高等数学第11-6

1、 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶级数也有一些函数的傅里叶级数 只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 的的傅傅里里叶叶系系数数为为的的奇奇函函数数, , 上上, ,是是 上上的的偶偶函函数数, , ,是是 则则的的奇奇函函数数, ,) )是是周周期期为为( (设设 )( cos)( sin)(2 xf llx l n xfll x l n xflxf ,sin)( 1 n n l xn bxf 正弦级数正弦级数. . , ), 2 , 1 , 0(

2、cos)( 2 0 2 0 l nn ndx l xn xf l a,b lxf 有有周周期期的的偶偶函函数数时时, ,是是当当) )( ( ,cos 2 )( 1 0 n n l xn a a xf 余弦级数余弦级数. . ,2100cos)( 1 ),(ndx l xn xf l a l l n 奇函数奇函数 ,ndx l xn xf l b l n 0 )210(sin)( 2 ( (1 1) )当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数 时时, ,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 特别的特别的 ( (2 2) )当当周周期期为为 2的的偶偶函函数数)(

3、xf展展开开成成傅傅里里叶叶 级级数数时时, ,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ), 2 , 1(sin)( 2 ), 2 , 1 , 0(0 0 nnxdxxfb na n n ), 2 , 1(0 ), 2 , 1 , 0(cos)( 2 0 nb nnxdxxfa n n 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数,它在它在 ), 上的表达式为上的表达式为xxf )(,将将)(xf展开成展开成 傅氏级数傅氏级数. 解解 所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 傅氏级数傅氏级数处不连续处不连续在点在点,), 2, 1, 0()12( kkx 2

4、 )0()0( ff 收敛于收敛于 2 )( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 2 2 3 3 x y 0 ,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx 和函数图象和函数图象 ), 2 , 1 , 0(, 0 nan 0 sin)( 2 nxdxxfbn 0 sin 2 nxdxx 0 2 sincos 2 n nx n nxx n n cos 2 ,)1( 2 1 n n ), 2 , 1( n )3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2)( xxxxf .sin )1( 2 1 1 n n nx n ),3,;( xx )5sin

5、 5 1 4sin 4 1 3sin 3 1 2sin 2 1 (sin2xxxxxy xy 观观 察察 两两 函函 数数 图图 形形 例例 2 2 将将周周期期函函数数tEtusin)( 展展开开成成傅傅氏氏级级数数, , 其其中中E是是正正常常数数. . 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个在整个 数轴上连续数轴上连续. ,)( 为偶函数为偶函数tu , 0 n b 0 0 )( 2 dttua t )(tu 0 2 2 E 0 sin 2 tdtE, 4 E ), 2 , 1( n 0 cos)( 2 ntdttuan 0 cossin 2 ntdttE

6、 0 )1sin()1sin(dttntn E 12, 0 2, 1)2( 4 2 kn kn k E 当当 当当 ), 2 , 1( k 0 1 )1cos( 1 )1cos( n tn n tnE )1( n 01 cos)( 2 tdttua 0 cossin 2 tdttE, 0 )6cos 35 1 4cos 15 1 2cos 3 1 2 1 ( 4 )( ttt E tu )( t . 14 2cos 21 2 1 2 n n nxE 任意延拓任意延拓 . )(, 0)( 成成傅傅里里叶叶级级数数 展展开开将将上上有有定定义义仅仅在在区区间间设设函函数数xflxf ., 0 ,(

7、)( 上上即即可可展展开开式式在在区区间间 再再限限制制上上展展开开在在 按按前前节节所所讲讲方方法法，可可把把 l llxF , 0),( ),0 ,(),( )( ,()( lxxf lxxg xF llxf上上的的函函数数延延拓拓成成区区间间把把 g(x) x O ll y f(x) .0 ),( , 0 , 0 , 0),( )( lxxf x xlxf xF .0 ),( , 0 ),( )( lxxf xlxf xF x O ll y f(x) x O ll y f(x) . )(,0, ,(, ,0, 集集合合上上即即得得所所求求展展式式 的的连连续续点点上上限限制制在在区区间间

8、再再把把余余弦弦级级数数 上上正正弦弦级级数数或或者者把把函函数数展展成成或或者者偶偶延延拓拓 上上函函数数进进行行奇奇延延拓拓可可考考虑虑对对为为了了展展开开简简单单 xflx ll l 偶延拓偶延拓 奇延奇延拓拓 g(x) g(x) ).( 2,0)( xF xf 函数 为周期的延拓成以上定义在设 , 0)( 0)( )( xxg xxf xF令令 ),()2(xFxF 且且 特别地，特别地， 奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0)( 00 0)( )( xxf x xxf xF则则 x y 0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1 sin)( n n nxbxf )0( x 偶延拓偶延

9、拓:)()(xfxg 0)( 0)( )( xxf xxf xF则则 的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 1 0 cos 2 )( n n nxa a xf )0( x x y 0 例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成 正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. . 解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. . ,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0 sin)( 2 nxdxxfbn 0 sin)1( 2 nxdxx )coscos1( 2 nn n , 6 , 4 , 2 2 , 5 , 3 , 1 22 n n n n 当当 当当 3sin)2( 3 1 2s

10、in 2 sin)2( 2 1 xxxx )0( x 5sin)2( 5 1 4sin 4 3sin)2( 3 1 2sin 2 sin)2( 2 xxxxxy 1 xy (2)(2)求余弦级数求余弦级数. . ,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 0 0 )1( 2 dxxa, 2 0 cos)1( 2 nxdxxan )1(cos 2 2 n n , 5 , 3 , 1 4 , 6 , 4 , 20 2 n n n 当当 当当 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos 4 1 2 1 22 xxxx )0( x 1 xy )7cos 7 1 5cos 5 1 3cos 3 1 (cos

11、4 1 2 222 xxxxy 小小 结结 1、基本内容、基本内容: 奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余 弦级数弦级数;非周期函数的奇偶延拓非周期函数的奇偶延拓; 2、需澄清的几个问题、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确) a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数; ;2, 0.的的傅傅氏氏级级数数唯唯一一展展成成周周期期为为上上在在 b ).( ,. xf c 级数处处收敛于级数处处收敛于 值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有有限个极在在 是是否否周周期期函函数数）（要要考考虑虑fff),()( ?

12、 思考题思考题 . ,)()(, ,)( 定义的函数定义的函数 上上成为成为才能使才能使 应如何选择应如何选择上定义的函数上定义的函数是在是在设设 BAtftFBA baxf 思考题解答思考题解答 ,)(bBAaBA 应使应使 . 2 , 2 ab B ab A 即即 一、一、 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数, ,它在它在), 上的表上的表 达式为达式为 x xx x xf 2 , 2 22 , 2 , 2 )(. . 二、二、 将函数将函数)0(2)( 2 xxxf分别展开成正弦级数分别展开成正弦级数 和余弦级数和余弦级数 . . 练习题练习题 三、三、 将以将以 2为周期的函数为周期的函数 2 )( x xf 在在),( 内展开成内展开成 傅里叶级数傅里叶级数, ,并求级数并求级数 0 1 12 1 )1( n n n 的和的和 . . 四、四、 证明证明: :当当 x0时时, , 1 22 2 624 cos n xx n nx . . 一、一、nx n nn xf