2020-2021学年数学第三册教案：第5章5.25.2.1　第2课时　等差数列的性质含解析

1、学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年数学新教材人教b版选择性必修第三册教案：第5章 5.2 5.2.1第2课时等差数列的性质含解析第2课时等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.理解等差中项的概念（重点)2掌握等差数列中两项及多项之间的关系(重点、易错点)3能灵活运用等差数列的性质解决问题（难点)1。借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养2通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养。高斯怎么计算123100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？1等差中项如果x，a，y是等差数列,那么称a为x与y的等差中项，且a.在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一

2、项的等差中项思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？提示是2等差数列的性质an是公差为d的等差数列，若正整数s，t，p,q满足stpq，则asatapaq.特别地,当pq2s(p，q，sn）时，apaq2as.对有穷等差数列，与首末两项“等距离的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.思考2：在等差数列an中,2anan1an1（n2)成立吗？2anankank（nk0）是否成立?提示令stn，pn1,qn1，可知2anan1an1成立;令stn，pnk，qnk,可知2anankank也成立拓展:(1）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列（2）

3、若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数）是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kn)是公差为2d的等差数列(3)若an,bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数）是公差为pd1qd2的等差数列（4)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0an为递减数列；d0an为常数列1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”）（1）等差数列an中，必有a10a1a9.()（2）若数列a1,a3，a5，和a2,a4，a6,都是公差为d的等差数列，则a1，a2,a3，a4，是等差数列（）(3）若an是等差数列，则|an|

4、也是等差数列（)(4)若an是等差数列,则对任意nn都有2an1anan2.（）答案（1)（2)（3)（4）2在等差数列an中，若a35，a57，则a7()a1 b9 c1 d6b由题意可知a3a72a5，a72a5a31459，故选b.3在等差数列an中，已知a4a816,则a2a10(）a12 b16 c20 d24b在等差数列中，由性质可得a2a10a4a816.417，13的等差中项为_15设a为其等差中项，则a15。等差中项及其应用【例1】（1）在1与7之间顺次插入三个数a,b，c使这五个数成等差数列，求此数列；(2）已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nn,p，q为常数）

5、，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值解（1）1，a,b,c,7成等差数列，b是1与7的等差中项b3.又a是1与3的等差中项，a1。又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1,1，3，5，7。(2）由x13,得2pq3，又x424p4q,x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q,即q1,将代入，得p1.所以pq1.三个数a，b，c成等差数列的条件是b，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nn).1已知a，b，则a，b的等差中项为（）a。 b。 c。 d。a因为ab2,所以a，b的等差中项为。等差数列性质的应用【例2

6、】在公差为d的等差数列an中(1)已知a2a3a23a2448，求a13；(2)已知a2a3a4a534,a2a552，求d.思路点拨解答本题可以直接转化为基本量的运算，求出a1和d后再解决其他问题，也可以利用等差数列的性质来解决解法一：(1)化成a1和d的方程如下:（a1d）（a12d）(a122d)(a123d）48，即4(a112d)48。4a1348。a1312。(2）化成a1和d的方程如下：解得或d3或3。法二：(1）根据已知条件a2a3a23a2448,及a2a24a3a232a13.得4a1348，a1312.（2）由a2a3a4a534，及a3a4a2a5得2（a2a5)34,

7、即a2a517。解得或d3或d3.1利用等差数列的通项公式列关于a1和d的方程组，求出a1和d，进而解决问题是处理等差数列问题的最基本方法2巧妙地利用等差数列的性质，可以大大简化解题过程3通项公式的变形形式anam（nm）d（m，nn），它又可变形为d，应注意把握,并学会应用2设数列an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321,则a5b5_。35法一:设数列an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1）（b12d2）（a1b1)2(d1d2）72（d1d2)21,所以d1d27，所以a5b5(a3b3)2（d1d2)212735.法二:数列an，bn都是等差数列，数列anbn

8、也构成等差数列，2（a3b3）(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.等差数列的设法与求解探究问题1对于三个数成等差数列，某班同学给出了以下三种设法：(1)设这三个数分别为a，b,c.（2）设该数列的首项为a，公差为d，则这三个数分别为a,ad，a2d。(3)设该数列的中间项为b，公差为d，则这三个数分别为bd，b，bd。那么，哪种方法在计算中可能更便捷一些？提示方法(3）可能更便捷一些2如果四个数成等差数列，如何设更方便运算?提示可以设四个数分别为a3d，ad,ad，a3d.【例3】已知四个数成等差数列,它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数解法一：设这四个数分别为

9、a,b，c,d，根据题意,得解得或这四个数分别为2,5，8，11或11,8，5，2.法二：设此等差数列的首项为a1,公差为d，根据题意，得化简，得解得或这四个数分别为2,5，8，11或11，8，5，2。法三：设这四个数分别为a3d，ad,ad，a3d，根据题意,得化简，得解得这四个数分别为2,5,8，11或11,8，5,2。1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列2当已知数列有2n项时，可设为a（2n1）d,a3d，ad,ad,a3d，a（2n1)d，此时公差为2d.3当已知数列有2n1项时,可设为and,a（n

10、1)d，ad,a，ad，a（n1）d，and，此时公差为d.3三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数解设这三个数依次为ad，a，ad,则解得这三个数为4,3，2。1若数列an满足2anankank(n，kn，nk）an为等差数列2等差数列的性质:(1)在等差数列an中，当mn时，d为公差公式,利用这个公式很容易求出公差，还可变形为anam(nm）d。(2)等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列（3)等差数列an中,若mnpq,则amanapaq(n,m，p，qn），特别地，若mn2p,则aman2ap.3等差数列an中，首

11、项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量1在等差数列an中，a25，a633，则a3a5（)a36b37c38d39ca3a5a2a653338。2已知等差数列an,则使数列bn一定为等差数列的是（）abnanbbnacbndbna数列an是等差数列，an1and(常数）对于a：bn1bnanan1d,正确；对于b不一定正确,如ann，则bnan2，显然不是等差数列;对于c，d：及不一定有意义，故选a。3若5，x,y，z,21成等差数列，则xyz_.395,x，y，z,21成等差数列，y是5和21的等差中项也是x和z的等差中项,5212y，y13，xz2y26,xyz39。4已知等差数列an中，a7a916,a41,则a12_。15在等差数列an中，由于a7a9a4a12，所以a12(a7a9)a416115。5在等差数列an中,已知a2a5a89，a3a5a721，求该数列的通项公式解因为a2a5a89，a3a5a721，a2a8a3a72a5，所以a53.法一：a3a72a56。所以a3a77。由解得a31,a77或a37,a71。当a31时，d2;当a37时，d2.由ana3（n3）d，得an2n7或an2n