材料力学-- 梁的位移计算

1、第五章 梁弯曲时的位移 6#135： 黄梦凡、张星、侯中杰、 刘兰兰、王楠、罗杨 梁的位移： 挠度和转角 挠度轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移w。 转角横截面对其原来位置的角位移。 （即曲线在该点处的切线与x轴之间的夹角） 挠曲线梁变形后的曲线。 y x 转角转角 挠曲线挠曲线 挠度挠度w 位移的度量位移的度量： 注意注意：梁轴线弯曲成曲线后，在x轴方向也发生线位移x， 但在小变形情况下，梁的跨长远大于挠度，故可略去。 选定坐标系后，梁变形后的轴线可表达为： w=f(x) 称为挠曲线方程 其中， w该点挠度；x横坐标 由于挠曲线是一平坦曲线，转角可表达为： tan = w = f (x) M

2、和w正负号的判断 M0,W0 M0 x y x y 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分 EI xM 1 23 2 1 1 w w 23 2 1w w EI xM 23 2 1w w EI xM 挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关挠曲线微分方程的正负号与选取的坐标系有关 EI为弯曲刚度为弯曲刚度 挠曲线近似微分方程 w1，可以忽略 w EI xM xMwEI 故故 即即 对上式进行积分，并通过边界条件确定积对上式进行积分，并通过边界条件确定积 分常数，即可求得梁的挠曲线方程。分常数，即可求得梁的挠曲线方程。 CdxxMwEI l DCxdxdxxMEIw ll 边

3、界条件边界条件 光滑连续条件光滑连续条件 F l ab A B C x y ;wx 00 0 wlx 21 wwax 21 ax 注意：梁上的荷载不连续不连续时，梁的弯矩方程须分段写出。在 确定积分常数时，除利用支座处的约束条件约束条件外，还需利用相邻 两段梁在交界处位移的连续条件连续条件。 挠曲线的微分法方程适用于小变形情况下、线弹性材料、 对称弯曲的细长梁。 例题例题1：如图所示简支梁，在C截面承受集中力偶M作用，已知 梁的刚度为 EI，试求梁的挠曲线方程，并确定位移 、 和 。 A B max a A B C b M 解：建立坐标系如图所示 1、求约束反力 2、建立弯矩方程和挠曲线方程

4、AC段： CB段： a A B C b M ? ? A F )(F )( B ba M ba M FA x ba M M 1 )0 (ax M ba Mx M 2 )(baxa a A B C b M A F AC段CB段 弯矩 方程 转角 方程 挠度 方程 x ba M M 1 M ba Mx M 2 1 2 1 2 C x ba M EI 1 2 2 2 DMx x ba M EI 21 3 1 6 CxC x ba M EI 21 2 3 2 26 DxDx Mx ba M EI 3、利用边界条件和光滑连续条件确定积分常 数 )(2 )2( 3 2 1 ba Ma ab M C 0 2

5、C )(23 )( 2 1 ba MabaM D 2 2 2 Ma D 4、最大转角和最大挠度 )(6 )22( )(23 )2( 222 1 baEI aabbM baEI Ma EI abM EI C A )(6 )22 ()( 2 )( )( 22 1 2 baEI aabaM EI D EI baMba baEI M B 根据附录有： 在 时， 当 时 挠度有最大值 2 3 22 2 22 2 baba ba x 3 22 2 22 1 baba x 0 1 3 )22( )(72 )11237( 16 )967( 222222 max baba ba Mbabababa 奇异函数法求

6、梁的位移 奇异函数 当n0（n为正整数）时， 奇异函数的微分奇异函数的微分 奇异函数的积分奇异函数的积分 ax ax ax axxf n n 0 dx axd n 1 n axn dxax n 1 1 n ax n 奇异函数适用于全梁的弯矩和剪力的通用方程。 q l F M a b c 0 axMxM 1 bxF 2 2 cx q F q l M a b c d 2 2 dx q 弯矩的通用方程弯矩的通用方程 i ii axMxM 0 j jj bxF k k k cx q 2 2 k k k dx q 2 2 奇异法奇异法 1.求约束反力： 2.用奇异函数表示的弯矩方程 )( ba M Fa

7、)( ba M Fb a A B C b M 0 )( axMx ba M xM A F 根据挠曲线的初参数方程得： （1） （2） 在x=a+b处 =0 代入（1）式，得： 12 0 ! 2 1 axMx ba M EIEI 23 0 ! 2! 3 1 ax M x ba M xEIEI )(6 )22( 22 0 baEI aabbM )(6 )22( 22 0 baEI aabbM A 将 代入（2）式，得： 由 =0，得： 所以 0 )(6 )22( | 22 baEI babaM baxB 3 210 2 )( 22 aabbba x 3 22 )(72 )11237( 16 )96

8、7( 222222 max baba ba MbabaMbaba q D A a a a B C qa 例题例题2.简支梁受力及截面尺寸如图。已知梁的 刚 度为EI，试确定梁的挠曲线方程， 并确定位 移wB和wD。 方法一：积分法方法一：积分法 解：（1）挠曲线方程 有平衡方程可得梁的两个支反力（如图）为 4 qa FA 4 9qa Fc y q Fa Fc qa BA CD x q F a Fc qa BA CD x AB段段BC段段CD段段 弯 矩 方 程 转 角 方 程 挠 度 方 程 x qa xM 4 2 2 1 4 axqx qa xM )3(xaqaxM 2 3 2 2 )( 6

9、 8 Cax q x qa wEI 22 4 3 2 )( 24 24 DxCax q x qa EIw 3 2 3 )3( 2 1 CaxqawEI 1 2 1 8 Cx qa wEI 11 3 1 24 DxCx qa EIw 33 3 3 )3( 6 1 DxC axqaEIw 1 2 1 8 Cx qa wEI 2 3 2 2 )( 6 8 Cax q x qa wEI 3 2 22 3 )2( 8 9 ) 2 3 ( 2 1 8 Caxqa axqax qa wEI 11 3 1 24 DxCx qa EIw 22 4 3 2 )( 24 24 DxCax q x qa EIw 33

10、 3 33 3 )2( 24 9 ) 2 3 ( 6 1 24 DxCaxqa axqax qa EIw 利用边界条件和光滑连续利用边界条件和光滑连续 条件确定积分常数条件确定积分常数 0 x0 1 w0 1 D ax 21 ww 21 CC 21 ax 21 DD ax20 32 ww 3 21 48 9 qaCC 02 6 1 2 24 9 33 4 22 4 DaCqaDaCqa ax2 3 3 2 3 2 1 3 2 CqaCqa 32 3 3 48 47 qaC 4 3 24 35 qaD 32 1 48 9 8 qax qa wEI 33 2 2 48 9 )( 6 8 qaax

11、q x qa wEI 32 22 3 48 47 )2( 8 9 ) 2 3 ( 2 1 8 qaaxqa axqax qa wEI xqax qa EIw 33 1 48 9 24 xqaax q x qa EIw 34 3 2 48 9 )( 24 24 433 33 3 24 35 48 47 )2( 24 9 ) 2 3 ( 6 1 24 qaxqaaxqa axqax qa EIw 4 1 48 7 |qa EI ww axB （2）求 DB 、 4 33 48 39 |qa EI ww axD 方法二：奇异函数法方法二：奇异函数法 q 解：解：（1） 初参数方程 将作用在梁BC段上

12、的均布载荷q延续至右端B，同时，在CB 段施加等值反向的均布载荷，如图所示，写出梁（转角和挠 度）的初参数方程 Fc qa BA CD x A F 确定初参数值，对于固定铰支座有 000 9 ,0,0 44 sAC qa FFMFqa 2233 0 00 22 2!2!3!3! sc FFqq EIEIM xxxax axa 2 |0 xa EI 3344 0 0 2 0 0 22 3!3!4!4!2! sc FFqq EIEIEIxxxax axa M x 值由 的边界条件确定 0 0 C w 得得 3 3 16 qa EI （2）挠度 将初参数值代入初参数方程，即得梁的挠度 方程为 4334 3 2 3 2 2482424 9 48 xa qaqaqq EIxxxax a qa B w D w 由挠度方程，即可得需求挠度 4 7 | 48 Bx a qa EI 4 3 13 | 16 Dxa qa EI 积分法和奇异函数法的比较 积分法： 积分常数由变形相容的几何条件（边界条件、光 滑连续条件）确定 优点：可以求出挠曲线方程和转角方程，因此可 以求任意截面的转角和挠度，使用范围广，直接 求出较精确。 缺点：当轴上载荷较复杂时，计算比较麻烦。 奇异函