第七章应力状态与应变状态

1、 材料的基本变形回顾材料的基本变形回顾 轴向拉伸压缩轴向拉伸压缩 轴的扭转变形轴的扭转变形 梁的弯曲变形梁的弯曲变形 基本假设基本假设 连续性假设、各向同性假设、均匀性假设连续性假设、各向同性假设、均匀性假设 平面假设平面假设 圣维南原理圣维南原理拉压拉压 单向受力假设单向受力假设弯曲弯曲 内力内力 轴力轴力 扭矩扭矩 弯矩、剪力弯矩、剪力 应力应力 N A P TI , zzz My IQSI b 强度强度 max max 应力应应力应 变关系变关系 E G 2 1 E G 2 2 M xd w dxEI 变形变形 N F l l EA P T ddx GI 刚度刚度 max P dT dx

2、GI max max , w LL 超静定问题超静定问题 处理方法：变形协调方程、物理处理方法：变形协调方程、物理 方程与平衡方程相结合，求全部方程与平衡方程相结合，求全部 未知力。未知力。 梁的弯曲回顾梁的弯曲回顾 弯曲内力弯曲内力 剪力-弯矩 剪力图-弯矩图 剪力-弯矩与载荷集度的关系 弯曲应力弯曲应力 对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的非对称弯曲 斜弯曲、拉(压)弯曲组合 弯曲变形弯曲变形 挠曲线方程-积分法求解 位移叠加法 静不定梁的计算 梁的刚度条件 计算简图：梁的类型，支座形式 剪力、弯矩的正负符号，剪力弯矩方程 Q x M d dd d Q q x z I My

3、bI SF z zS ; M x w 2 2 d dd d w x 载荷叠加、逐段钢化 静定基 max max , L w L w 惯性矩，平行轴定理 合理强度设计 合理刚度设计 71 应力状态的概念应力状态的概念 72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 73 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法 74 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 75 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律（广义虎克定律） 78 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 7 应力状态的概念应力状态的概念 一、引言一、引言 1、铸铁与

4、低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ M 低碳钢 铸铁P P 铸铁拉伸 P 铸铁压缩 2、组合变形杆将怎样破坏？ M P x x y x x y 拉拉 中中 有有 剪剪 x x 根据微元根据微元 的局部平衡：的局部平衡： x y x x y 剪剪 中中 有有 拉拉 yx xy yx xy 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存不仅横截面上存在应力，斜截面上也存 在应力；不仅要研究横截面上的应力，而在应力；不仅要研究横截面上的应力，而 且也要研究斜截面上的应力。且也要研究斜截面上的应力。 2、应力的三个重要概念、应力的三个重要概念 应力的点的概念应力的点的概念; 应力的面的概念应力的面的概念;

5、应力状态的概念应力状态的概念. 横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明： 同一面上不同点的应力各不相同，此即同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的应力的 点的概念点的概念。 Q F Mz N F 微元平衡分析结果表明：即使同一点微元平衡分析结果表明：即使同一点 不同方向面上的应力也是各不相同的，此不同方向面上的应力也是各不相同的，此 即即应力的面的概念应力的面的概念。 x y x yx xy x x y x 过一点不同方向面上应力的集合，称之过一点不同方向面上应力的集合，称之 为这一点的为这一点的应力状态应力状态（State of the Stre

6、sses of a Given Point）。）。 应应 力力 哪一个面上哪一个面上？ 哪一点哪一点？ 哪一点哪一点？ 哪个方向面哪个方向面？ 指明指明 四、普遍四、普遍状态状态下的应力表示下的应力表示 三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为 这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 x y z x z y xy 二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 三、单元体三

7、、单元体： x y z x z y xy 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分 量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相 离。 0 : z M单元体平衡证明 0d)dd(d)dd(yxzxzy yxxy yxxy 五、剪应力互等定理（五、剪应力互等定理（Theorem of Conjugate Shearing Stress): zx 六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）： 例例11 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 PP A A x x M P x y z B C x x B xz C xy yx 三、基本变形的应力状态三、基本变形的

8、应力状态 1、单向拉伸和压缩 2、扭转 3、纯弯曲 4、横力弯曲 平面应力状态平面应力状态 与与Z轴相关的应力为零轴相关的应力为零 四、为什么要进行应力状态分析？四、为什么要进行应力状态分析？ 1、材料力学的强度理论一般是基于主应力的。对于处于一般、材料力学的强度理论一般是基于主应力的。对于处于一般 受力状态下的微体，要对单元体不同方位微面上的应力变形进受力状态下的微体，要对单元体不同方位微面上的应力变形进 行分析，以确定主应力的方位和大小。行分析，以确定主应力的方位和大小。 2、可以加深对应力是一个张量的理解，不同方位微面上的应、可以加深对应力是一个张量的理解，不同方位微面上的应 力值对应于

9、应力张量的坐标变换。力值对应于应力张量的坐标变换。 3、应力状态分析是学习弹性体力学的基础。、应力状态分析是学习弹性体力学的基础。 七、主单元体、主平面、主应力：七、主单元体、主平面、主应力： 主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主平面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。 主应力(Principal Stress ）： 主平面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小， 321 1 1 2 2 3 3 x y z x y z 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。

10、二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 A x x zx x x B xz 72 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 等价等价 x xy y x y z x y x xy y O 平面应力状态一般形式平面应力状态一般形式 示例一示例一： FP l/2 l/2 S平面平面 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 1 x 1 2 2 x 2 2 3 3 3 S平面平面 4 Pl F M z 2 P F 示例二示例二FP l

11、 a S x z y 4 3 2 1 S平面平面 y x z Mz FQy Mx 4 3 2 1 1 p x W M 1 z z x W M 1 4 3 p x W M 3 p x W M 4 z z x W M 4 规定： 截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。 图1 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得： Fn0 0cossinsin sincoscos 2 2 SS SSS yxy xyx 一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力 x y x xy y O y yx x x y O n 图2 图1 x y x xy y O y yx x x y O n 图2 2s

12、in2cos 22 xy yxyx 2cos2sin 2 xy yx 考虑剪应力互等和三角变换，得： 同理： 02cos22sin: 00 0 xyyx d d 令 二、极值应力二、极值应力 yx xy 2 2tg 0和两个极值：）、（ 由此得两个驻点： 2 0101 ！极值正应力就是主应力 0 0 x y x xy y O ） 2 2 22 xy yxyx m in m ax （ 1在剪应力相对的象限内， 且偏向于x 及y较大的一侧。 0 d d : 1 令 xy yx 2 2tg 1 0 10 45 , 4 面成即极值剪应力面与主平 22 2 x y yx min max ）（ x y x

13、 xy y O 主 单元体 2 1 max2max1 ; 例例2 分析受扭构件的破坏规律。分析受扭构件的破坏规律。 解：确定危险点并画其原 始单元体 求极值应力 0 yx P n xy W M 2 xy xy C yx M C x y O xy yx 22 2 1 22 xy yxyx ）（ 破坏分析 321 ; 0; 45 2 2tg 00 yx xy 0 11 00 2 2tg xy yx MPa200;MPa240: ss 低碳钢 MPa300198;MPa960640 MPa28098: byb Lb 灰口铸铁 低碳钢 铸铁 22 min max 2 xy yx ）（ 73 平面应力状

14、态分析平面应力状态分析图解法图解法 2cos2sin 2 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 2 2 2 2 22 xy yxyx 对上述方程消去参数（2），得： 一、应力圆（一、应力圆（ Stress Circle） x y x xy y O 此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆， 由德国工程师：Otto Mohr引入） y xyx x x y O n 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 二、应力圆的画法二、应力圆的画法 在坐标系内画出点A( x，xy)和 B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆应力圆； x xy y x y O

15、n O C A( x , xy) B( y , yx) x 2 n D( , 以上由单元体公式以上由单元体公式 应力圆（原变换）应力圆（原变换） 下面寻求：下面寻求： 由应力圆由应力圆 单元体公式（逆变换）单元体公式（逆变换） 只有这样，应力圆才能与公式等价只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？ 为什么说有这种对应关系？为什么说有这种对应关系？ 22 2 2222 2222180 00 00 cossin cos)cosR(sin)cosR( )sin(R)(sinRDE xy yx o 22 22 2222 2 2

16、2 2 22180 2 00 0 0 sincos )sinsincos(cosR )cos(R )(cosR ECOCOE xy yxyx yx yx oyx 0 C A( x , xy) B( y , yx) x 2 n D( , E 2 0 0 x xy y x y O n O C A( x , xy) B( y , yx) x 2 n D( , 三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， ) 面的法线 应力圆的半径 两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 22 3 1 22 xy yxyx ROC ）（ 半径 四、在应力圆上标出

17、极值应力四、在应力圆上标出极值应力 22 minmax min max 2 2 xy yx R ）（ 半径 O C A( x , xy) B( y , yx) x 2 1 1 min max 2 0 0 1 2 3 30080 , , yx 例例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体 30 80 单位：单位：MPa 80 30 1 3 O A (80, 3080, 30 B C x y D 1、取、取 的中点的中点C为圆心为圆心 yx , 以以 AC 为半径画莫尔圆为半径画莫尔圆 2、算出心标、算出心标 0C = -40，半径，半径 3、算出主应

18、力、切应力极值、算出主应力、切应力极值 50 22 DCADACR 4、算出方位角、算出方位角 MPa MPa RC 90 10 0 3 1 MPaR - minmax 50 5、画出主单元体、画出主单元体 （1）A点对应于右垂面点对应于右垂面 （2）右垂面）右垂面顺顺时针转时针转 1 3 O A (80, 3080, 30 B C x y D o 2 5771 2 8636180 8636 0 . . . DC AD tg arcACD 30 80 单位：单位：MPa 80 2 1 o 得主单元体的最大得主单元体的最大 拉应力所在的面拉应力所在的面 （3）垂直做主单元体的）垂直做主单元体的

19、另一个面另一个面 o 3 例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 45 325 325 95 150 A B 1 2 解法1图解法： 主应力坐标系如图 AB的垂直平分线与 轴的交点C便是 圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆应力圆 0 1 2 B A C 20 (MPa) (MPa) O 20MPa )325,45(B )325,95(A 在坐标系内画出点 3 1 2 B A C 20 (MPa) (MPa) O 20MPa 主应力及主平面如图 30 0 45 325 325 95 150 1 0 2 A B MPa 0 MPa 20 MPa 120 3 2 1 2co

20、s2sin 2 xy yx 45 325 325 95 150 解法2解析法：分析建立坐标系如图 xyyx y MPa325 MPa45 ? x 22 2 1 22 xy yxyx ）（ 60 x y O MPa325 MPa95 0 0 60 60 Christian Otto Mohr (1835-1918) Blaise Pascal (1623-1662) 三向应力状态三向应力状态三个主应力均不为零三个主应力均不为零 的应力状态。的应力状态。 特例特例三个主应力中至少有一个大小三个主应力中至少有一个大小 及其主方向是已知的。据此，平面应力及其主方向是已知的。据此，平面应力 状态即为三向

21、应力状态的特例。状态即为三向应力状态的特例。 74 复杂应力状态研究复杂应力状态研究应力圆法应力圆法 z x y xy yx 至少有一个主应力及其主方向已知至少有一个主应力及其主方向已知 y xy yx x z 三向应力状态特例的一般情形三向应力状态特例的一般情形 【例8-2】 二向应力状态。二向应力状态。 空间应力状态空间应力状态 2 1 x y z 3 1 2 3 1 1、空间应力状态、空间应力状态 2 2、三向应力分析、三向应力分析 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应 力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 图图a 图图b 整个单元体内的最大剪应力为： max 2 31

22、 max 2 1 x y z 3 1 2 3 例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） 解：由单元 体图知：y z面为主平 面 50 1 建立应力坐标系如 图，画应力圆和 点1,得: 27 50 58 3 2 1 44 max 5040 x y z 30 10 (M Pa) （M Pa ） A B C A B 1 2 3 max 应力状态的分类应力状态的分类 1. 拉伸型拉伸型 2. 压缩型压缩型 3. 混合型混合型 8-7 应变分析应变分析 1.应变状态概念应变状态概念 应变状态应变状态概念与应力状态概念相对应。概念与应力状态概念相对应。 1）凡提到应变，必须指明是哪一）凡提到应

23、变，必须指明是哪一点点，沿哪个，沿哪个方向方向。 2）一点应变状态，即指通过一点不同方向上的应变情况；）一点应变状态，即指通过一点不同方向上的应变情况； 或指所有方向上应变分量的集合，应变分析就是研究或指所有方向上应变分量的集合，应变分析就是研究一点不一点不 同方向上同方向上应变的变化规律。应变的变化规律。 3）与空间一般应力状态的九个应力分量相对应，空间一般）与空间一般应力状态的九个应力分量相对应，空间一般 应变状态也有应变状态也有九个应变分量九个应变分量： 同样有同样有 同样可以应用解析法或应变圆法找到某一空间方位上的三个主应变同样可以应用解析法或应变圆法找到某一空间方位上的三个主应变 同

24、样约定同样约定 对于各向同性材料，对于各向同性材料，应力主轴应力主轴与与应变主轴应变主轴是重合的。是重合的。 2.平面应变分析平面应变分析 平平 面面 应应 变变 分分 析析 分析计算得到分析计算得到 同样有同样有 平平 面面 应应 变变 圆圆 平面一般应变状态平面一般应变状态 平面一般应力状态平面一般应力状态 75 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律（广义虎克定律） 一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系 二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关系 G xy xy )( 0 x,y,zi i 0 zxyz x y z x x y

25、 z x y E x x xy E xz E ) 0 x,y,z(i,j ij 三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 - - 应变关系应变关系 依叠加原理,得: zyx z y x x E EEE 1 xzyy E 1 yxzz E 1 G xy xy G yz yz G zx zx zyxx E 1 x y z z y xy x 主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系 四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系: : 0 zxyzz 方向一致 1322 1 E 1233 1 E 3211 1 E xyxy G yxx E 2 1 xyy E 2 1 1 3 2 0 2

26、tg 2 yx xy yx xy 0 2tg 主应力与主应变主应力与主应变方向一致。方向一致。 0 2 0 2tg )( )1)( 1 22 2tg yx xy yx xy yx xy E G 五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系 321 aaaV )1 ()1 ()1 ( 3322111 aaaV 321 1 V VV 体积应变： )( 21 )( 21 321 zyx E E 体积应变与应力分量间的关系: 1 3 2 a1 a2 a3 例例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别 为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa

27、，泊松比 为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 0 3 :自由面上解所以，该点处为平面应力状态 1 2 MPa3 .4410)1603 . 0240( 3 . 01 10210 1 6 2 9 21 2 1 E MPa3 .2010)2403 . 0160( 3 . 01 10210 1 6 2 9 12 2 2 E 66 9 132 103 .3410)3 .443 .22( 10210 3 . 0 E ;MPa3 .20; 0;MPa3 .44 321 334 2 . 10-6 例例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内 压力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应

28、变 t =350l06， 若已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应 力表达式；2.计算容器所受的内压力。 p O D x AB y 图a p p p x t m L 1、轴向应力:(longitudinal stress) 解：容器的环向和纵向应力表达式 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 4 2 DpD m 4 pD m p m m x D 图b 用纵截面将容器截开，取长为L的一部 分为研究对象，受力如图c所示 2、环向应力：(hoop stress) Dlpl t 2 2 pD t

29、 3、求内压（以应力应变关系求之） 2 4 1 E pD E mtt MPa36. 3 )25. 02(5 . 0 1035001. 0102104 )2( 4 69 D E p t t m 外表面 y p t t D d )d 2 (Dlp z 图c O 76 平面内的应变分析平面内的应变分析 x y O 一、叠加法求应变分析公式一、叠加法求应变分析公式 cosd 11x aDD 2 1 cos x 2sin /cos sin sin/ cos 1 x xx a a b b BOEAOD ab c d A O B 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应） D D1 E E1 sin

30、d 22y cDD 2 2 sin y 2sin /cos sin /cos sin 2 y yy c c c c BOEAOD x y O ab c d A O B D D2 E E2 cosd 33xy cADd soc xysin3 22 33 sincos /cos cos sin/ sin xy xyxy c c c c BOEAOD D D3 E E3 xy xy x y O ab c d A O B cossinsincos 22 3 1 xyyx i i 2sin2cos 22 xy yxyx 2cos2sin 2 xy yx 22 3 1 sincos2sin2sin xyy

31、x i i 2sin 2 1 2cos 22 xy yxyx 2cos 2 1 2sin 22 xy yx 2、已知一点A的应变（ ），画应变圆 xyyx , 二、应变分析图解法二、应变分析图解法应变圆应变圆（ Strain Circle） 22 ; 2 ; 1、应变圆与应力圆的类比关系 建立应变坐标系如图 在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2) AB与 轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。 /2 /2 A B C /2 /2 三、三、 方向上的方向上的应变与应变与应变圆的对应关系应变圆的对应关系 maxmin 20 D(，/2) 2 n 方向上的应变(

32、 ， /2) 应变圆上一点(， /2) 方向线 应变圆的半径 两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。 A B C 四、主应变数值及其方位四、主应变数值及其方位 22 min max 2 1 xyyxyx ）（ 22 ; 2 ; yx xy 0 2tg 22 min max 22 xy yxyx ）（ yx xy tg 2 2 0 例例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3 方向上的线应变分 别为 1、 2、 3，求该面内的主应变。 解：由 iixyiyix i cossinsincos 22 i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后再求主应变。 22 min max 2 1 xyyxyx ）（ 例例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。 x y u 45o0 max 2)( 2 1 22 max ）（）（ yuuxyx 2)( 2 1 22 min ）（）（ yuuxyx yx yxu 22tg 0 7 78 8 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 332211 2 1 2 1 2 1 u )( 3 1 321 m 2 3 1 图图 a 图图 c 3 - m 1- m 2- m ba E )( 21 321 0 c 312321 2 3 2