第6章 内生性和工具变量估计方法-第6章

1、第第6 6章章 内生性和工具变量估计方法 内生性和工具变量估计方法内生性和工具变量估计方法 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因 6.2 工具变量估计方法工具变量估计方法 6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS 6.3 内生性检验内生性检验 重要概念重要概念 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 6.1.2 内生性产生的原因 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 模型： 若 则 为内生自变量。 存在内生自变量时，OLS估计不再有一致性 uXXXY kk 22110 0),(CovuX

2、 r r X 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 以一元回归模型为例： 多元线性模型下，不仅内生变量前的回归 系数不一致，外生变量前的系数也可能不 一致。 uXY 10 0 )Var( )Cov( )( )( )( )( 1 21 1 1 1 2 1 11 X X,u XXn uXXn XX uXX n i i n i ii n i i n i ii 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 以不带截距项的二元回归模型为例： uXXY 211 0),(Cov 1 uX0),(Cov 2 uX )1 ( 2 , 2 , 2 , 2 22 2121 12121 X

3、XXX uXXXuXX SS SSS 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 只要 ， 不以概率收敛到 。 )( )( 2 , 1,)( 2 , 1,)( 22 1 11 12 , 1 12 , 1 212 21 XXXXnS juXXnS jXXnS i n i iXX n i ijjiuX n i jjiX j j )1 ( ),(Cov),(Cov 2 , 1,2 2 22 2121 121 XXXX XXX uXuX 0 21, XX 2 2 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 u结论1：OLS估计的不一致性 （1）线性回归模型内生自变量回归系数的

4、OLS估计不是一致估计； （2）如果和内生自变量相关，外生自变量回 归系数的OLS估计不是一致估计 6.1 内生性内生性 6.1.1 OLS估计的不一致性 内生性影响图示： 是对 的估计。 X Y u dXdudXdY/ dXdu/ 6.1 内生性内生性 6.1.2 内生性产生的原因 模型设定错误、测量误差和联立性 模型设定错误是导致内生性最常见的原因，模型 设定错误往往表现为相关变量的缺失，缺失变量 成为错误设定模型误差项的一部分，当缺失变量 和模型中其他变量相关时，就会导致这些变量的 内生性。（工资与教育、能力）、 不相干变量引入不会影响参数估计的无偏性和一 致性，但是会影响参数估计的有效

5、性。 6.2 工具变量估计方法工具变量估计方法 6.2.1 工具变量估计法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS 6.2 工具变量估计方法工具变量估计方法 6.2.1 工具变量估计法 工具变量估计法 一元线性回归模型 定义1：如果存在变量 ，满足 （1）与 不相关 （2）与 相关 称 为 的工具变量工具变量，也称工具工具(instrument)。 uXY 10 ZX Z u0),(CovuZ X 0),(CovXZ 工具变量估计法 一元线性回归模型 总体矩条件： 类比出样本矩条件： uXY 10 0)(E)(E 0)()()Cov( 10 10 XYu ZXYEZuEZ,u 0) ( 0)

6、( 1i 10 1 1i 10 1 n ii n iii XYn ZXYn 工具变量估计法 一元线性回归模型 uXY 10 n i ii n i ii IV IVIV XXZZ YYZZ Y 1 1 1 10 )( )( 工具变量估计法 一元线性回归模型 u结论2：工具变量估计的性质 （1）工具变量估计是一致估计 （2）工具变量估计具有渐进正态分布 uXY 10 ZXY u 工具变量估计法 一元线性回归模型 u结论3：OLS估计和工具变量估计 一元线性回归模型的自变量为外生时，OLS估 计可看做以自变量本身为工具的工具变量估计。 例子6.1 气温与冷饮消费（续） 用住房面积 作为工具变量 uX

7、Y 10 uAirCdColdr 10 House 工具变量估计法 一元线性回归模型 方差估计：若 其中， uXY 10 22 )|(E)|(VarZuZu 2 , 1 2 2 2 )( S 1 XZ n i i XX IV n i i n i i n i ii XZ n i i ZZXX ZZXX u n 1 2 1 2 1 , 1 22 )()( )( 2 1 iIVIVii XYu 10 工具变量估计法 一元线性回归模型 假设检验： 统计量 给定误差项服从正态分布，则 若没给定分布，大样本情况下服从标准正态分布。 uXY 10 IV IV t 1 1 S 1 )2( 1 ntt 工具变量

8、估计法 一元线性回归模型 例子6.2 已婚女性小时工资 直接OLS： fathedufathedu 作工具变量： educwage )785. 7()000. 1( 109. 0185. 0)ln( educwage )686. 1 ()989. 0( 059. 0441. 0)ln( 工具变量估计法 多元线性回归模型 定义2：如果存在变量 ，满足 （1）与 不相关 ， （2）与 相关 ， 称 为 的工具变量工具变量，也称工具工具 ， 。 uXXXXY kkrrrr 11110 l Z u0),(CovuZl l X0),(Cov ll XZ l Z l Xrl, 1 工具变量估计法 多元线性

9、回归模型 同一元情形一样，总体矩条件： 类比原则得样本矩条件，可解得参数估计。 uXXXXY kkrrrr 11110 krm XXYXuXuX rl XXYZuZuZ kkmmm kklll , 1 , 0)(E)(E),(Cov , 1 , 0)(E)(E),(Cov 110 110 工具变量估计法 多元线性回归模型 u结论4：工具变量估计的性质 （1） （2） 其中 为 的方差， 。 uXXXXY kkrrrr 11110 jIV p jIV ), 0() ( 2 )( jIV Nn ajIVjIV 2 jIV jIV kj, 1 , 0 工具变量估计法 多元线性回归模型 例子6.3 在

10、职男性工资 由于能力变量的缺失，导致经验和教育都具内 生性，因此Kling用居住地附近是否有四年制大学 （虚拟变量）作为 的工具变量，以年龄和年龄 的平方作为 和 的工具变量 Xeduexperexperwage 3 2 210 )log( edu exper 2 exper 工具变量估计法 EViews操作 例子6.2 已婚女性小时工资（续） 暂时只考虑 的内生性，用 作其工具 变量。 EViews实现步骤： 建立工作文件，组（group）打开相关变量，在数据表格界 面点击ProcMake Equation进入模型设定对话框并依次输入 因变量和自变量，点击Estimation setting

11、s下拉菜单中的TSLS- Two-Stage Least Squares，在弹出对话框中输入工具变量 ueduexperexperwage 3 2 210 )log( edumothedu 工具变量估计法 EViews操作 例子6.2 已婚女性小时工资（续） ueduexperexperwage 3 2 210 )log( 工具变量估计法 EViews操作 例子6.2 已婚女性小时工资（续） 点击选择按钮（Options）对参数估计协方差矩 阵的估计方法进行选择，本例采用的是横截面数据， 因此采用怀特异方差一致的协方差矩阵估计。 ueduexperexperwage 3 2 210 )log(

12、 6.2 工具变量估计方法工具变量估计方法 6.2.2 两阶段最小二乘法：TSLS 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 为内生变量， 和 为外生变量， 、 为 的工具变量。 两阶段最小二乘步骤： 第一阶段（first stage）：以内生变量为因变量， 所有外生变量为自变量做回归 得拟合值 uXXXY 3322110 1 X 2 X 3 X 1 Z 2 Z 1 X vXXZZX 3423221101 3423221101 XXZZX 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 为内生变量， 和 为外生变量， 、 为 的工具变量。 两阶段最小二乘步骤： 第二阶段（second stage

13、）：将 作为 的工具 变量，对模型 实施工具变量估计 uXXXY 3322110 1 X 2 X 3 X 1 Z 2 Z 1 X 1 X 1 X uXXXY 3322110 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 对模型 的参数约束 检验可以验证工具变量的优良性。 原假设： 用第五章构造的 统计量进行F检验，若 值够大， 通常大于10则认为相关性足够，可做工具变量。 若接受原假设，则表明工具变量与内生变量相关 性太弱，其不适宜做工具 uXXXY 3322110 vXXZZX 3423221101 0:H 210 r T r T 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 EViews实现两

14、阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续） 的工具变量： 、 、 在EViews的工具变量设定框中输入： edu ueduexperexperwage 3 2 210 )log( fathedumotheduhusedu 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 EViews实现两阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续） ueduexperexperwage 3 2 210 )log( 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 EViews实现两阶段最小二乘： 例子6.2 已婚女性小时工资（续） 估计结果与前面相差很大，检验工具变量与内生 变量的相关性，发现用三个工具变量

15、时相关性大 大提升，故应采用mothedu,fathedu,husedumothedu,fathedu,husedu一起 做工具变量。 工具变量的好坏直接影响估计结果，实际应用中， 寻找合适的工具变量是解决问题的关键，也是困 难所在。 ueduexperexperwage 3 2 210 )log( 两阶段最小二乘法：TSLS 一个内生自变量 例子6.4 中国女性劳动参与率与家庭结构 但是HoursHours和withPwithP 的互相影响导致withPwithP 的 内生性，选用女性是否有存活的兄弟（ ）和该 女性在家中排行是否最小（ ）做工具变量。 XRecpPensnageP kids

16、agewithPHours 74. 598. 4_048. 0 559. 0724. 0272. 3 )178. 2()607. 2()350. 0( )590. 0()675. 3()374. 1 ( 0 1 Z 2 Z XRecpPensnageP kidsagewithPHours IV IV 795. 534. 5_14. 0 135. 1765. 073.18 )104. 2()73. 2()952. 0( )128. 1()77. 3()39. 2( 0 两阶段最小二乘法：TSLS 多个内生自变量 、 为内生变量， 为外生变量， 和 为 的 工具变量， 为 的工具变量 两阶段最小二

17、乘估计的步骤： 第一阶段（first stage）： 分别以内生变量 和 为因变量，以所有外生 变量 、 、 和 为自变量进行回归，即 uXXXY 3322110 1 X 2 X 3 X 1 Z 2 Z 1 X W 2 X 1 X 2 X 1 Z 2 Z W3 X 343221102 343221101 XWZZX vXWZZX 两阶段最小二乘法：TSLS 多个内生自变量 、 为内生变量， 为外生变量， 和 为 的 工具变量， 为 的工具变量 两阶段最小二乘估计的步骤： 得拟合值 第二阶段（second stage）： uXXXY 3322110 1 X 2 X 3 X 1 Z 2 Z 1 X

18、 W 2 X 3423221102 3423221101 XXZZX XXZZX 两阶段最小二乘法：TSLS 多个内生自变量 、 为内生变量， 为外生变量， 和 为 的 工具变量， 为 的工具变量 两阶段最小二乘估计的步骤： 以 和 代替 和 对原模型进行OLS估计， 即对模型 进行OLS估计，得出回归系数的一致估计。 uXXXY 3322110 1 X 2 X 3 X 1 Z 2 Z 1 X W 2 X uXXXY 3322110 1 X 2 X 1 X 2 X 6.3 内生性检验内生性检验 u自变量若内生，OLS估计会不一致；自变量若外 生，盲目用工具变量会降低有效性，故需要检验 自变量是否内生。 和 为外生变量，对 的内生性检验，设 为 的工具变量，将 对 、 和 回归， uXXXY 3322110 1 X 3 X Z 3 X 3 X 1 X 2 X 2 X vZXXX 3221103 Z 6.3 内生性检验内生性检验 若有内生性，则是 和 之间有关系： 将上述 和 的关系代入原模型 不可观测，用 代替（从模型 中估计而来），即最终估计模型： 并检验 是否为0。 uv vu 0:H;0:H 10 uv v v vZXXX 3221103 vXXXY 3322110 vXXXY 3322110 6.3 内生性检验内生性