号随随时时间间信信号号的的, , 不不连连续续点点在在输输出出将将被被圆圆滑滑 而而较较平平坦坦的的信信号号则则主主要要包包 急急剧剧改改变变, ,意意 含含低低频频分分量量, , 味味着着包包含含许许多多 低低通通滤滤波波器器滤滤 高高频频 除除了了 , ,产产 一一些些 分分 高高 生生渐渐变变. . 量量 频频分分量量. .

24、 二、二、 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 1( ) u t t 0 E 输入信号波形 2( ) ut 0t 输出信号的失真波形 E 低通滤波器 0 1 ()() ()( ) jwt cc R jH jE jwewww jw 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 ( 1 ( ) FT w j u w t 阶跃信号 0 ( ) 0 jw t FTcc ewww h t w 系统 为其他值 利用逆变换的方法求得阶跃响应. 响应响应)()()(thtutr 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 0 1 11 ()( )( ) 2 c c jwtjwt R jweedw jw r t F W的奇

25、函数 积分=0 W的偶函数 积分有值 0 () 11 22 c c jw t t e dw jw 00 cos()sin()111 222 cc cc w ttw tt dwdw jww 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 0 0 () 0 0 sin()11 22 11sin ( ( ) ) 2 c c c t t w tt dw w x dxx r t w tt x 其中引入 sin :. x x 函数的积分称为正弦Si(y积分 以符号)表示. 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 0 sin ( ) , ,0, . 2 , 2 sin y x Si ydx x y y x x 它是 的

26、奇函数 随着 值增加 从 增长 以后围绕起伏 起伏逐渐衰减而趋于 各极点值与函数的零点对应. 最大值出现在最大值出现在 最小值出现在最小值出现在 x x x xsin x 1 O 234 ySi y O 2 2 0 11 () 2 ( ) c r tStit 21 , r c t B 响响应应由由最最小小值值升升至至最最大大值值所所需需时时间间 即即滤滤波波器器阶阶跃跃响响应应上上升升时时间间与与带带宽宽不不能能同同时时减减少少 对对不不同同的的滤滤波波器器二二者者之之乘乘积积取取不不同同的的常常数数值值, , 且且它它具具有有下下限限, ,即即为为 测测不不准准原原理理 理想低通的阶跃响应理

27、想低通的阶跃响应 ( )u t t 0 1 输 入 信 号 波 形 ( )r t 1 1 2 0 r t t c w c w 0 t 可可知知: : 和和滤滤波波器器成成. . 截截止止频频率率越越低低, ,在在输输出出 上上升升 端端信信 时时间间截截止止 号号上上升升 频频率率反反比比 越越缓缓慢慢. . 21 r c t B 响响应应由由最最小小值值升升至至最最大大值值所所需需时时间间 即即上上升升时时间间与与系系统统的的截截止止频频率率或或带带宽宽成成反反比比 理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 ( ):u t阶阶跃跃信信号号作作用用于于理理想想低低通通滤滤波波器器时时, ,在在输输

28、出出端端也也呈呈现现 逐逐渐渐上上升升的的波波形形, ,不不再再像像输输入入信信号号那那样样急急剧剧上上升升. . 上上升升时时间间截截止止频频率率 通通过过求求阶阶跃跃响响应应, ,可可以以证证明明: : 和和滤滤波波器器成成. . 截截止止频频率率越越低低, ,在在输输出出端端信信号号上上 反反比比 升升越越缓缓慢慢. . 2 2 c c 当当脉脉宽宽时时，响响应应大大体体为为矩矩形形; ; 当当脉脉宽宽时时，响响应应波波形形失失真真严严重重 11 00 ()() () 1 () ) ) : ( ( cc R jH jE jr t SitttSit 响应为FF 三、三、 理想低通对矩形脉冲

29、响应理想低通对矩形脉冲响应 ( )r t 1 1 2 0 0 t t 0 2 t 0 t 矩形脉冲通过理想低通滤波器 利利用用上上面面阶阶跃跃响响应应的的结结果果, ,可可得得理理想想低低通通对对矩矩形形脉脉冲冲的的响响应应. . 设设激激励励信信号号为为矩矩形形脉脉冲冲的的表表示示式式为为: : ( )( )- ( - )e tu tu t ( )e t t 0 1 输入信号波形 ：波波形形经经傅傅立立叶叶级级数数分分解解后后取取 有有限限级级数数相相加加 周周 可可 期期信信 以以逼逼 吉吉布布 近近 号号斯斯现现象象 原原信信号号。 对对于于具具不不连连续续点点的的波波形形所所取取项项数

30、数越越多多， 近近似似波波形形的的方方均均误误差差虽虽可可减减少少； 但但不不能能减减少少跳跳变变处处的的峰峰起起值值； 且且此此峰峰起起向向跳跳变变点点靠靠近近； 趋趋近近于于总总跳跳变变值值峰峰起起值值的的。 四、四、理想低通理想低通对矩形脉冲响应产生吉布斯现象对矩形脉冲响应产生吉布斯现象 max ( )1.0895 8.95% 9% cr r t t 阶阶跃跃响响应应出出现现现现象象 即即第第一一峰峰起起上上冲冲约约为为跳跳变变值值 当当时时，但但仍仍维维持持上上冲冲强强度度； 响响应应波波形形改改善善 理想低通的理想低通的吉布斯现象吉布斯现象 对对于于: :当当输输入入矩矩形形脉脉冲冲

31、信信号号时时, , 其其输输出出也也会会出出现现吉吉 理理想想低低通通系系统统 布布斯斯现现象象. . 理想低通的理想低通的吉布斯现象吉布斯现象 ( )e t t 0 1 2 1 输 入 信 号 波 形 1 2 0 ( )E w w 1 426 其频谱为 理想低通滤波器通过 )H w（ w 0 4 1 4 ( )r t 1 2 0 1 t 8.95% 矩形脉冲通过理想低通滤波器 1 2 输出波形 理想低通的理想低通的吉布斯现象吉布斯现象 )H w（ w 08 1 8 输出波形 理想低通滤波器通过 8.95% t ( )r t 0 1 2 1 2 1 c w当当，允允许许激激励励信信号号的的更更

32、多多高高频频成成分分通通过过网网络络， 于于是是 加加大大低低通通网网络络 ，响响应应 的的带带宽宽 波波形形改改善善。 矩矩形形脉脉冲冲经经过过低低通通滤滤波波器器，相相当当于于对对矩矩形形脉脉冲冲信信号号的的。 只只能能看看到到“窗窗口口”内内的的部部分分频频率率分分量量。在在“窗窗口口”的的不不连连续续处处 必必然然存存在在时时域域脉脉冲冲的的改改变变“窗窗口口”的的形形状状，上上减减 频频谱谱加加 少少上上冲冲冲冲。通通过过 窗窗 的的幅幅度度。 作业 o P310 5-6，5-9， 第五节第五节 系统的物理可实现 性/佩利-维纳准则 理想低通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想理想低

33、通滤波器在物理上是不可实现的，近似理想 低通滤波器的实例低通滤波器的实例 )( 1 tvCR L )( 2 tv LCC L R 1 c 时时，且且令令 一一种可实现的低通一一种可实现的低通 1 jH O c c 可实现的低通可实现的低通 近似理想低通滤波器的实例近似理想低通滤波器的实例 )( 1 tvCR L )( 2 tv 网络传递函数网络传递函数 L R C 2 2 1 1 1 j j1 j 1 j j1j 1 j C V R H L V LLC R C R c 1 , L R CLC 注注意意到到，并并引引入入符符号号则则 j 22 2 3 1 jje 3 3 1jj c c c c

34、cc HH c 2 2 22 c cc 1 j arctan 1 1 H 波形及频谱图波形及频谱图 Ot th c c 2 O c c 2 2 1 jH O c c tth t c 2 c 2 3 sine 3 2 )( c 响应是从响应是从t=0开始，开始， 是一个是一个可实现可实现的网络。的网络。 二、 系统的物理可实现性因果性系统的物理可实现性因果性 0 ( )0 ( ) t h t h t 因因果果条条件件 时时域域特特性性 ：物物理理可可实实现现网网络络的的冲冲激激响响应应 即即波波形形的的出出现现须须有有起起因因 在在物物理理上上不不可可实实现现理理想想低低通通、带带通通、高高通通

35、、带带阻阻滤滤波波器器的的。 究究竟竟怎怎样样的的系系统统数数学学模模型型可可以以在在物物理理上上可可实实现现？ 怎怎样样的的情情况况又又是是不不可可实实现现的的？ 找找出出区区分分可可实实现现特特性性与与不不可可实实现现特特性性的的标标准准。 2 )Hjwdw 从从看看 ： 如如 果果 H H( (j jw w) )满满 足足 平平 方方 可可 积积 条条 （ 件件 ， 即即 ：频频 域域 特特 性性 二、佩利佩利- -维纳准则维纳准则 2 ln() 1 H j d ：物物理理可可实实现现网网络络的的幅幅度度函函数数 佩佩利利维维纳纳准准则则 频频域域特特为为性性必必要要条条件件 不不满满足

36、足此此准准则则的的幅幅度度函函数数， 该该网网络络的的冲冲激激响响应应是是的的， 即即响响应应先先于于冲冲激激 无无起起因因 激激励励出出现现。 三、对于物理可实现系统的具体表现对于物理可实现系统的具体表现 () () Hj Hj 仅仅允允许许特特性性在在某某些些不不连连续续的的频频率率点点上上为为零零 有有 ； 即即不不允允许许限限频频带带在在一一个个内内为为零零。 ()( )()H jH j ：满满足足佩佩利利维维纳纳准准则则物物、理理可可实实现现适适当当 ( ln() )Hj Hj 若若系系统统函函数数幅幅度度特特性性在在某某一一限限定定的的频频带带内内为为零零， 也也即即： = =0

37、0 这这时时，于于是是积积, ,分分不不收收敛敛。 例子 2 ) w H we 研研究究：具具有有（钟钟形形）幅幅度度特特性性之之网网络络函函数数的的物物理理可可实实现现性性。 高高斯斯函函数数的的幅幅度度特特性性为为： （ 高高斯斯函函数数 证证：具具有有高高斯斯函函数数（钟钟形形）其其频频谱谱也也为为钟钟形形的的时时间间信信号号。 在在处处已已经经t t= =- -非非因因果果开开始始出出现现，因因而而，此此系系统统是是性性的的， 可可用用佩佩利利 维维纳纳准准则则来来检检验验。 例子 2 2 222 2 ln () ln() 111 1 (1)lim(arctan) 1 lim 2(ar

38、ctan) 2(lim) 2 w B B B B B e H j w ddd dww BB B 此此积积分分，因因而而幅幅度度特特性性呈呈高高斯斯函函数数的的网网络络是是不不可可不不收收敛敛实实现现的的。 总结 1 1、对对于于构构成成的的幅幅度度特特性性, ,满满足足佩佩利利有有理理多多项项- -维维式式函函数数纳纳准准则则. . 2 2、佩佩利利- -维维纳纳准准则则限限制制了了衰衰幅幅度度特特性性的的减减速速度度. . 3 3、佩佩利利- -维维纳纳准准则则只只从从提提出出要要求求幅幅度度特特性性 相相位位特特性性 , , 而而在在方方面面却却没没有有给给出出约约束束. . () ()

39、H jw H jw 4 4、佩佩利利- -维维纳纳准准则则是是系系统统物物理理可可实实现现的的, , 而而不不是是充充分分条条件件. . 即即如如果果已已被被检检验验满满足足佩佩利利- -维维纳纳准准则则, ,则则可可找找到到 与与一一起起适适当当的的相相位位构构成成一一个个物物 必必要要条条 理理可可实实函函数数 ( (w w 件件 ) )现现的的系系统统. . 作业 o P311，5-10，5-11 第九节 从抽样信号恢复 连续时间信号 一、引言一、引言 o 抽样定理是构成数字通信系统的理论依据。抽样定理是构成数字通信系统的理论依据。 o 介绍三种由抽样信号恢复连续时间信号方法。介绍三种由

40、抽样信号恢复连续时间信号方法。 t f(t) o t p(t) o TS E t fS(t) o TS o o o F P S S S S F S T 1 1 m m m S S 相 乘 卷 积 (1) 回顾：理想抽样信号频谱 矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样 tf :连续信号连续信号 tp :抽样脉冲序列抽样脉冲序列 tptftf s :抽样信号抽样信号 t f(t) o t o p(t) TS t o TS fS(t) 连续信号抽样信号 抽样脉冲 tf tfS tp 回顾：连续时间信号抽样 t f(t) o t p(t) o TS E t fS(t) o TS o o o F P 2 S S S

41、E S F S T E 1 m m m S S 相 乘 卷 积 回顾：矩形脉冲抽样信号频谱 一、从一、从冲激抽样信号恢复连续时间冲激抽样信号恢复连续时间 信号的原理信号的原理 ( )( )() ( )( ) s mm ss f tF f tF 抽样 冲激序列(t) 设 带限信号 F F 2 ( ) ( ) sm s F F 抽样定理条件下 则 的图形 即的周期重复且不会混叠 ( )F ( ) s F 1 s T 0 s s m m 带限信号抽样前后频谱 冲激抽样信号恢复原理冲激抽样信号恢复原理 1）频域分析： 1 ss ( )( )( )( ) ( )()() s scc FFHf t FFH

42、f tfth t HT uu 理想低通滤 滤去高频分量 波器 恢复 其中 滤波器 F ( )F ( ) s F 1 s T 0 s s m m 带限信号抽样前后频谱 )H w（ w 0 s T c w c w ( )F 1 0 m m 带限信号抽样前后频谱 相乘 时域运算 以理想抽样为例以理想抽样为例 sTss ( )( )( )() () n f tf ttf nTtnT 时时域域： ss S 11 2 n FFPFn T 频频域域： 理想低通滤波器：理想低通滤波器： sc c 0 T H 频频域域： c sc Sa h tTt 时时域域： c ssssc ( )() ()Sa n f tf

43、 th tf nTtnTTt c sscs ()Sa n Tf nTtnT 0t )(tf s s T )(tf 卷 积包络 0 t 由理想抽样信号恢复原连续信号由理想抽样信号恢复原连续信号 c c )(H s T 0 m m )(F 相 乘 0 )( s F m m s s 1/Ts1/Ts )(th 0t c s Ts T 连续信号连续信号f(t)可以展开成可以展开成Sa函数函数的无穷级数，级数的系的无穷级数，级数的系 数等于抽样值数等于抽样值f(nTs)。 也可以说在抽样信号也可以说在抽样信号fs(t)的每个抽样值上画一个峰值的每个抽样值上画一个峰值 为为f(nTs) 的的Sa函数波形，

44、由此合成的信号就是函数波形，由此合成的信号就是f(t) 。 mcms sc 2 2, s T 当当，则则有有 scs ()Sa n f tf nTtnT 此此时时 c sscs ()Sa n f tTf nTtnT 说明 三、三、 零阶抽样保持方式零阶抽样保持方式 零零阶阶抽抽样样保保持持1 1) )：简简称称抽抽样样保保持持 ( ) 0 ( )( ) ( ) S p t s f tft ft 脉脉冲冲序序列列 某某抽抽 抽抽样样 保保持持样样本本 瞬瞬间间 值值 样样 输输出出 阶阶梯梯 下下一一个个抽抽 的的形形状状 样样瞬瞬时时 零阶抽样保持 ( )f t 0( )s ft ( )p t

45、 零阶抽样保持框图 由由于于理理想想的的在在实实际际电电路路中中产产生生及及传传输输都都很很困困难难. . 在在通通信信系系统统中中采采用用其其他他抽抽样样方方式式. . 我我们们零零阶阶与与一一阶阶这这抽抽里里介介样样绍绍保保 抽抽样样脉脉冲冲 持持方方式式. . 零阶抽样保持方式零阶抽样保持方式 实实际际的的抽抽样样保保持持电电路路: :有有多多种种形形式式. . 12 ( ) MOM s MS f t 晶晶体体管管的的 窄窄脉脉冲冲p p( (t t) )到到来来时时刻刻 和和导导通通 保保持持 如如 将将f f( (t t) )引引至至两两端端 下下一一脉脉冲冲 电电容容 （实实现现方

46、方案案） s0 f (t) 2 M C 1 M 1 M f(t) p(t) t ()f t t 0()s f t 零零阶阶抽抽样样信信2 2) )号号的的恢恢复复： 00 ( )() ss ftF F 设设 零零阶阶抽抽样样信信号号 零阶抽样保持方式零阶抽样保持方式 ( )( )() 1 ()() ss n ss n s ftf ttnT FwF wnw T ( )( ). sso ftft 保持 得到 构建一个线性系统使其达到保持电平作用构建一个线性系统使其达到保持电平作用 零阶抽样保持方式零阶抽样保持方式 此线性系统必须具有如下单位冲激响应： 0 h (t) t 0 1 s T ( ) s

47、 f t0( )s ft 00 ( )( )*( ) ss ftfth t 2 0( ) () 2 s wT j FT s s wT h tT Sae又 2 00 ()()()()() 2 s wT j s sss n wT FwF w HwF wnwSae 0 2 ( ), () 2 ( ) 的的频频谱谱基基本本特特征征仍仍是是F F其其频频谱谱以以周周期期重重复复看看出出： 但但要要乘乘上上函函数数，并并附附加加了了延延时时因因项项 ， 子子 s wT j s ss F T e w Sa w w w 零阶抽样保持方式零阶抽样保持方式 应应引引入入具具的的低低通通滤滤补补偿偿特特性性波波器器

48、。 为为了了, ,采采取取什什复复原原F F( (w w) )么么办办法法呢呢？ 低低通通在在接接收收端端加加入入滤滤波波器器吗吗？ 是是的的，此此低低通通滤滤波波器器的的特特性性是是理理想想的的吗吗？ 不是的。应该加怎样特性的低通滤波器？ 0 2 2 2 () 0 2 s s r T j s s e T Sa w w Hj w w 其其 频频 响响 特特 性性 为为 ： 零阶抽样保持方式零阶抽样保持方式 1 00 ( )( )()( ) sr FFHjf t 恢复 F 0 () r Hj 0 2 s w 2 s w 1 ( )w 0 2 s w 2 s w 2 2 0 () () 大大 致致

49、 接接一一 般般 仅仅 要要 求求 : :曲曲 线线; ; 线线 性性 近近 补补 特特 性性 偿偿 相相 移移。 r Hj 数数字字通通信信系系统统中中产产生生应应用用：多多用用于于和和传传输输信信号号 四、四、 一阶抽样保持方式一阶抽样保持方式 ( ) 1 ( )( ) ( ) s p t s f tf t ft 抽样 直线连接 脉冲序列 各样本值 的折线形状 脉冲抽样脉冲抽样 一阶抽样一阶抽样 ( )f t ( )p t ( ) s f t 1( )s ft 一一阶阶抽抽样样保保持持原原理理框框图图 一一阶阶抽抽样样保保持持信信号号 1 1）一一阶阶抽抽样样信信号号 一阶抽样保持方式一阶

50、抽样保持方式 一阶抽样一阶抽样 一阶抽样保持系统 t fs1(t) Ts f(t) fs(t) t fs(t) fs1(t) -Ts Ts 0 1 h1 (t) t 一阶抽样保持方式一阶抽样保持方式 1 1 1 ( ) 0 ( )( ) s s s ss t tT Th t tT f tft 输出 通过此系统 设一阶抽样保持系统采用具有的冲激响应特性 即 （实现方案） 则 折线形状 三角波形 2 1 )() 2 ( FT s s h wT T Sat 可求得 fs(t) fs1(t) -Ts Ts 0 1 h1 (t) t 一阶抽样信2）号的恢复： 11 ( )( ) ( )( ) ss ss f tF ftF 设 信号频带受限且满足抽样定理