第5讲 一维势场中能量本征态的一般性质

1、1 量子力学 光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院 王可嘉王可嘉 第五讲 一维势场中能量本征态的一般性质 有限深对称方势阱中的束缚态 2 第5讲目录 一、一、三论正交、归一、完备态三论正交、归一、完备态 二、二、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质一维势场中粒子能量本征态的一般性质 三三、有限深对称方势阱中的束缚态有限深对称方势阱中的束缚态 3 一、三论正交、归一、完备态（一、三论正交、归一、完备态（1 1） 态叠加原理：态叠加原理：任意量子态可按任意一组任意量子态可按任意一组正交、归正交、归 一、完备态一、完备态矢量来分解，即：矢量来分解，即： n n n c n 态矢量，也称基矢 量子

2、态, n c 展开系数 mnnm rdrr 3* )()( 1, 0, mn mn mn 归一 正交 4 一、一、三三论正交、归一、完备态（论正交、归一、完备态（2 2） 以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例：以一维无限深方势阱中粒子的波函数为例： ., 0, 0 ;0),sin( 2 )( axx ax a xn a x n , 3 , 2 , 1 n 由由, 2 )(sin 0 2 dxnx)( , 0)sin()sin( 0 nmdxmxnx ,)()( mnnm dxxx 1, 0, mn mn mn 归一 正交 由傅里叶级数可知：在由傅里叶级数可知：在 内，任意奇函数可展开为：内，任

3、意奇函数可展开为：),0(a 11 )(sin 2 )( n nn n n xc a xn c a x 完备完备 5 一、三论正交、归一、完备态（一、三论正交、归一、完备态（3 3） 数学上：数学上： 为为完备性完备性。 11 )(sin 2 )( n nn n n xc a xn c a x 物理上：物理上： 是无限深方势阱中的波函数，为是无限深方势阱中的波函数，为态叠加原态叠加原 理理的体现。的体现。 )(x n )(x n 由能量本征方程确定，构成了体系的由能量本征方程确定，构成了体系的基矢量基矢量。 如何确定如何确定 ？ n c * ( ) ( )(,) nnn cxx dx (,)

4、nnn c 和 的内积 6 一、三论正交、归一、完备态（一、三论正交、归一、完备态（4 4） dxxxc nnn )()(),( * 证明：由证明：由 1 )()( m mm xcx 1 * )()()()( m mmnn dxxcxdxxx n m mnm m mnm ccdxxxc 11 * )()( mnmn dxxx )()( * 其中：其中： 7 一、三论正交、归一、完备态（一、三论正交、归一、完备态（5 5） 处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立处于谐振子势中的粒子，由能量本征方程确定的分立 波函数：波函数： 构成一组构成一组正交、归一、正交、归一、 完备完备的基矢。这是

5、由的基矢。这是由 的正交、归一性得到的。的正交、归一性得到的。 ),()( 2/ 22 axHeAx n xa nn )(xH n 可以证明：可以证明： 具有完备性，即可将任意函数用具有完备性，即可将任意函数用 展开：展开： 即：即： mnmn dxxx )()( * )(x n )(x n 1 )()( n nn xcx 根据根据态叠加原理态叠加原理： 就是粒子在谐振势就是粒子在谐振势 下的态。下的态。 )(x2)( 2 KxxV 8 一、三论正交、归一、完备态（一、三论正交、归一、完备态（6 6） 结论：由能量本征方程解出的结论：由能量本征方程解出的 ，通常被称为态，通常被称为态 矢量，也

6、称矢量，也称基矢基矢，它们是，它们是正交、归一、完备正交、归一、完备的。无论在无的。无论在无 限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态限深方势阱还是谐振子中，粒子的量子态 都可以用都可以用 这一组这一组正交、归一、完备正交、归一、完备的基矢展开：的基矢展开： )(x n )(x 1 )()( n nn xcx 其中展开系数：其中展开系数：dxxxc nnn )()(),( * 粒子处于某一态矢粒子处于某一态矢 的的概率概率为：为：)(x n 22 ),( nn c 同时要同时要注意注意：也是粒子具有态矢：也是粒子具有态矢 对应的对应的能量能量 的的概率概率。 )(x n n E 9 二、一维势场中

7、粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(1)(1) 1 1、定态：、定态： 薛定谔方程：薛定谔方程：),(),( 2 ),( 2 2 trtrV m tr t i 若若 不显含不显含 ，则有，则有),(trV t)/exp()(),( iEtrtr E 若已知若已知 时体系处于某一个能量本征态时体系处于某一个能量本征态 ， 则在则在 后，体系状态为后，体系状态为 通常称这样的态为通常称这样的态为定态定态。由定态描述的粒子状态，测量其由定态描述的粒子状态，测量其 能量时，得到确定值能量时，得到确定值 。 0t )(r E 0t)/exp()(),( iEtrtr E 2

8、2、简并：、简并： 如果系统的能级是分立的，即如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能，若对同一个能 级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级级，有两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级 是是简并简并的。的。 n EE )/exp()( )/exp()( : 1 1 1 1 1 tiEr tiEr E E E E 10 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质( (2)2) ., 0, 0 ;0),sin( 2 )( axx ax a xn a x n 2 222 2ma n EE n , 3 , 2 , 1 n 例一、一维无限深方势阱中粒

9、子的能量本征值和本征态为：例一、一维无限深方势阱中粒子的能量本征值和本征态为： 一个能量本征值一个能量本征值 对应一个本征态对应一个本征态 ：非简并：非简并 n E)(x n 例二、一维谐振子的能量本征值和本征态为：例二、一维谐振子的能量本征值和本征态为： ,)2/1(nEE n ),()( 2/ 22 axHeAx n xa nn , 3 , 2 , 1 , 0 n 一个能量本征值一个能量本征值 对应一个本征态对应一个本征态 ：非简并：非简并 n E)(x n 11 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质( (3)3) 3 3、宇称：、宇称：函数在函数在

10、空间反演空间反演下表现出的特性。下表现出的特性。 定义空间反演算符定义空间反演算符 ：P )()( xxP 若：若： 则称则称 具有确定的具有确定的 )()()( )()()( xxxP xxxP )(x 偶宇称偶宇称 奇宇称奇宇称 例：例： cos( )cos()cos( )Pxxx 偶宇称偶宇称 奇宇称奇宇称)sin()sin()sin( xxxP 注意：注意：一般的函数没有确定的宇称！一般的函数没有确定的宇称！ 12 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质( (4)4) 4 4、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程 设质量为设质量为 的粒子沿的粒子沿 轴运

11、动，势能为轴运动，势能为m),(txV 一般情况下：一般情况下： 若若 ，则，则 时，粒子时，粒子 处于定态处于定态 ： 则有：则有： x 粒子波函数所满足的方程为：粒子波函数所满足的方程为： ),(),( 2 ),( 2 22 txtxV xm tx t i * VV )(),(xVtxV0t )/exp()(),(iEtxtx )()()( 2 2 22 xExxV dx d m 称其为定态薛定谔方程，也就是能量本征方程。称其为定态薛定谔方程，也就是能量本征方程。 13 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5)(5) 七个定理：七个定理： 定理定理

12、1 1：设设 是能量本征方程的一个解，其对应的是能量本征方程的一个解，其对应的 能量本征值为能量本征值为 ， 则则 也是能量本征方程的一个解，也是能量本征方程的一个解， 其对应的能量本征值为其对应的能量本征值为 。 )(x E )( * x E 【证证】对能量本征方程取复共轭，并注意到对能量本征方程取复共轭，并注意到 ，有：，有： * VV )()()( 2 * 2 22 xExxV dx d m 所以所以 也是能量本征方程的一个解，其对应的也是能量本征方程的一个解，其对应的 能量本征值为能量本征值为 。 )( * x E 14 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征

13、态的一般性质(6)(6) 推论推论: : 对应于能量的某个本征值对应于能量的某个本征值 ，若对应的能量本，若对应的能量本 征方程的解征方程的解 不简并，则这个解可取为实函数。不简并，则这个解可取为实函数。)(x E 【证证】： 是能量本征方程对应是能量本征方程对应 的一个解，根据定理的一个解，根据定理 1， 也是对应也是对应 的一个解，若能级不简并，则的一个解，若能级不简并，则 和和 对应的是同一个量子态：对应的是同一个量子态： )(x )( * x E E )(x )( * x )()()()()( * 2 * xCxCxxCx )()(101 * 2 xxCeCC i 令 所以所以 为实函

14、数。为实函数。)(x 15 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(7)(7) 定理定理2 2：设设 是能量本征方程的一个解，对应于能是能量本征方程的一个解，对应于能 量的某个本征值量的某个本征值 ，总可以找到能量本征方程的一组实解，总可以找到能量本征方程的一组实解， 凡是属于的凡是属于的 任何解，均可表示为这一组实解的线性叠任何解，均可表示为这一组实解的线性叠 加。加。 )(x E E 【证证】设设 是能量本征方程属于是能量本征方程属于 的解，的解， 如果如果 实数域，实数域， 不谈。不谈。 )(x E )(x)( 2 1 )( 2 1 )(xxx 如果

15、如果 复数域，由定理复数域，由定理1， 也是能量本征也是能量本征 方程属于方程属于 的解。的解。 )(x)( * x E 16 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(8)(8) 根据线性微分方程的叠加原理，这两个函数也是方程根据线性微分方程的叠加原理，这两个函数也是方程 属于属于 的解，即：的解，即： )()()( ),()()( * 2 * 1 xxixxxx E )()( 21 xx和 )( 2 1 )( 21 ix)( 2 1 )( 21 * ix 得证。得证。 令：令： 均为实数函数，从中可得到：均为实数函数，从中可得到： ),()()( 2 1

16、1 2 22 xExxV dx d m )()()( 2 22 2 22 xExxV dx d m 17 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(9)(9) 定理定理3 3：设设 具有确定的偶宇称，即具有确定的偶宇称，即 如果如果 是能量本征方程对应于能量本征值是能量本征方程对应于能量本征值 的解，的解， 则则 也是方程对应于也是方程对应于 的解。的解。 )(xV)()(xVxV )(x E )( xE 【证证】 是方程是方程 的解，令的解，令 注意到注意到 ， )(x)()()()( 2 2 22 xExxVx dx d m xx)()(xVxV 2 2

17、 2 2 )(dx d xd d 有：有： )()()()( 2 2 22 xExxVx dx d m 也是方程对应于也是方程对应于 的解。的解。)( xE 18 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(10)(10) 推论推论 : :设设 是能量本征方程对应于能量本征值是能量本征方程对应于能量本征值 的解，如果的解，如果 ，若，若 无简并，则无简并，则 具有具有 确定的宇称。确定的宇称。 )(x E )()(xVxV )(x)(x 【证证】由定理由定理3，若，若 ，则，则 和和 都都 是方程是方程 属于属于 的解，的解， )()(xVxV)(x)( x

18、)()()()( 2 2 22 xExxVx dx d m E 无简并，则无简并，则 和和 必然对应同一量子态，必然对应同一量子态，)(x )(x)( x 即：即： 另一方面，另一方面，)()(xcx)()()( xcxxP )()( )( 22 xcxPcxP但但)()( )( 2 xxPxP 1, 1 2 cc即 具有确定的宇称。具有确定的宇称。)(x 19 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(11)(11) 定理定理4 4：设设 ，则对应于任何一个能量本征，则对应于任何一个能量本征 值值 。总可以找到能量本征方程的一组解，其中的每个解。总可以找到

19、能量本征方程的一组解，其中的每个解 都有确定的宇称，而属于都有确定的宇称，而属于 的任何解，都可用它们来展开。的任何解，都可用它们来展开。 )()(xVxV )(x E )( x E E 【证证】设设 是能量本征方程属于是能量本征方程属于 的解，的解， 由定理由定理3 3， 也是方程属于也是方程属于 的一个解。的一个解。 E)()(xVxV E 令：令： )()()( ),()()(xxxgxxxf )( x 则则 和和 也是方程属于也是方程属于 的解，且的解，且)(xf)(xgE)()(xfxf )()(xgxg 具有确定的具有确定的宇称宇称。属于。属于 的解的解 和和 )(x 可以用可以用

20、 和和 来展开：来展开：)(xf )(xg )()( 2 1 )(xgxfx)()( 2 1 )(xgxfx 20 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(12)(12) 处是连续的在处是连续的，因而在 有限）（ 的一个领域内求积分： 程在发生跳变，此时可对方处，在 必定是连续的。和连续的区域，在 【证】对方程 axxaxx xxVEaa dxxxVE m dxx dx d axxxVax xxxV xxVE m x dx d x dx d a a a a )()( )()(0)0()0( )()( 2 )( )()( )()()( ),()( 2 )()

21、( 2 00 22 2 limlim 定理定理5 5： )(xV a 1 V 2 V x 0 点必定是连续的。在及其导数则能量本征函数 有限，若设 axx VV axV axV xV )()( , ;, )( 12 2 1 21 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(13)(13) 处是连续的。在 处是连续的在，若 处是连续的在和，【证】由定理 处是连续的。在时则当 为能量本征函数，有限，若设 ax axxxx axxx axx xVV axV axV xV /)(ln )(/ )(0)( )()(5 )(ln ,0)( )( , ;, )( 12 2

22、1 推论推论 : 22 二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(14)(14) 定理定理6 6： 22121 211221 122121 21 12211221 122121 2 2 2 1 2 1 00)()( 6 0)( 0) 1 ()2( )2(, 0)(2 ) 1 (, 0)(2 常数束缚态，则 是和常数，又，有【证】由定理 。都是束缚态，则和解，若 的同一能量均为能量本征方程属于和推论：设 常数 ，得到 【证】按假设 E VEm VEm 常数。则 的解，同一能量均为能量本征方程属于和设 1221 21 )()( Exx 23 二、一维势场中粒子能

23、量本征态的一般性质二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(15)(15) 定理定理7 7：设粒子在无奇点势场设粒子在无奇点势场 中运动，若存在束缚中运动，若存在束缚 态，则必定不简并。态，则必定不简并。 另行讨论。有奇点，则在奇点处要如果 级不简并。代表同一量子态，即能和 ，得到 ，两边同除推论，有束缚态，由定理 的两个量是能量本征方程属于能和【证】设 )( /ln/ln 0)/(ln/ 6 21 212121 21221121 1221 21 xV CCC E )(xV 24 三三、有限深对称方势阱中的束缚态有限深对称方势阱中的束缚态(1)(1) 设：设： . 2/|, ; 2/|, 0 )( 0 axV ax xV 2 a )(xV x 0 0 V 0 V 2 a E 粒子能量；条件粒子能量；条件E 0 0VE 2/|ax 阱外区域阱外区域 ， 能量本征方程写为：能量本征方程写为： 0)()( 2 )( 0 22 2 xEV m x dx d . 2/, ; 2/, )( axBe axAe x