第40讲 间断速度场

1、金属塑性变形理论 Theory of metal plastic deformation 第四十讲第四十讲 Lesson Forty 张贵杰张贵杰 Zhang Guijie TelE-Mail： 河北理工大学金属材料与加工工程系 Department of Metal Material and Process Engineering Hebei Polytechnic University, Tangshan 063009 2021-6-232 第十五章 上界定理及其应用 主要内容主要内容 Main Content n虚功原理及最大塑性功原理虚功原理及最大塑性功原理

2、 n上界定理的概念上界定理的概念 n上界定理的应用上界定理的应用间断速度场间断速度场 2021-6-233 15.3 上界定理的应用上界定理的应用间断速度场间断速度场 n解题步骤解题步骤 n平砧压缩半无限体平砧压缩半无限体 n平砧压缩矩形件平砧压缩矩形件 n板材轧制板材轧制 2021-6-234 15.3.1 解题步骤解题步骤 n根据金属流动模式（变形规律）和解题要求（如缺陷根据金属流动模式（变形规律）和解题要求（如缺陷 分析），设计运动许可速度场；分析），设计运动许可速度场； n利用塑性理论中的几何方程，由该速度场确定应变速利用塑性理论中的几何方程，由该速度场确定应变速 率场和等效应变速度场

3、；率场和等效应变速度场； n计算各项上限功率；计算各项上限功率； n利用最优化原理确定使总功率消耗为最小的准独立变利用最优化原理确定使总功率消耗为最小的准独立变 量。量。 n求解上限载荷，并进行各变量间相互关系的分析，从求解上限载荷，并进行各变量间相互关系的分析，从 中得出用以指导工艺变形的参数。中得出用以指导工艺变形的参数。 选择合理的流动模式和设计尽可能接近选择合理的流动模式和设计尽可能接近 实际情况的运动许可速度场，是关键。实际情况的运动许可速度场，是关键。 2021-6-235 设定运动许可速度场的三种模式设定运动许可速度场的三种模式 n平面应变问题平面应变问题。参照相关的滑移线场，把

4、变形体简化。参照相关的滑移线场，把变形体简化 成速度间断面分隔的若干三角形刚性块。成速度间断面分隔的若干三角形刚性块。 n含有连续速度场的上限流动模式含有连续速度场的上限流动模式。把塑变区设计为连。把塑变区设计为连 续速度场，如平行速度场、各种形式的向心速度场等，续速度场，如平行速度场、各种形式的向心速度场等， 只在刚只在刚-塑性边界产生速度间断。此外，还有用流函数塑性边界产生速度间断。此外，还有用流函数 求得的连续速度场。可用于平面应变问题，也可用于求得的连续速度场。可用于平面应变问题，也可用于 轴对称变形问题。轴对称变形问题。 n上限单元技术上限单元技术。将变形体的单元划分和速度场的确定。

5、将变形体的单元划分和速度场的确定 规范化，进而计算各单元内部的功率消耗、各单元之规范化，进而计算各单元内部的功率消耗、各单元之 间的剪切功率和各单元与接触表面之间的摩擦功率消间的剪切功率和各单元与接触表面之间的摩擦功率消 耗。耗。 2021-6-236 15.3.2 平砧压缩半无限体平砧压缩半无限体 n采用三角形速度场采用三角形速度场 上界定理表达式为上界定理表达式为 s WJJ * ii F SvkdFvk d * 在求得的此上界功率的式子中一般都含有待定参数，求在求得的此上界功率的式子中一般都含有待定参数，求 此上界功率中的最小值（即最好的上界值）来确定待定参数。此上界功率中的最小值（即最

6、好的上界值）来确定待定参数。 进而求出变形力的最小上界值。进而求出变形力的最小上界值。 2021-6-237 光滑冲头压缩半无限体光滑冲头压缩半无限体 v0 l A B E CD q qq q 一、划分三角形速度场一、划分三角形速度场 2021-6-238 二、绘制速端图二、绘制速端图 v0 vx vBC vAD vDE vDC vAC q qq q o 2021-6-239 三、计算各速度不连续量三、计算各速度不连续量 由速端图由速端图 ADDEACBC vvv v v qsin 0 qtan 2 0 v vDC 2 0l v V 压入 2 sin 2sin sin 00 lvlv AEvV

7、 DE q q q 挤出 2021-6-2310 四、计算各速度不连续线长度四、计算各速度不连续线长度 由三角形速度场划分图由三角形速度场划分图 DEADACBC SSS l S qcos4 2 l SDC 2021-6-2311 五、计算剪切功率五、计算剪切功率 i i is SvkW DCDCADAD DEDEACACBCBC SvkSvk SvkSvkSvk 2tan 2 cos4sin 4 00 lv k lv k qqq qqqtan 1 cossin 1 0l kv q q tan 2 tan 0l kv 2021-6-2312 六、应用上界定理计算平均单位压力六、应用上界定理计算

8、平均单位压力 s W l vpJ 2 0 q q tan 2 tan 0l kv q q tan 2 tan2kp q q tan 2 tan 2k p n 2021-6-2313 q qq tan 2 tan)(tanf 0 dx df 令令 对该函数取极值对该函数取极值 x xxf 2 )( 或或 2tanqx 得得 或或2454oq 57. 283. 2 2 2 2 2 k p n 2021-6-2314 v0 l A B E CF q qq q D 如此划分三角形速度场也可以如此划分三角形速度场也可以 66. 2 n 2021-6-2315 15.3.3 平砧压缩矩形件平砧压缩矩形件

9、v0 A C B D ho b q q o 2 3 4 1 b h h b n 2021-6-2316 15.3.4 板材轧制（粗糙辊面）板材轧制（粗糙辊面） n假设轧辊与轧件接触面全粘着和以弦代弧，并采用单假设轧辊与轧件接触面全粘着和以弦代弧，并采用单 个三角形速度场，此时速度不连续线和速端图如图所个三角形速度场，此时速度不连续线和速端图如图所 示示 l h h l n5 . 05 . 0 2021-6-2317 有限元法简介（选读） 塑性加工成形问题需确定：塑性加工成形问题需确定： n材料在加工的各变形阶段所需要的功和变形力；材料在加工的各变形阶段所需要的功和变形力； n材料内部的应力和应

10、变及温度的分布规律；材料内部的应力和应变及温度的分布规律； n金属的流动规律；金属的流动规律； n加工工具、容器内的应力、应变、温度分布，合理形加工工具、容器内的应力、应变、温度分布，合理形 状、材质和磨损；状、材质和磨损； n材料与工具间接触面上的应力，相对速度分布；材料与工具间接触面上的应力，相对速度分布； n制品尺寸精度、残余应力、晶粒度和分布方位。制品尺寸精度、残余应力、晶粒度和分布方位。 2021-6-2318 n但由于各物理量在所研究的物体中是连续分布但由于各物理量在所研究的物体中是连续分布 的且物体的几何形状和载荷作用方式是很复杂的且物体的几何形状和载荷作用方式是很复杂 的，所以

11、，除了一些简单的问题可以通过弹性的，所以，除了一些简单的问题可以通过弹性 力学和塑性力学方法如工程法、均匀变形法、力学和塑性力学方法如工程法、均匀变形法、 滑移线场理论、界限法、上界元技术、流函数滑移线场理论、界限法、上界元技术、流函数 法等得到问题的解析解，大部分实际问题都不法等得到问题的解析解，大部分实际问题都不 可能获得数值解析。可能获得数值解析。 2021-6-2319 解决这种复杂问题的方式有两种：解决这种复杂问题的方式有两种： n一是将复杂问题进行简化处理，在各种假设的一是将复杂问题进行简化处理，在各种假设的 前提下，得到简化状态下的解答，但这种解答前提下，得到简化状态下的解答，但

12、这种解答 很可能与真实解有较大误差；很可能与真实解有较大误差； n二是采用数值解法，这种方法包括有限差分、二是采用数值解法，这种方法包括有限差分、 有限元法、边界元法、离散元法等。有限元法、边界元法、离散元法等。 2021-6-2320 n有限元法实质上就是把具有无限个自由度的连有限元法实质上就是把具有无限个自由度的连 续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合 体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问 题。题。 2021-6-2321 多辊轧制应力应变有限元模拟多辊轧制应力应变有限元模拟 2021-6-2322 n

13、随着计算机技术的飞速发展，有限元法在工程随着计算机技术的飞速发展，有限元法在工程 领域中得到了极其广泛的应用，应用范围已由领域中得到了极其广泛的应用，应用范围已由 结构力学发展到其他力学分支，由力学领域扩结构力学发展到其他力学分支，由力学领域扩 展到材料科学、电磁学、热传导等诸多领域，展到材料科学、电磁学、热传导等诸多领域， 在金属塑性加工领域同样得到了广泛的应用。在金属塑性加工领域同样得到了广泛的应用。 目前全世界有限元用户多达几万，而每年用于目前全世界有限元用户多达几万，而每年用于 有限元分析的费用多达有限元分析的费用多达10亿美元。亿美元。 2021-6-2323 n有限元法的理论基础是

14、变分原理，常用的变分有限元法的理论基础是变分原理，常用的变分 原理有最小势能原理、最小余能原理和混合变原理有最小势能原理、最小余能原理和混合变 分原理。分原理。 n目前根据材料的本构关系不同，用有限元法求目前根据材料的本构关系不同，用有限元法求 解塑性加工问题时，又可分为弹塑性有限元法、解塑性加工问题时，又可分为弹塑性有限元法、 刚塑性有限元法、粘塑性有限元法。刚塑性有限元法、粘塑性有限元法。 2021-6-2324 有限元法的主要优点有限元法的主要优点 n概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理概念浅显，易于掌握，既可以从直观的物理模型来理 解和运用，也可以在建立起严格的数学逻辑后进行

15、研解和运用，也可以在建立起严格的数学逻辑后进行研 究；究； n实用性强，应用广泛。有限元法不仅能成功地对具有实用性强，应用广泛。有限元法不仅能成功地对具有 各向异性材料、非均匀介质材料、非线性应力各向异性材料、非均匀介质材料、非线性应力-应变关应变关 系以及复杂边界条件、动力学等难题进行分析处理，系以及复杂边界条件、动力学等难题进行分析处理， 而且可以推广到解答数学方程中的其他边值问题，如而且可以推广到解答数学方程中的其他边值问题，如 热传导、电磁场、流体力学等问题；热传导、电磁场、流体力学等问题； 2021-6-2325 n该法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以该法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以 充分利用计算机提供的高速计算条件，计算时间大大充分利用计