第三章 连续时间信号与系统的频域 (2)

1、 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n1.1.周期信号的傅里叶级数分析周期信号的傅里叶级数分析 n根据傅里叶级数理论，任何满足满足狄里 克雷(Dirichlet)条件的周期连续信号 都可表示为无限多个、频率为基频倍数的 复正弦信号的加权和，若 其 中， 为任何整数， 为周期， 为基频， 为相应的角频率，则 tf kTtftf k T T f 1 1 T f 2 2 11 1 0 1 0 1 jnt n n tT jnt n t f tF e Ff t edt T 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级傅里叶级 数数 n1.1.周期信号的傅里叶级数分

2、析周期信号的傅里叶级数分析 n 用FS分析是对周期信号进行 谐波分解，即用谐波加权和来合成信号，因 此，FS分析又称为谐波分析谐波分析。 nFS分析是一个正交级数展开分析正交级数展开分析。 1 jnt n n f tF e 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱 n（1）采样序列 的FS和FT n T nTtt T dtemTt T F Tt t tjn m n 110 0 1 1 1 111 1 nn tjn n T ne T nTtt （1）采样序列的FS和FT 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数

3、傅里叶级数 n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱 n（2）周期信号的FT离散谱 00 1 00 , 0, f ttttT ft tttT 11 11 nn T n f tftnTfttnT fttnTftt 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱 n（2）周期信号的FT离散谱 n周期信号的频谱是离散离散的，并且在 的谱线强 度为 n给出了利用利用FTFT计算计算FSFS系数的方法系数的方法 1111111 nn f tFnF nn 1 2 n n f tFn 11 1 nF T Fn 1 n 111 2nFFn

4、 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱 n（2）周期信号的FT离散谱 n对实周期信号实周期信号有 ，于是有正余弦分量正余弦分量 形式形式的FS展开式 11 001 11 011 1 cos cossin jntjnt nnnn nn nn n f tFF eF eccnt aantbnt nn FF 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n2.周期信号傅里叶变换的物理意义离散谱离散谱 n（2）周期信号的FT离散谱 n两种展开形式的系数之间的关系是 n通过谐波分析，周期信号可表示为无限多个、频

5、无限多个、频 率为基频倍数、幅度为率为基频倍数、幅度为 、相位为、相位为 的余弦的余弦 信号之和信号之和。 000 Im ,2,arctan Re n nnn n nnnnnn F acF cF F aFFbj FF ， ， 2 n F n 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（1）周期信号的FS分析步骤 n步步1.1. 截取与周期信号 相应的非周期信号 ， 并计算其FT表示式 ； n步步2.2. 计算周期信号 的 后，得其指数形式的 FS展开式，并计算其离散谱，画出其离散幅度谱 和离散相位谱； n步步3.3. 计算周期信号 的谐波

6、形式或正余弦形式 的FS展开式。 tf tf1 1 F tf n F tf 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典型周期信号的FS分析 n例3-17：周期矩形脉冲信号 n以幅度为E的窗函数 为基周期、占空比 的周期矩形脉冲信号 EGt 1 T 1 2 FE Sa 1 2 n nEEn FSaSa TTT 1 1 1 1 2cos jn t nn EnEn ftSaeSan t TTTT 矩形 周期矩形脉冲信号的FS和FT 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典

7、型周期信号的FS分析 n例3-17：周期矩形脉冲信号 n特殊的，当占空比 时， 为方波信号 n方波信号只有直流分量和奇次余弦分量只有直流分量和奇次余弦分量，并且谐 波幅度呈倒数衰减规律波幅度呈倒数衰减规律 1 2T 1 1 1 1 1 ,21 21 22 0,2 12 cos21 221 m n m m E nmEn FSam nm EE ftmt m 方波 tf 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典型周期信号的FS分析 n例3-18：三角脉冲信号 n以三角窗函数 为基周期的周期三角脉冲信号 1 T EBt 2 11 1 2

8、4 ETT FSa 2 111 1 2 2 2 1 24 2 ,21 21 22 0,2 n ETnT FSa T E nm En mSa nm 例3-18：三角脉冲信号 n三角脉冲信号只有直流分量直流分量和奇奇 次余弦分量次余弦分量 n谐波幅度呈平方倒数衰减规律平方倒数衰减规律， 即比方波的衰减规律要快比方波的衰减规律要快 21 2 1 41 cos21 221 n EE ftmt m 三角 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典型周期信号的FS分析 n例3-19：锯齿脉冲信号 n以锯齿波窗函数 为基周期的周期锯齿脉冲信 号

9、 1 1 T Et Gt T 1 11 1 1 11 222 cos 22 T TTEE ftGttt T TT ESaE 11 1 cos 22 TTE FSa j 例3-19：锯齿脉冲信号 n锯齿脉冲信号只有正弦分量正弦分量 n谐波幅度呈倒数衰减规律倒数衰减规律，与方 波的衰减规律相同 1 1 1 1 sin n n E ftnt n 锯齿 1 11 0,0 1 cos 1 ,0 2 n n n E FSa nn E Tjnn j n 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典型周期信号的FS分析 n例3-20：半波余弦脉冲信

10、号 n以半波余弦窗函数 为基周期的周期半 波余弦脉冲信号 1 1 2 cos T Et Gt 1 cosftt ft 半波方波 例3-20：半波余弦脉冲信号 n半波余弦脉冲信号只有直流分量、基直流分量、基 波余弦分量和偶次余弦分量波余弦分量和偶次余弦分量 n谐波幅度呈倒数平方衰减规律倒数平方衰减规律 1 111 1 1 11 2 1 1 coscos 21cos 2 221 12 coscos 2 241 m m m m EE fttmtmt m EEE tmt m 半波 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典型周期信号的FS

11、分析 n例3-21：全波余弦脉冲信号 n以全波余弦窗函数 为基周期的周期全 波余弦脉冲信号 1 1 2 cos T Et Gt 1 2cosftftEt 全波半波 例3-21：全波余弦脉冲信号 n全波余弦脉冲信号只有直流分量和偶直流分量和偶 次余弦分量次余弦分量，这些分量的幅度都是半幅度都是半 波的两倍波的两倍，并且半波中存在的基波分半波中存在的基波分 量已不复存在量已不复存在。这是因为全波信号的全波信号的 实际周期已减为半波的一半实际周期已减为半波的一半。 1 1 2 1 cos 22 11 41 m m mtE ft m 全波 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级

12、数 n3.典型周期信号的FS分析 n（2）典型周期信号的FS分析 n例3-22：导通角 的余弦脉冲波 n幅度为E、导通角为 的余弦窗函数是： 其中， ，即 以它为基周期的周期脉冲波是高频丙类功率放大以它为基周期的周期脉冲波是高频丙类功率放大 电路中使用的输出电流波形电路中使用的输出电流波形 1 coscosEtGt 1 coscosfttft 矩形 2 2 cos 2 cos 1 T 例3-22：导通角2余弦脉冲波 11 1 1 1 2 1 coscos12cos sincossincoscos cos sinsincos 2cos 1 m m ftEtSa mmt t E mmm mt m

13、m 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n4.对称性与FS系数的关系 n当实信号实信号 满足某对称性时，其FS展开式中的 有些项就不会出现，致使展开式相对简单。信号 对称性分为对整周期而言的偶函数偶函数和奇函数奇函数，以 及对半周期而言的奇谐函数奇谐函数和偶谐函数偶谐函数。 n当周期信号 为实偶函数实偶函数时，其频谱为实偶函频谱为实偶函 数数，因此 ，使得 ，因此FS展开 式中无正弦项无正弦项。这是很容易理解的，因为实偶信 号中不可能含有具有奇对称性的正弦分量不可能含有具有奇对称性的正弦分量。 tf tf nn FF 实数 0 n b 3-3 周期信号的频域分析周

14、期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n4.对称性与FS系数的关系 n周期信号 为实奇函数实奇函数时，其频谱为虚奇函数虚奇函数， 因此 ，使得 ，因此FS展开式中 无直流项无直流项，也无余弦项无余弦项。因为实奇信号中不可能不可能 含有具有偶对称性的直流和余弦分量含有具有偶对称性的直流和余弦分量。 n例如，周期矩形波、周期三角脉冲信号、半波余 弦脉冲信号、全波余弦脉冲信号和导通角为 的余弦脉冲波都是偶对称，它们都只含有直流分 量和余弦分量，而锯齿脉冲信号奇对称，它只含 有正弦分量。 tf nn FF 虚数 0 n a 2 3-3 周期信号的频域分析周期信号的频域分析傅里叶级数傅里叶级数 n4.对称性与FS系数的关系 n周期信号 满足 时， 使得 ，这样 ，从而 有 ，这意味着，周期信号 无直流分量无直流分量 和偶次谐波分量，仅含有奇次谐波分量和偶次谐波分量，仅含有奇次谐波分量。因此， 把它称为奇谐信号奇谐信号。 n周期信号 满足 时， 使得 ，这样 ，从而 有 ，这意味着，周期信号 无奇次谐波无奇次谐波 分量，仅含有偶次谐波分量分量，仅含有偶次谐波分量。因此，我们把它称 为偶谐信号偶谐信号。 tf 2 T f tft 11 2 T ftft 2 11 T j FFe jn nn FF e 2 0 m F tf tf 2 T f tft 11 2 T ftft 2 11 T j FF