第9章梁的应力

1、欢迎使用 工工 程程 力力 学学 系系 多多 媒媒 体体 教教 学学 课课 件件 系系 列列 之之 五五 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 9.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 9.4 梁的切应力梁的切应力 9.6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径 9.2 梁的正应力梁的正应力 9.5 梁的强度条件梁的强度条件 水 利 土 木 工 程 学 院

2、 结 构 力 学 课 程 组 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 9.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 9.4 梁的切应力梁的切应力 9.6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径 9.2 梁的正应力梁的正应力 9.5 梁的强度条件梁的强度条件 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 由垂直于杆件轴线的横由垂直于杆件轴线的横 向力，或由作用于包含杆轴向力，或由作用于包含杆轴 的纵向平面内的一对

3、大小相的纵向平面内的一对大小相 等、方向相反的力偶所引起等、方向相反的力偶所引起 的，表现为杆件轴线由直线的，表现为杆件轴线由直线 变为受力平面内的曲线。以变为受力平面内的曲线。以 轴线变弯为主要特征的变形轴线变弯为主要特征的变形 称为称为弯曲。如单梁吊车的横。如单梁吊车的横 梁受力后的变形。梁受力后的变形。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 构件特征构件特征 构件横截面具有纵向构件横截面具有纵向 对称面的等直杆。对称面的等直杆。 受力特征受力特征 外力或外力偶均作用在纵向对称

4、面内。外力或外力偶均作用在纵向对称面内。 变形特征变形特征 杆轴线变形杆轴线变形 后为后为纵向对纵向对 称面内的称面内的平平 面曲线面曲线 q F e M Ay F By F x B A y 对称面 向纵 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程

5、组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 楼板梁 纵梁 A 工程实例工程实例 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 工程实例 火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可 以看作铰链支座，由于轴自身重量与车厢以及车厢内以看作铰链支座，由于轴自身重量与车厢以及车厢内 装载的人

6、货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，装载的人货物的重量相比要小得多，可以忽略不计， 因此，火车轮轴将发生弯曲变形。火车轮轴可简化为因此，火车轮轴将发生弯曲变形。火车轮轴可简化为 外伸梁。外伸梁。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 工程实例 桥式吊车的大梁可桥式吊车的大梁可 以简化为两端饺支的简以简化为两端饺支的简 支梁。支梁。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例

7、 工程实例 工矿企业中的烟囱或石油、化工设备中各种直立工矿企业中的烟囱或石油、化工设备中各种直立 式反应塔，底部与地面固定成一体，在不计自重只考式反应塔，底部与地面固定成一体，在不计自重只考 虑风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形，因此，虑风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形，因此， 可以简化为下端固定的悬臂梁。可以简化为下端固定的悬臂梁。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个一般情形下，平面弯曲时，梁的横截面上一般将有两个 内力分

8、量，就是内力分量，就是剪力剪力和和弯矩弯矩。 如果梁的横截面上只有弯矩这一个内力分量，这种平如果梁的横截面上只有弯矩这一个内力分量，这种平 面弯曲称为面弯曲称为纯弯曲纯弯曲。梁在横向力作用下，其横截面上一般梁在横向力作用下，其横截面上一般 将同时产生剪力和弯矩，这称为将同时产生剪力和弯矩，这称为横力弯曲横力弯曲。 试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？试判断下列杆件中哪些是纯弯曲，哪些是横力弯曲？ 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.1 9.1 平面弯曲的概念与实例平面弯曲的概念与实例 梁的中性层与横截面的中性轴梁的中性层与

9、横截面的中性轴 梁弯曲后，一些层发生梁弯曲后，一些层发生 伸长变形，另一些则会发生伸长变形，另一些则会发生 缩短变形，在伸长层与缩短缩短变形，在伸长层与缩短 层的交界处那一层，既不发层的交界处那一层，既不发 生伸长变形，也不发生缩短生伸长变形，也不发生缩短 变形，称为梁的变形，称为梁的中性层中性层或或中中 性面性面(neutral surface)。中性中性 层与梁的横截面的交线，称层与梁的横截面的交线，称 为截面的为截面的中性轴中性轴 (neutral axis)。 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 9.1 平面弯曲的概念及实例平

10、面弯曲的概念及实例 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 9.4 梁的切应力梁的切应力 9.6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径 9.2 梁的正应力梁的正应力 9.5 梁的强度条件梁的强度条件 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各分析梁横截面上的正应力，就是要确定梁横截面上各 点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可点的正应力与弯矩、横截面的形状和尺寸之间的关系。可 以根据梁的变形情形推知

11、梁横截面上的正应力分布。以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布。 平面假定平面假定 物性关系物性关系 静力静力 方程方程 确定横截面上正应力的确定横截面上正应力的 方法与过程方法与过程 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 m m n n F F 实实 验验 现现 象象 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 1、变形前互相平行的纵向

12、直线、变形后变成弧变形前互相平行的纵向直线、变形后变成弧 线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。线，且凹边纤维缩短、凸边纤维伸长。 2、变形前垂直于纵向线的横向线变形前垂直于纵向线的横向线,变形后仍为直变形后仍为直 线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线线，且仍与弯曲了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。间相对转动了一个角度。 实实 验验 现现 象象 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 用相邻的两个横用相邻的两个横 截面从梁上截取长度截面从梁上截取长

13、度 为为dx的微段，假定梁的微段，假定梁 发生弯曲变形后，微发生弯曲变形后，微 段的两个横截面仍然段的两个横截面仍然 保持平面，但是绕各保持平面，但是绕各 自的中性轴转过一角自的中性轴转过一角 度度d。 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 在横截面上建立在横截面上建立Oxy坐标系，其坐标系，其 中中z轴与中性轴重合轴与中性轴重合(位置未定位置未定)，y轴沿轴沿 横截面高度方向并与加载方向重合。横截面高度方向并与加载方向重合。 微段上到中性面的距离为微段上到中性面的

14、距离为y处长度处长度 的改变量为：的改变量为： dyxd 式中的负号表示式中的负号表示y坐标为正的线段产生坐标为正的线段产生 压缩变形，反之产生伸长变形。压缩变形，反之产生伸长变形。 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 dyxd 将线段的长度改变量除以原长将线段的长度改变量除以原长dx，即，即 为线段的正应变。于是得到为线段的正应变。于是得到 y xd d y xd xd 这就是正应变沿横截面高度方向分布这就是正应变沿横截面高度方向分布 的数学表达式。其中的数学表

15、达式。其中 xd d 1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 应用弹性范围内的应力应变关应用弹性范围内的应力应变关 系的虎克定律系的虎克定律: E 得到正应力沿横截面高度分布的数学得到正应力沿横截面高度分布的数学 表达式表达式 Cyy E 式中式中 为待定的比例常数为待定的比例常数，E为为 材料的弹性模量材料的弹性模量。 /EC 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2

16、 梁梁 的的 正正 应应 力力 Cyy E 这表明，横截面上的弯曲正应这表明，横截面上的弯曲正应 力，沿横截面的高度方向从中性力，沿横截面的高度方向从中性 轴为零开始呈线性分布。轴为零开始呈线性分布。 这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布，但仍然 不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个不能用于计算横截面上各点的正应力。这是因为尚有两个 问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，问题没有解决：一是中性轴的位置没有确定，y坐标无法计坐标无法计 算；二是中性面的曲率半径算；二是中性面的曲率半径 没有确定。没有确定。 纯弯曲时梁横截面上的正应力

17、 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 应用静力方程应用静力方程 确定待定常数确定待定常数 x z y C dA y z dA 于是，应用积分的方法，于是，应用积分的方法， 负号表示坐标负号表示坐标y为正值的为正值的 微面积微面积dA上的力对上的力对z轴之轴之 矩为负值；矩为负值；Mz为作用在加为作用在加 载平面内的弯矩。载平面内的弯矩。 0 N A FAd z A MyAd 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程

18、组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 应用静力方程应用静力方程 确定待定常数确定待定常数 x z y C dA y z dA z I , z A MyAd Cyy E z AA MdAyCyAdCy 2 z z I M C z z I yM 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 应用静力方程应用静力方程 确定待定常数确定待定常数 x z y C dA y z dA 将正应力表达式代入静力方程将正应力表达式代入静力方程 Sz=0 Cy 0 N A FAd

19、0 AA dAyCAdCy 结论：结论： 中性轴一定通过截面的形心。中性轴一定通过截面的形心。 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力，也就是 横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的横截面上到中性轴最远处点上的正应力。这些点的y坐标坐标 值最大，即值最大，即y=ymax。将。将y=ymax代入正应力公式得到代入正应力公式得到 其中其中WZ称为弯曲截面系数，单位是称为弯曲截面系数

20、，单位是mm3或或m3 。 z z z z W M I yM = max max max = y I W z z 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 这是梁弯曲时的另一个重要公式梁的轴线弯曲后曲这是梁弯曲时的另一个重要公式梁的轴线弯曲后曲 率的数学表达式。其中率的数学表达式。其中EIz称为梁的称为梁的弯曲刚度弯曲刚度或或抗弯刚度抗弯刚度。 这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正这一结果表明，梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正 比，与弯曲刚度成反比。比，与弯曲刚度

21、成反比。 y E z z I yM z z EI M 1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横理论与实验结果都表明，由于切应力的存在，梁的横 截面在受力之后不再保持平面，而是要发生翘曲。对于细截面在受力之后不再保持平面，而是要发生翘曲。对于细 长梁，这种翘曲对正应力影响很小，通常可忽略不计。长梁，这种翘曲对正应力影响很小，通常可忽略不计。 以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯曲，也以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于

22、横力弯曲，也 就是横截面上除了弯矩之外、还有剪力的情形，如果是细就是横截面上除了弯矩之外、还有剪力的情形，如果是细 长杆，也是近似适用的，即长杆，也是近似适用的，即 z z I yxM 横力弯曲时梁横截面上的正应力 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 关于正应力的正负号关于正应力的正负号 x y z + 横力弯曲时梁横截面上的正应力 My x y z Mz + 确定正应力正负比较简单的方法是首先确定横截面确定正应力正负比较简单的方法是首先确定横截面 上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；如果所

23、要求应上弯矩的实际方向，确定中性轴的位置；如果所要求应 力的那一点在受拉区则产生拉应力，否则产生压应力。力的那一点在受拉区则产生拉应力，否则产生压应力。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 关于最大正应力关于最大正应力 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯矩最大的横截面上弯矩最大的横截面上的最大的最大正应力不一定就是梁内正应力不一定就是梁内 的最大正应力。的最大正应力。 应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产生应该首先根据弯矩值和截面的几何性质判断可能产生 最大正应力的那些截面，这些截面称

24、为最大正应力的那些截面，这些截面称为危险截面危险截面；然后比；然后比 较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横较所有危险截面上的最大正应力，其中最大者才是梁内横 截面上的截面上的最大正应力最大正应力。保证梁安全工作而不发生破坏，最。保证梁安全工作而不发生破坏，最 重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 关于最大拉应力和最大压应力关于最大拉应力和最大压应力 平面弯曲时，如果梁的横截面具有一对

25、相互垂直的对平面弯曲时，如果梁的横截面具有一对相互垂直的对 称轴，则中性轴与一对称轴一致，此时称轴，则中性轴与一对称轴一致，此时最大拉应力与最大最大拉应力与最大 压应力绝对值相等压应力绝对值相等。 z z I yM max max z z I yM max max 横力弯曲时梁横截面上的正应力 如果横截面只有一根对称轴，且加载方向与对称轴一如果横截面只有一根对称轴，且加载方向与对称轴一 致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上致，则中性轴过截面形心并垂直对称轴。这时，横截面上 最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，要分别计算最大拉应力与最大压应力绝对值不相等，要分别计算。 第第9章章梁

26、梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.2 9.2 梁梁 的的 正正 应应 力力 试计算图示简支试计算图示简支 木梁横放与竖放时的最大正应力，木梁横放与竖放时的最大正应力， 其中其中h=200mm，b=100mm。 竖放 横放 8/ 2 qL MPa bh qL W M Z 6 6 8 2 2 max max MPa hb qL W M Z 12 6 8 2 2 max max 【例例9-1】 【解】 说明：说明：对于梁来说，竖放比横对于梁来说，竖放比横 放合理，即梁在竖直方向的尺寸要放合理，即梁在竖直方向的尺寸要 大于水平方向。大于水平方向。 水

27、 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 9.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 9.4 梁的切应力梁的切应力 9.6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径 9.2 梁的正应力梁的正应力 9.5 梁的强度条件梁的强度条件 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 A y AzSd A z AySd 截面截面A对于对于 y 轴

28、的静矩轴的静矩 截面截面A对于对于 z 轴的静矩轴的静矩 注意： 静矩是一个代数量，可正、可负或为零；静矩是一个代数量，可正、可负或为零； 同一截面对不同坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩不同； 静矩的常用单位是静矩的常用单位是m3或或mm3。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 A y AzSd A z AySd , A Adz A S z A y C A Ady A S y Az C 点点C (zC，yC)称为截面形心，称为截面形心， 通过形心的

29、坐标轴称为形心轴。通过形心的坐标轴称为形心轴。 v 1、截面对形心轴的静矩为零；、截面对形心轴的静矩为零； v 2、若截面对某轴的静矩为零，、若截面对某轴的静矩为零， 则该轴必为形心轴。则该轴必为形心轴。 v 3、已知静矩可确定截面的形、已知静矩可确定截面的形 心坐标；已知截面的形心坐标心坐标；已知截面的形心坐标 可确定静矩。可确定静矩。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 21 2211 AA AzAz A Az z ii C mm3 .20 1080110

30、10 1101035 mmyC7 .34 108011010 1101060 试确定下图的形心。试确定下图的形心。 z y C2 C1 C1(0,0) C2(-35,60) 【例例9-2】 用正面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标用正面积法求解。将截面分割为两个矩形，建立坐标 系如图所示。系如图所示。 形心形心C坐标为（坐标为（-20.3，34.7）。）。 C 【解】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 A y AdzI 2 A z AdyI 2 截面对

31、截面对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩 截面对截面对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩 注意： 惯性矩恒为正值；惯性矩恒为正值； 同一截面对不同坐标轴的惯性矩不同；同一截面对不同坐标轴的惯性矩不同； 惯性矩的常用单位是惯性矩的常用单位是m4或或mm4。 A P AdrI 2 截面对截面对O点的极惯性矩点的极惯性矩 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 已知：圆截面直径已知：圆截面直径d，求：求：Iy， Iz， IP。 取圆环微元面积取圆环微元面积 rdrAd2 2 0 2 d

32、 P AdrI 32 2 4 2 0 2 d rdrr d 【例例9-3】 【解】 642 4 dI II P zy 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 【例例9-4】 【解】 已知：矩形截面已知：矩形截面b h，求：，求：Iy， Iz 。 分别取平行于分别取平行于 x 轴和轴和 y 轴的微元面积，轴的微元面积， hdz dA bdydA 2 , 1 12 3 2 1 2 2 2 2 2 bh bdyy dAyI h h h h z 12 3 hb I y 第

33、第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 平行移轴定理平行移轴定理（parallel-axis theorem）是指截面对）是指截面对 于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间有如下关系：于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间有如下关系： abAII AaII AbII yz1z1y 2 z1z 2 y1y 其中：其中：A为截面面积，为截面面积，x、 y轴为形心轴，轴为形心轴， x1、 y1为为 分别与分别与x、y轴平行的轴，轴平行的轴， a、b分别为相应平行轴之分别为相应平行轴之

34、 间的距离。间的距离。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 证明：证明： AA zy AA z AA y AbzayAzyI AayAyI AbzAzI dd dd dd 1111 22 11 22 11 abAbSaSII AaaSII AbbSII zyyzzy zzz yyy 11 2 1 2 1 2 2 即即 由于由于 y、z 轴通过截面形心，轴通过截面形心， 所以所以Sy=Sz=0，即有，即有 abAII AaII AbII yz1z1y 2 z1z

35、 2 y1y 证毕证毕 dA y z y1 z1 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 (1)确定截面形心位置 II 取z 轴与截面的上底边重合。 z1 y 形心一定在对称 轴 y 上。 矩形I 2 1 20 1202400mmA 1 20 10mm 2 y 矩形II 2 2 20 1202400mmA 2 120 2080mm 2 y 1 122 12 2400 102400 80 mm=45mm 24002400 C AyA y y AA 0 C z z 图

36、示长为图示长为l 的的T 形截面悬臂梁形截面悬臂梁,自由端受集中自由端受集中 力力F 作用。已知作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面。试求截面A 上上1,2,3 点的正点的正 应力应力(尺寸单位为尺寸单位为mm)。 【例例9-5】 【解】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 (2)确定截面对z轴的惯性矩 矩形 1 3 2 4 1 64 120 20 20 12045 10mm 12 3.02 10 mm z I 矩形 2 3 2 4 11

37、64 20 120 20 1208045mm 12 5.82 10 mm z I T 形截面对 z 轴的惯性矩为 66464 111 3.02 105.82 10mm8.84 10 mm zzz III II z y z 【解】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.3 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 (3)计算截面A上1，2，3点的正应力 64 8.84 10 mm z I 15kN 1m15kN.m A MFl 截面A上的弯矩 3 11 6 15 10 0.04576.36MPa 8.84 1

38、0 A z M y I 3 22 6 15 10 0.0450.0242.4MPa 8.84 10 A z M y I 3 32 6 15 10 0.120.020.045161.2MPa 8.84 10 A z M y I （拉） （拉） （压） 1，2，3点正应力分别为 【解】 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 9.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式常用截面的惯性矩、平行移轴公式 9.4 梁的切应力梁的切应力 9.6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径 9.2 梁的

39、正应力梁的正应力 9.5 梁的强度条件梁的强度条件 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 矩形截面梁的切应力 z y FS 两个基本假设： 1、切应力方向与剪力相同；、切应力方向与剪力相同； 2、切应力沿截面宽度均匀分布。、切应力沿截面宽度均匀分布。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 矩形截面梁的切应力 FS 横截面上的剪力；横截面上的剪力； IZ 截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性

40、矩； b 截面的宽度。截面的宽度。 SZ 宽度线一侧的面积 宽度线一侧的面积A 对 对 中性轴的静矩；中性轴的静矩； bI SF Z zS * 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 矩形截面梁的切应力 max ) 4 ( 2 2 2 y h I F Z S y A F I hF S Z S 2 3 8 2 max ) 2 ( * y h bA 2/ ) 2 ( 2 0 y hh y ) 2 ( 2 2 2 0 * y hb yASz y 0 y bI SF Z zS * 第第9章章梁梁 的的

41、应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 工字形截面梁的切应力 o y x b1 z y FS 上翼缘 腹板 Sz z 1 F S I b S F横截面上的剪力 z I 整个工字形截面对中性轴的惯性矩 z S 为所求应力点到截面边缘间的面积 (阴影面积)对中性轴的静矩。 1 b腹板厚度 下翼缘 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 工字形截面梁的切应力 Sz z 1 F S I b 讨论：讨论： 1.在腹板的两端，切应

42、力最小； min 2.在中性轴上，y =0SmaxS max 1 1 max z z z z F SF b I b I S 3.切应力分布规律图（抛物线规律） 查表可得 4.工字形截面梁剪力主要由腹板承担,而弯矩主要由翼缘承担。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 工字形截面梁的切应力 对于工字钢截面上的切应力分对于工字钢截面上的切应力分 布如右图所示，其最大切应力为布如右图所示，其最大切应力为 )/( * zmaxz S max SId F 其中由型钢表查得。其中由型钢表查得。 * zma

43、xz SI / 从图中可以看出，在腹板上切从图中可以看出，在腹板上切 应力几乎就是均匀分布的，所以在应力几乎就是均匀分布的，所以在 粗略计算中，也可以用剪力与腹板粗略计算中，也可以用剪力与腹板 面积的比值来估算最大切应力，即面积的比值来估算最大切应力，即 dh F A F S f S max 0 d 0 h 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 T T字形截面梁的切应力 讨论：讨论： 1.在腹板的下端， 0 2.在中性轴上，y =0 Smax max 1 z z F S I b 3.切应力分布

44、规律图（抛物线规律） maxz S 是阴影面积对中性轴的 静矩 Sz z 1 F S I b 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 已知图示矩形截面简支梁，求已知图示矩形截面简支梁，求 。 max max 【例例9-6】 【解】 h L bh F bh FL bh F bh FL A F W M S Z 2 4 3 2 3 )(2 )2/(3 6/)( 4/ 2 3 2 2 max max max 若若 ，则，则 ，所以对于，所以对于10 max max 5 h L 细长等截面梁细长等截面梁(

45、 )，一般可忽，一般可忽 略切应力的影响。略切应力的影响。 5 h L 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 图示矩形截面简支梁图示矩形截面简支梁,已知已知 l = 2 m，h = 150 mm， b= 100 mm， y1 = 50 mm，F = 10 kN。试求：。试求：(1) m-m 截面上截面上K 点的切应力；点的切应力；(2)若采用若采用22a 号工字钢，求最大切应力。号工字钢，求最大切应力。 解：(1)求K 点的切应力 kN5 kN5S 5kN K F 33 44 z 0.1 0.

46、15 0.28 10 m 1212 bh I *33 z0 0.1 0.025 0.06250.156 10 mSAy 33 S K 4 5 100.156 10 278.57kPa 0.28 100.1 z z F S I b 1 1 01 () 2 =62.5mm 2 242 h y yhh yy 【例例9-7】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.4 9.4 梁梁 的的 切切 应应 力力 kN5 kN5 解：(2)若采用22a 号工字钢, 求最大 切应力。 z 18.9cm z I S 3 S max 5 10 3.53MPa

47、 0.189 0.0075 z z F S I b 查表得： 1 0.75cmb S 5kN K F 图示矩形截面简支梁图示矩形截面简支梁,已知已知 l = 2 m，h = 150 mm， b= 100 mm， y1 = 50 mm，F = 10 kN。试求：。试求：(1) m-m 截面上截面上K 点的切应力；点的切应力；(2)若采用若采用22a 号工字钢，求最大切应力。号工字钢，求最大切应力。 【例例9-7】 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 第第9章章 梁梁 的的 应应 力力 9.1 平面弯曲的概念及实例平面弯曲的概念及实例 9.3 常用截面的惯性矩、平行移轴公式

48、常用截面的惯性矩、平行移轴公式 9.4 梁的切应力梁的切应力 9.6 提高梁弯曲强度的主要途径提高梁弯曲强度的主要途径 9.2 梁的正应力梁的正应力 9.5 梁的强度条件梁的强度条件 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 梁在横向力作用下, 横截面一般同时存在正应力和切应力。 为使梁能安全工作,必须使梁内最大应力不超过材料的许用应力。 因此,对上述两种应力应分别建立相应的强度条件。 一、正应力强度条件max S,max,max max z z FS Ib 二、切应力强度条件 利用强度条件

49、，可解决三种不同类型的工程问题。 （1 1）强度校核；（）强度校核；（2 2）截面尺寸设计；（）截面尺寸设计；（3 3）确定许用载荷。）确定许用载荷。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 一、正应力强度条件 1. 中性轴为截面对称轴时 Wz 称为弯曲截面系数 梁的正应力强度条件为 max z z I W y max max z M W （1）强度校核（2）截面尺寸设计 （3）确定许用载荷 max max z M W max z M W max z MW 等截面梁内的最大正应力发生在弯矩

50、最大的横截面且 距中性轴最远的位置。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 Wz 称为弯曲截面系数 max z z I W y 对矩形截面： 3 2 12 6 2 z bh bh W h 对圆形截面： 4 3 64 32 2 z d d W d 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 2. 中性轴不是截面对称轴时 比如铸铁等 脆性材料 制成的梁， 由于材料的 梁横截面的 中性轴 一般

51、也不是对称轴， 所以梁的 maxmax )()( 梁的正应力强度条件为：梁上最大拉应力和最大压应力 分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力，即 M max () max () 思考：对于塑性材料的梁，需分别考虑吗？ 答：不需要。 只需要求出正应力绝对值最大值 max即可。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 S,max,max max z z FS Ib 二、切应力强度条件 等截面梁内的最大切应力发生在剪力最大的横截面中性轴上。 该最大切应力的值应满足 铆接或焊接的组合截面梁，腹板厚度

52、与高度比较小时；铆接或焊接的组合截面梁，腹板厚度与高度比较小时； 梁的跨度较短，弯矩梁的跨度较短，弯矩M 较小，而剪力较小，而剪力FS较大时；较大时； 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差时各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差时。 按正应力强度条件设计的梁，切应力强度大多可以满按正应力强度条件设计的梁，切应力强度大多可以满 足，但在以下几种情况时，要注意校核梁的切应力强度。足，但在以下几种情况时，要注意校核梁的切应力强度。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 根据梁约束性质，分析梁的受

53、力，确定约束力；根据梁约束性质，分析梁的受力，确定约束力； 画出梁的弯矩图，并结合梁的横截面的变化情况画出梁的弯矩图，并结合梁的横截面的变化情况 确定可能的危险截面；确定可能的危险截面； 根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否根据应力分布和材料的拉伸与压缩强度性能是否 相等，确定可能的危险点：相等，确定可能的危险点： 应用正应力强度条件进行强度计算。应用正应力强度条件进行强度计算。 梁的强度设计步骤：梁的强度设计步骤： 必要时应用切应力强度条件进行切应力强度校核。必要时应用切应力强度条件进行切应力强度校核。 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学

54、课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 q=3.6kN/m BA L=3m 矩形截面矩形截面 木梁木梁, b=0.12m, h=0.18m， =7MPa， =0.9MPa， 试求试求校核梁的强度并求校核梁的强度并求最大最大 正应力和最大切应力之比。正应力和最大切应力之比。 【例例9-8】 【解】 FAyFBy 求求FSmax和和Mmax Nk qL F S 4 . 5 2 max mNk qL M05. 4 8 2 max 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 q

55、=3.6kN/m BA L=3m FAyFBy 【解】 校核强度校核强度 725. 6 18. 012. 0 40506 6/ 22 max max MPaMPa bh M 90375. 0 18. 012. 0 54005 . 1 5 . 1 max max MPa.MPa A FS 强度满足要求。强度满足要求。 求最大应力之比求最大应力之比 7 . 16 3 2 max max max h L F A W M Sz 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 如图所示如图所示T型铸铁梁，型

56、铸铁梁， 截面形心坐标截面形心坐标yC=96.4mm， 对对z轴的惯性矩轴的惯性矩Iz=1.02 108 mm4，FP=20kN。已知材料。已知材料 拉伸容许应力和压缩容许应拉伸容许应力和压缩容许应 力分别为力分别为 +=40MPa， =100MPa 试校核试校核梁的强度。梁的强度。 【例例9-9】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 FP=20kN MA=16 kNm MB=12 kNm 1. 画弯矩图，判断危险截面画弯矩图，判断危险截面 从弯矩图可以看出，最从弯矩图可以看出，最 大

57、正弯矩作用在截面大正弯矩作用在截面A上，上， 最大负弯矩作用在截面最大负弯矩作用在截面B 上。但由于材料抗拉和抗压上。但由于材料抗拉和抗压 能力不同，所以截面能力不同，所以截面A和和B 都可能是危险截面。都可能是危险截面。 【解】 MA MB 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 根据危险截面上弯矩的实根据危险截面上弯矩的实 际方向，可以画出截面际方向，可以画出截面A、B 上的正应力分布图。对于拉应上的正应力分布图。对于拉应 力，只要校核力，只要校核b点的强度点的强度。对对 于压应力，于

58、压应力，a点和点和d点的强度都点的强度都 需要校核。需要校核。 2. 确定危险点确定危险点【解】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 【解】 MPaMPa I yM z bA maxb 4009.24 MPaMPa I yM z aA a 10012.15 3. 强度校核强度校核 MPaMPa I yM z dB d 10007.18 梁安全梁安全 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9.5 梁梁 的的 强强 度度 条条

59、 件件 悬臂梁由三块木板粘接而成，跨度悬臂梁由三块木板粘接而成，跨度l=1m， 胶合面许可切应力为胶合面许可切应力为 g=0.34MPa，木材的，木材的 =10 MPa， =1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。 2 1max 6 bh lF W M z max 1. 求求FQmax和和Mmax 2. 按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 Nk l bh F75. 3 6 1015010010 6 9272 1 lFM FFSmax max ， 【例例9-10】 【解解】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院 结 构 力 学 课 程 组 9.5 9

60、.5 梁梁 的的 强强 度度 条条 件件 bhFAFS max 2/32/3 2 3. 按剪应力强度条件计算许可载荷按剪应力强度条件计算许可载荷 kNbhF103/101501001023/2 66 2 g bh h Z ZS g bh F b bF bI SF 3 4 3 12 2 33 * 3 4. 按胶合面强度条件计算许可载荷按胶合面强度条件计算许可载荷 kN bh F g 825. 3 4 1034. 0101501003 4 3 66 3 5. 梁的许可载荷为梁的许可载荷为 kNFF i 75. 3 min 【解解】 第第9章章梁梁 的的 应应 力力 水 利 土 木 工 程 学 院