第5章厚壁圆筒的

1、 p1p2 a b 内边界内边界 外边界外边界 0)( | 1 arr arr p 0)( | 2 brr brr p 0 2 2 2 2 r r r C r A C r A 自然满足，所以，自然满足，所以， 联立联立 求解，得求解，得 0)(, 0)( brrarr 2 2 1 2 | | pC b A pC a A brr arr 22 2 2 1 2 22 12 22 , )( ab pbpa C ab ppba A 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 p b a r a p a b r b r 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 p b a r

2、a p a b r b 拉梅（拉梅（Lam）解答）解答 22 2 2 1 2 222 12 22 22 2 2 1 2 222 12 22 1)( 1)( ab pbpa rab ppba ab pbpa rab ppba r 2/0 |,| vv 0 )1()1( 1 v Cr r A E u r ab pbpa rab ppba E u 22 2 2 1 2 22 12 22 )1( 1)( )1( 1 ？如果？如果 是平面是平面 应变问应变问 题？题？ 2 2 22 1 2 2 2 22 1 2 1 1 r b ab pa r b ab pa r ”拉拉“（压压）， r p1 r 只承受

3、内压，只承受内压，p1 0，p2 = 0 r r b ab pa E u)1()1( 1 2 22 1 2 ”受受压压均均为为“ -, r r p2 只承受外压，只承受外压，p1 = 0，p2 0 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 1 1 r a ab pb r a ab pb r r r a ab pb E u)1()1( 1 2 22 2 2 验证圣维南原理，在验证圣维南原理，在 r a 处，应力很小，可处，应力很小，可 以不计。即在内压以不计。即在内压p1 作作 用下，用下，b 处影响可处影响可 不计。不计。 无限域承压孔，无限域承压孔，p1 0，p2 = 0，b 1 2 2

4、2 2 22 1 2 1 2 2 2 2 22 1 2 1 1 p r a r b ab pa p r a r b ab pa b b r r p1 r 无限域内无内压孔，无限域内无内压孔，p1 = 0，p2 0，b （孔边应力集中问题）（孔边应力集中问题） 当当r = a时，时， r = 0， = 2p2。 这说明，在外部均匀压力作用下，无限域这说明，在外部均匀压力作用下，无限域 开孔后，孔周边应力集中系数为开孔后，孔周边应力集中系数为2。 如果外部压力不均匀，集中系数该如何？如果外部压力不均匀，集中系数该如何？ 2 2 2 2 2 2 1 1 r a p r a p r x 0 a b M

5、 由于是纯弯曲，各截面由于是纯弯曲，各截面M 相同，因而应力分量与相同，因而应力分量与 无关，为轴对称问题。无关，为轴对称问题。 【解】应力分量【解】应力分量 0 2)ln23( 2)ln21( 2 2 rr r CrB r A CrB r A 其中其中A、B、C为常数，须由边界条件确定。为常数，须由边界条件确定。 其边界条件：其边界条件： 0)( 0| arr arr 内边界内边界 外边界外边界 0)( 0| brr brr 主（长）边界：主（长）边界： 上边界上边界次（短）边界：次（短）边界： 0)( | 0| r b a b a Mrdr dr （1） （2） （3） （4） （5） （

6、6） （7） 下边界下边界 0)( | 0| 0 0 0 r b a b a Mrdr dr （8） （9） （10） 其中（其中（2）、（）、（4）、（）、（7）、（）、（10）自动满足。）自动满足。 由（由（1）、（）、（2），有），有 02)ln21( 02)ln21( 2 2 CbB b A CaB a A 由（由（5）或（）或（8），有），有 02)ln21( 2 b a CrB r A r (a) (b) (c) 由（由（6）或（）或（9），有），有 MabCaabbabB a b A )()lnln()(ln 222222 (d) 从上式可见，从上式可见，(a)、(b)满足，满足

7、，(c)必满足。联立必满足。联立 (a)、(b)、(d)求解，得求解，得 )lnln(2 )(2 ln4 2222 22 22 aabbab S M C S abM B S a b bMa A 222222 )(ln4)( b a baabS 其其中中： 应力分量表达式应力分量表达式 )lnlnln( 4 )lnlnln( 4 2222 2 22 22 2 22 ab r a a b r b a b r ba S M r a a b r b a b r ba S M r 讨论：位移分量的确定，讨论：位移分量的确定，须给出位移约束条件。须给出位移约束条件。 设设 0,0,0,0 2 0 r v

8、vu ba rr处处和和 则有则有 CrBr BrrBr r A E u )1(2)1(2 )31()1(ln)1(2)1( 1 N = 0, Q = 0 由本例可见，各应力、位移、内力分量中由本例可见，各应力、位移、内力分量中 均不含多值函数项（均不含多值函数项（ 项）。项）。 )1(2)1( ln)1(2)1( 1 00 00 0 CrBr rBr r A E H r0为曲为曲 梁中轴梁中轴 线半径线半径 3/2 2 2 22 2 2 2 22 2 1 1 r b ab pa r b ab pa r 2 2 1 2b a p s e ps psr p a r p a r ln1 ln 2 2 22 2 2 2 22 2 1 1 r b rb qr r b rb qr p p p p r 2 2 1 2b r q p s a r pq p sp ln 2 2 1 2 ln b r a r p p s p sp a b p sl ln a b a b s sr ln1 ln a b p sl ln 3 2 采用采用 Mises条件条件 22 2 2 )21( )1( 2 1 br rEb r u sp e 22 2 2 )21( )1( 2 1 br rEb r u p sp p Er r u s