第4章 平面弯曲

1、 第第4 4章章 平面弯曲平面弯曲 简单超静定梁的求解简单超静定梁的求解 平面弯曲计算平面弯曲计算 压杆的稳定性简介压杆的稳定性简介 4.1 4.1 平面弯曲的概念和实例平面弯曲的概念和实例 4.2 4.2 平面弯曲的内力平面弯曲的内力 4.3 4.3 平面弯曲的正应力计算平面弯曲的正应力计算 4.4 4.4 平面弯曲的变形计算平面弯曲的变形计算 4.54.5 简单梁超静定求解简单梁超静定求解 4.64.6 压杆稳定性简介压杆稳定性简介 桥式起重机桥式起重机 火车轮轴火车轮轴 在工程中最常遇见的梁，它的横截面在工程中最常遇见的梁，它的横截面 都具有一对称轴都具有一对称轴y yy y，见下图。见

2、下图。 纵向对称面：纵向对称面：由对称轴和梁的轴线组成的平面，由对称轴和梁的轴线组成的平面， 称为纵向对称面称为纵向对称面 平面弯曲：平面弯曲：梁在变形后其轴线是在对称平面内的梁在变形后其轴线是在对称平面内的 一条平面曲线一条平面曲线 载荷类型载荷类型: 1)1)集中载荷集中载荷 均布载荷均布载荷 2)2)分布载荷分布载荷 非均布载荷非均布载荷 3)3)集中力偶集中力偶 梁：工程上把以弯曲变形为主要变形的构件统称为梁 静定梁的基本形式静定梁的基本形式: : 静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定静定梁：梁的所有支座反力均可由静力平衡方程确定 1)1)简支梁：简支梁： 一端为固定铰支座，

3、而另一端为可动铰支座的梁一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座的梁 2)2)悬臂梁：悬臂梁： 一端为固定端，另一端为自由端的梁一端为固定端，另一端为自由端的梁 3)3)外伸梁：外伸梁： 简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁 4.2.1 4.2.1 剪力和弯矩剪力和弯矩 图4-5 梁的弯曲内力 l Fb RA l Fa RB (1)(1)求两端支座的约束反力求两端支座的约束反力 ， ， 所以 剪力剪力 求内力的方法：截、取、代、平求内力的方法：截、取、代、平。 弯矩弯矩 (2)(2)横截面上的内力：包括剪力横截面上的内力：包括剪力Q和弯矩和弯矩M 0 Y 0QRA

4、 l Fb RQ A 0 o M0 xRM A x l Fb xRM A 对截面对截面m-m上的形心上的形心O取矩，得：取矩，得： 按照同样方法，在按照同样方法，在2-22-2处将梁截开为左右两部分，处将梁截开为左右两部分， 仍取左段为分离体，就可求出仍取左段为分离体，就可求出2-22-2截面上的内力截面上的内力 及内力矩及内力矩 (3)(3)剪力和弯矩的符号剪力和弯矩的符号 截面上的剪力对梁上任截面上的剪力对梁上任 意一点的矩为意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时， 剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。 + _ 截面上的弯矩截面上的弯矩 使得梁呈使得梁呈凹形凹形为为正；正； 反之反之为

5、负。为负。 + _ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负 4.2.2 4.2.2 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力和弯矩沿着梁轴分布的数学表达式: : (1)(1)剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 Q=Q(x) M=M(x) (2)(2)剪力方程和弯矩图剪力方程和弯矩图 以X为横坐标，剪力Q为纵坐标QX图 以X为横坐标，弯矩M为纵坐标MX图 例例4-1 4-1 试作出图试作出图4-7(a)4-7(a)所示简支梁的剪力图和弯所示简支梁的剪力图和弯 矩图。矩图。 l Fb RA l Fa RB 解：首

6、先求出两支座反力为：解：首先求出两支座反力为： ， 以梁左端（以梁左端（A点）为坐标原点，建立坐标如图点）为坐标原点，建立坐标如图( (a a) )所示所示 (2)(2)求求AC段的剪力方程和弯矩方程段的剪力方程和弯矩方程 l Fb Q x l Fb M ( (0 0 x xa a) ) ( (0 0 x xa a) ) (3)(3)列出列出CB段内的剪力方程和弯矩方程段内的剪力方程和弯矩方程 l Fa Q )(xl l Fa M ( (a ax xl l) ) ( (a ax xl l) ) 图4-8 例4-2图 例例4-2 4-2 试作出图试作出图4-84-8所示简支梁的剪力图和弯矩图。所

7、示简支梁的剪力图和弯矩图。 解：首先求出两支座反力分别为：解：首先求出两支座反力分别为： 2 ql RR BA qxRQ A 2 2 1 qxRM A 取距原点为取距原点为x的任意截面，求的任意截面，求 得剪力方程和弯矩方程如下：得剪力方程和弯矩方程如下： ( (a ax xl l) ) ( (a ax xl l) ) 悬臂梁悬臂梁 载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系： )( )()( 2 2 xq dx xdF dx xMd s 1)1) q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为直线；剪力图为直线； M M(x(x) ) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线

8、。的一次函数，弯矩图为斜直线。 2)2)q q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x 的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x(x) ) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凸形。），抛物线呈凸形。 3)3)剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。 4)4)集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变

9、。 纯弯曲：梁的横截面上没有剪力作用，只有纯弯曲：梁的横截面上没有剪力作用，只有 弯矩作用的弯曲称为弯矩作用的弯曲称为纯弯曲纯弯曲 (1)(1)变形几何关系变形几何关系 1)1)横线横线(m-m,n-n(m-m,n-n) )仍是直线，只仍是直线，只 是发生相对转动，但仍与纵是发生相对转动，但仍与纵 线线(a-a(a-a，b-bb-b) )正交。正交。 2)2) 纵线纵线(a-a,b-b(a-a,b-b) )弯曲成曲线，弯曲成曲线， 且梁的一侧伸长，另一侧缩且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。短。 图4-10 纯弯曲梁的变形特点 纯弯曲梁的变形特点纯弯曲梁的变形特点 ：中性层与横截面的交线称为中性轴

10、：既不伸长，也不缩短的纵向纤维称为中：既不伸长，也不缩短的纵向纤维称为中 性层性层 图4-12 梁的弯曲变形 梁的弯曲变形 y d ddy )( ddxoo 21 dyba)( (2)(2)物理关系物理关系 横截面正应力分布规律 y EE maxmax 00 yy y （4-5） (3)(3)静力关系静力关系 A dAyM A dAy E M 2 设：设： A z dAyI 2 z EI M 1 有：有： 联立式联立式( (4-54-5) )和式和式( (4-64-6) )，消去，消去1/，得：，得： z I My (4-6)(4-6) y EE z I My z I Mymax max ma

11、x y I W z z z W M max 令 横截面上的任一点的正应力计算公式横截面上的任一点的正应力计算公式: : z I My 最大正应力发生在距中性轴最远处最大正应力发生在距中性轴最远处: : 令 抗弯截面模量抗弯截面模量 横截面上的最大正应力计算公式： (1)(1)矩形截面矩形截面 123 1 3 2 2 3 2 2 22 bh ybbdyydAyJ h h A h h Z 6 2 12 2 3 max bh h bh y J W Z Z (2)(2)圆形截面圆形截面 64 sinsin 4 2 0 2 2 0 3232 D dddddAyI D A z 322 64 34 max

12、D D D y I W z z 4 444 1 646464 DdD I z 4 3 4 4 1 322 1 64 DDD Wz (3)(3)圆环形截面圆环形截面 （4-13） 内径为内径为d 外径为外径为 D =d/ D 该式适用于弹性变形阶段该式适用于弹性变形阶段 4.3.3 4.3.3 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件强度条件强度条件 max max z W M 横截面上最 大应力即上 下边缘应力 沿梁轴线 最大弯矩 对于型钢和钢管：对于型钢和钢管： 一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力 对于实心梁：对于实心梁： 因有材料储备，因有材料储备， 可略高可

13、略高1820% 如果材料是铸铁：如果材料是铸铁： 其拉压许用应力不相等，应分别求出最其拉压许用应力不相等，应分别求出最 大拉应力和最大压应力，分别校核强度大拉应力和最大压应力，分别校核强度 作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 cctt max,max, ,要同时满足要同时满足 分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 例例: T: T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 MPa,60,MPa30 ct max max z W M (1)(1) (2)(2) (3)(3) max M W

14、Z max Z WM 例例4-3 4-3 矩形截面简支梁矩形截面简支梁ABAB的尺寸和所受载荷如图的尺寸和所受载荷如图4-17(a)4-17(a) 所示，试求：所示，试求：(1)(1)最大弯曲正应力及其所在位置；最大弯曲正应力及其所在位置；(2)(2)在在D D、E E 两点的弯曲正应力。两点的弯曲正应力。 图4-17 例4-3图 解：解：(1)(1)首先求出两支座反力分别为：首先求出两支座反力分别为： R RA A=19kN=19kN，R RB B=9kN=9kN 6 200120 6 22 bh Wz MPa5 .22 108 1018 5 6 max max z W M Mmax=18

15、kNm 位于集中力作用处所在截面。位于集中力作用处所在截面。 (2)D(2)D、E E两点所在截面的弯矩分别为：两点所在截面的弯矩分别为： 2 5 . 1 2 5 . 05 . 1 q FRM AD mkN 25.165 . 1 2 2 205 . 0195 . 1 2 mkN q RM BE 8 2 2 90 . 1 2 1 2 47 33 108 12 200120 12 mm bh I z MPa I yM z DD D 14. 9 108 451025.16 7 6 MPa I yM z EE E 0 . 7 108 70108 7 6 由于是等截面梁，整个梁各截面的惯性矩都是一样的，

16、则：由于是等截面梁，整个梁各截面的惯性矩都是一样的，则： (拉应力) (压应力) 32 3 maxmax max d M W M z mm M d3 .121 160 102832 32 3 6 3 max 例例4-4 4-4 若例若例4-34-3所示外伸梁的横截面为实心圆，试设所示外伸梁的横截面为实心圆，试设 计其直径。已知该梁所用材料的弯曲许用应力计其直径。已知该梁所用材料的弯曲许用应力=160MPa。 解：由例解：由例4-3可知，该梁的最大弯矩可知，该梁的最大弯矩Mmax=28kNm。由于。由于 该梁为等截面梁，故危险截面为最大弯矩所在截面，由强度条该梁为等截面梁，故危险截面为最大弯矩所

17、在截面，由强度条 件得：件得： 则则 若仅从强度方面来考虑，可取若仅从强度方面来考虑，可取d=122mm， 若考虑腐蚀，可适当地将直径取得大一些，如取若考虑腐蚀，可适当地将直径取得大一些，如取d=125mm。 z W M max max (1)(1)合理布置支座合理布置支座 工程实例工程实例 (2)(2)合理布置载荷合理布置载荷 改善集中载荷分布改善集中载荷分布: : 改善均布载荷分布改善均布载荷分布: : (3)(3)合理选择梁的横截面形状合理选择梁的横截面形状 竖放竖放 横放横放竖放比平放有较高的抗弯能力竖放比平放有较高的抗弯能力 ，所以竖放比平放有较高的抗弯能力 常见的截面常见的截面W

18、WA A值值 等强度梁等强度梁 提高抗弯截面模量提高抗弯截面模量: : 变形：梁变形前后形状的变化称为变形变形：梁变形前后形状的变化称为变形 位移：梁变形前后位置的变化称为位移位移：梁变形前后位置的变化称为位移 位移包括线位移和角位移位移包括线位移和角位移 图4-19 梁的挠度与转角 线位移挠度线位移挠度y y 角位移转角转角 y=f(x) 挠曲线挠曲线: : 规定：转角规定：转角以逆时针转向为正，顺时针转向为负以逆时针转向为正，顺时针转向为负 )( tanxf dx dy )( tanxf dx dy 挠曲线上任一点的斜率为：挠曲线上任一点的斜率为： 由于挠曲线曲率很小，转角度由于挠曲线曲率

19、很小，转角度很小，即很小，即: : 即挠曲线上任一点的斜率即挠曲线上任一点的斜率 就表示了相应横截面的转就表示了相应横截面的转 角。可见，只要确定了梁角。可见，只要确定了梁 的挠曲线方程的挠曲线方程 y=f(xy=f(x) )，则，则 梁上各点的挠度和转角均梁上各点的挠度和转角均 可求出。可求出。 EI xM x )( )( 1 忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 曲线曲线y=f(x)上任一点的曲率为：上任一点的曲率为： 2 3 2 2 2 1 )( 1 dx dy dx yd x dx dy 2 dx dy 2 2 )( 1 dx y

20、d x EI xM dx yd )( 2 2 由于由于 很小，很小， 与与1相比可以忽略不计，于是有相比可以忽略不计，于是有: 即即 则更小，则更小， 图4-20 近似曲率符号规定 2 2 dx yd 2 2 dx yd 2 2 dx yd EI xM dx yd)( 2 2 当挠曲线的二阶导数当挠曲线的二阶导数 0时，弯矩时，弯矩M(x)0， 0时，弯矩时，弯矩M(x)0， 的符号是一致的的符号是一致的,于是有于是有: 而当挠曲线的二阶导数而当挠曲线的二阶导数 即即M(x)与与 CdxxM EIdx dy x )( 1 )( DCxdxdxxM EI xy )( 1 )( 对于采用同一种材料

21、的等截面梁来说，抗弯刚度对于采用同一种材料的等截面梁来说，抗弯刚度EI为为 常量，将式常量，将式( (4-204-20) )对对x积分一次，得转角方程：积分一次，得转角方程： 再积分一次，得挠曲线的方程：再积分一次，得挠曲线的方程： 式中式中C C和和D D为积分常数，应由梁所受约束决定的位移为积分常数，应由梁所受约束决定的位移 条件即边界条件来确定条件即边界条件来确定 例例4-5 4-5 试求图试求图4-214-21所示悬臂梁的挠度方程和转角方程。所示悬臂梁的挠度方程和转角方程。 设抗弯刚度设抗弯刚度EIEI为常数。为常数。 图4-21 例4-5图 EI LxP dx yd)( 2 2 解：

22、如图建立坐标系，列出弯矩解：如图建立坐标系，列出弯矩 方程如下：方程如下： M(x)=-P(L-x)=P(x-L) ( (0 0 xL)xL) （0 xL） 将此式代入挠曲线微分方程，得：将此式代入挠曲线微分方程，得： (0 xL)(0 xL) 积分一次，得转角方程：积分一次，得转角方程： C EI LxP dx dy x 2 )( )( 2 ( (0 0 xL)xL) 再积分一次，得挠度方程：再积分一次，得挠度方程： DCx EI LxP xy 6 )( )( 3 （0 xLL） 边界条件为：边界条件为： 在固定端梁的挠度和转角均为零，即在固定端梁的挠度和转角均为零，即当当x=0时，时，=0

23、，y=0 于是有：于是有： EI PL D EI PL C 6 , 2 32 因此因此, 可得到如下的挠度方程和转角方程可得到如下的挠度方程和转角方程: )2( 222 )( )( 22 xL EI Px EI PL EI LxP dx dy x )3( 6626 )( )( 2323 xL EI Px EI PL EI xPL EI LxP xy EI PL L EI PL Lyy 2 )(, 3 )( 2 max 3 max 当当x=L时挠度和转角均取得最大值，即时挠度和转角均取得最大值，即: 该方法可以求出任意截面上的挠度和转该方法可以求出任意截面上的挠度和转 角，但是求解比较复杂角，但

24、是求解比较复杂 梁的变形属于小变形，梁的变形属于小变形， 服从虎克定律。梁的挠度服从虎克定律。梁的挠度 和转角均与梁所受载荷成和转角均与梁所受载荷成 线性关系，因此，梁在几线性关系，因此，梁在几 种载荷共同作用下的变形，种载荷共同作用下的变形， 可以看作是每一种载荷单可以看作是每一种载荷单 独作用时所产生的变形的独作用时所产生的变形的 叠加。叠加。 叠加原理叠加原理: : 例例4-6 4-6 试求图试求图4-224-22所示悬臂梁自由端的挠度和转所示悬臂梁自由端的挠度和转 角。设抗弯刚度角。设抗弯刚度EIEI为常量。为常量。 解：解：P1和和P2共同作用下悬臂梁自由端的共同作用下悬臂梁自由端的

25、 挠度和转角，可看作挠度和转角，可看作P1和和P2单独作用下单独作用下 产生的变形的代数和产生的变形的代数和 即即: ymax= y1 + y2 max=1 +2 由例由例4-5可知，悬臂梁在可知，悬臂梁在P1单独作用单独作用 下自由端的变形为：下自由端的变形为： EI aP EI aP EI aP EI aP y 2 1 2 1 1 3 1 3 1 1 2 2 )2( 3 8 3 )2( P P2 2单独作用下梁自由端的变形为单独作用下梁自由端的变形为: : EI aP 2 2 2 2 EI aP a EI aP y 6 5 3 3 2 2 3 2 2 自由端的挠度可以看作自由端的挠度可以看

26、作P P2 2作用点处的挠度与由于作用点处的挠度与由于P P2 2的作用点到的作用点到 自由端这一段梁轴线的旋转在自由端产生的挠度之和自由端这一段梁轴线的旋转在自由端产生的挠度之和, 即即: 于是，最后求得在于是，最后求得在P P1 1和和P P2 2共同作用下悬臂梁自由端的变为：共同作用下悬臂梁自由端的变为： )4( 22 2 )516( 66 5 3 8 21 22 2 2 1 max 21 33 2 3 1 max PP EI a EI aP EI aP PP EI a EI aP EI aP y 对梁的最大变形限制在一定范围内的条件称为梁的刚度条件对梁的最大变形限制在一定范围内的条件称为梁的刚度条件 y ymax maxy y max max 式中式中 yy和和分别称为梁的许用挠度和许用转角分别称为梁的许用挠度和许用转角，可可 从有关设计手册中查得从有关设计手册中查得 提高梁刚性的措施为提高梁刚性的措施为: : 1)1)改善结构受力形式，减小弯矩改善结构受力形式，减小弯矩 2)2)增加支承，减小跨度增加支承，减小跨度 3)3)选用合适的材料，增加弹性模量选用合适的材料，增加弹性模量 4)4)选择合理的截面形状，提高惯性矩选择合理的截面形状，提高惯性矩 超静定梁：超静定梁： 约束反力数目多于静力平衡方程约束反力数目多于静力平衡方程 数目的梁。两者数目的差称为静不定数目的梁。