第三章边界效应2014

1、L/O/G/O 锅炉压力容器安全锅炉压力容器安全 中国地质大学（武汉）工程学院 安全工程系 倪晓阳 第三章第三章 第三节第三节 圆筒壳的边界效应圆筒壳的边界效应 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 目录目录 基本概念基本概念 挠度微分方程及求解挠度微分方程及求解 圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应 Click to add title in here 5 1 2 3 4圆筒壳与厚平板连接时的边界效应 对圆筒壳边界效应的结论 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 一、基本概念一、基本概念 承受内压的圆筒形元件，总是和其他相应的元件 封头、管板、端盖等连接在一起，组成一个封闭 体，才能

2、承受内压，以满足使用要求。 在圆筒元件与其他元件相接之处，承受内压之后， 其变形和受力情况与非连接部位有很大不同，这是 圆筒与相连元件在相连处变形不一致、互相约束造 成的。 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 1、半径增量、半径增量 以圆简与凸形封头连接为例(见图312)， 连接线上各点是圆筒与封头的公共点。作 为圆筒简身上的点，承受内压后其径向位 移Rt可按以下关系求出。 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 图3-12圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应 根据广义虎克定律，环向应变为： = )2 ( 2 ) 2 p E 1 - E 1 E pRpRR （ 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 分析环向应变与径向位移的关系

3、，有： 因此， 同样可以求出，作为封头上的点，连接处承受内压 后的径向位移Rf为： R R R RRR tt 2 2)(2 )2( 2 RR 2 t E pR )2( 2 R 2 2 f y E pR 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 式中，y=a/b，是凸形封头长轴与短轴之比，或长半径与 短半径之比。对标准椭球封头，y=2，因而有： 即是说，在连接线上，作为筒身的一部分应沿径向向外位 移Rt;作为封头的一部分，应沿径向向外或向内位移Rf, 但封头在连接线上的径向位移量总是不向于简身在连接线 上的径向位移量，筒身向外的径向位移总是大于封头向外 的径向位移。 实际情况是，连接线上的点在承受内压后只能有

4、一个径向 位移，最后的变形位置只能在二者单独变形的中间位置， 这样才能保持构件在连接处变形后是连续的。即二者在连 接处互相约束限制。 )2( 2 R 2 E pR f 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 剪力剪力封头封头弯矩弯矩 受到封头的约束和限制，端部产生受到封头的约束和限制，端部产生“收口收口”弯曲变弯曲变 形，以抵消内压作用于圆筒所产生的向外径向位移形，以抵消内压作用于圆筒所产生的向外径向位移 。 圆筒圆筒 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 薄壁圆筒的抗弯能力很差，上述附加弯矩和剪力有时会在 连接部位产生相当大的弯曲应力，甚至超过由内压造成的 薄膜应力。但这种现象只发生在不同形状的元件相连接的 边界

5、区域，所以叫做“边界效应”。由边界效应产生的应 力叫“不连续应力”，这是抵消不同元件在连接处变形不 连续，保持实际上的变形连续在元件内出现的局部附加应 力。 分析边界效应实际上是分析圆筒壳的弯曲问题，而圆筒弯 曲问题比梁的弯曲问题要复杂得多。 梁在受到弯曲时，其变形比较自由，因为梁的宽度较小，在宽度方向没有受到约束梁在受到弯曲时，其变形比较自由，因为梁的宽度较小，在宽度方向没有受到约束 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 圆筒壳可以被想象成是由许多沿轴线并排的、互相靠近的 细长梁所构成，每条细长梁都夹在两边相邻细长梁之间， 受到其约束和限制。圆筒壳轴向承受弯曲时，相当于各条 细长梁都承受弯曲，由于每条

6、细长梁在宽度方向(圆周方 向)与其他细长梁连在一起，在宽度方向变形受到限制， 因而，为了保持变形协调，圆筒壳受弯曲时不仅横截面内 有弯矩和剪力，其纵截面内也有弯矩和剪力。这些弯矩、 剪力是沿圆周均匀分布的，是单位长度(宽度)上的弯矩和 剪力，因而弯矩的单位是Ncm/cm或Nmmmm，剪力 的单位是Ncm或Nmm。 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 简言之，对圆筒壳分解成的纵向梁条，如无封头限制，承受内压后应 整体沿圆筒径向向外位移；封头对圆筒的限制相当于在纵向梁条端部 加上集中载荷，使梁条产生弯曲变形，而相邻梁条从两侧限制了纵向 梁条的弯曲变形。而且，纵向梁条的弯曲变形倾向越大，相邻梁条的 约束和限

7、制力也越大。这有点像置于弹性地基上的铁软弹性基础 上的梁。当车轮作用于铁轨使其发生弯曲变形时，弹性地基给铁软以 反弯曲的约束力，减弱和抵消铁软的弯曲变形。车轮给铁轨的作用力 越大，铁轨下陷弯曲的倾向越大，弹性地基对铁轨的反作用力也越大。 由于弹性地基的约束作用，使铁轨的弯曲变形仅限于车轮附近。在经 典力学中正是从分析弹性基础上的梁入手，分析处理圆筒壳的弯曲 问题。 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 二、挠度微分方程及求解二、挠度微分方程及求解 对于承受横向连续均布载荷的普通 梁，其挠度 (x)随轴向坐标X变化 的微分关系为 0 4 4 d EIq dx 式中： EI-梁的抗弯刚度 q0-梁上的连续分

8、布载荷 对于弹性基础上的梁，由于地基对梁的反作 用力正比于梁的挠度，把地基的反作用力视 作梁承受的分布载荷而不考虑其他分布载 荷即q=-k 则有： K dx 4 4 d EI 0 d EI 4 4 K dx 即 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 纵向梁条的抗弯刚度与承受双纵向梁条的抗弯刚度与承受双 向弯曲圆平板板条的抗弯刚度向弯曲圆平板板条的抗弯刚度 一样，是一样，是D而不是而不是EI，而，而 纵向梁条的挠度纵向梁条的挠度（x）是圆是圆 筒壳与封头相连后，自连接部位筒壳与封头相连后，自连接部位 起以圆筒壳轴向为起以圆筒壳轴向为x向进行考察，向进行考察， 圆筒壳承受内压后本应产生的径圆筒壳承受内压后本

9、应产生的径 向位移与实际产生径向位移之差。向位移与实际产生径向位移之差。 (见图见图3-12） 针头对圆筒壳的针头对圆筒壳的“收口收口”作作 用，是圆筒壳纵向梁条弯曲用，是圆筒壳纵向梁条弯曲 的起因，可简化为纵向梁条的起因，可简化为纵向梁条 端部承受的剪力端部承受的剪力N0和弯矩和弯矩M0。 纵向梁条所受纵向梁条所受“地基地基”的反作用的反作用 力，是两侧相邻纵向梁条对其环力，是两侧相邻纵向梁条对其环 向挤压力向挤压力N的径向合力的径向合力q(见图见图 313c)。 第一第一第二第二 第三第三第四第四 对于圆筒壳分解成的纵向梁条，将其近似视为弹性基础上的梁对于圆筒壳分解成的纵向梁条，将其近似视

10、为弹性基础上的梁 时，需注意以下几点：时，需注意以下几点： ）（ 2 3 -112 E D 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 图3-13 圆筒壳弯曲时的内力 q与的关系如下： 纵向梁条的挠度是圆筒壳的附加径向位移，与之相应的附 加环向应变可按本节“一、基本概念”中的方法得出： R 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 附加环向应力为： 而N是单位长度环向板条上的内力： 将纵向梁条两侧挤压力折算成下部反作用力q： R E E R E N 1 1 2 sin2 RqN 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 取 ，则 即 因而纵向梁条的挠度微分方程为： （3-31） 22 sin K R E R N 2 q 2 R E K

11、0 2 4 4 R E dx d D 0 24 4 DR E dx d 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 令 ，则： 取 =0.3 ，则： 式中，称为边界效应的衰减系数，其量纲为mm-1。 4 2 4 DR E 04 4 4 4 dx d 44 22 2 2 )1 ( 3 4 RDR E R 285.1 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 式（3-31）的解为： 式中，e为自然对数的底。当 , , 这显然是不合 理的，所以，C1=C2=0，则： 以封头与圆筒壳连接处横截面上的剪力N0和轴向弯矩M0代 替C3，C4，则有： )sincos()sincos()( 4321 xCxCexCxCex xx x )(

12、x )sincos()( 43 xCxCex x cos)cos(sin 2 )( 00 xNxxM D e x x 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 若为圆筒壳上纵向梁条相应于在不同x处的转角；Mx为作用在圆筒壳轴向距端部为x 横截面上的弯矩;Nx为作用在圆筒壳轴向距端部为x横截面上的剪力；M为相应纵截面上 的环向弯矩；N为相应纵截上的环向力(见图313b)。依据材料力学和弹性力学有： ABCDE dx d 2 2 dx d DMx 3 3 dx d DN x 2 2 dx d D x MM R E N 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 求出的各阶层导数，即可得出以下表达式： （3-33） （3-34）

13、 （3-35） （3-36） sin)cos(sinM 0 0 x N xxMe x x x MM )sin(cossin2 00 xxNxMeN x x cos)cos(sin2 00 xNxxMeRN x M0，N0是圆筒壳承载后在连接处因变形协调而出现的附加内 力，其大小不仅取决于与圆筒相连封头的结构形状，也取决于 造成边界效应载荷的性质及大小。 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 三、三、圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应圆筒壳与凸形封头连接时的边界效应 圆筒壳与凸形封头连接时，在连接处二者的几何形状是连续的。承受 内压后二者虽因连接处变形不相同互相牵制，但最终到达的位置仍保 持了连接部位的连续

14、连接处有同一的径向位移和转动角度。当凸 形封头与圆筒壳的材质、壁厚都相同时，相应的 因而，当凸形封头与圆筒壳相连接时，在圆筒壳连接部位附近因内压 引起的附加内力为： （3-37） （3-38） （3-39） （3-40） 0M 0 2 0 8 Ny p xe py M x x sin 8 2 2 xe py MM x x sin 8 2 2 )sin(cos 8 2 xxe py N x x xe pRy N x cos 4 2 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 Mx，Nx随x变化趋势如图3-14所示： 图3-14 Mx,Nx沿圆筒轴向的变化趋势 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 （一）连接处（x=0）内

15、力及应力 0M 0 M x 8 2 0 py NNx 4 2 pRy N 由于连接处弯矩等于零，因而没有相应的附加弯曲应力。 连接处的径向剪力N。在连接处横截面上引起剪应力，平均剪应力为： 连接处附加环向力N0在连接处造成附加环向应力： 由式(339)及式(340)可知，Nx,和N都是随x的增加面减小的，连接处的N0及 N是最大剪力及最大环向应力，因而 , 。 8 N 2 0 0 py 4 2 )0( 0 pRy N x max0 x max0 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 由于 的绝对数值较小，可忽略不计。因而连接处的主要附加应力是 环向附加应力 。连接处总的应力应是内压引起的薄膜应力与附加应

16、 力的代数和： （与球形封头相连，y=1） (与标准椭球封头相连，y=2) 0 0 0 4 3 4 2 pR pRypR 2 pR 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 （二）附加弯矩最大截面的内力和应力 Mx,M的值随x而变化，当x= /4,或者x= /(4)=0.61 (取 =0.3，以下 同）时，Mx达最大值，相应的附加轴向弯曲应力为： （与球形封头相连） = （与标准椭球封头相连） 在同一位置，M及相应的附加环向应力也达到最大值，其数值为： （与球形封头相连） = （与标准椭球封头相连） 在附加弯矩最大的截而上，径向剪力Nx减小为零，附加环向力为: R 2 4 2 2 2 max max 6 1

17、 4 sin 8 6 1 e py M x pR pR pRy 584.0 146.0 146.0 2 max 2 xmax 2 max max 6 1 M 6 1 w M pR pR Ry 584.0 044.0 p 044.0 2 2 4 2 08. 0 4 cos 4 pRye pRy N 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 由附加环向力引起的附加环向应力为： (与球形封头相连) (与标准椭球封头相连) 作用于该截而内某点的总应力应为内压造成的薄膜应力及附加应力之相。对 与标淮椭球封头相连的圆筒，内壁处的最大环向总应力为： 内外壁面处的轴向总应力分别为： pR pR pRyN 32.0 08.0

18、 08.0 2 pRpRpRpR i 855.032.0175.0 pRpRpR i 084.0584.0 2 pRpRpR o 084.1584.0 2 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 四、圆筒壳与厚平板连接时的边界效应四、圆筒壳与厚平板连接时的边界效应 圆筒壳与厚平板连接时，由于厚板抗弯刚度很大、可以近似地看做对 圆筒壳端部形成了刚性约束，即在连接处圆筒壳无转角和径向位移。 由此可求得连接处的附加轴向弯矩M0和径向剪力N0： 因而有： )5 . 01 (2 2 2 0 E pR DM)5 . 01 (4 2 3 0 E pR DN )sin(cos)5 . 01 (2 2 2 xxe E pR

19、 DM x x x MM xe E pR DN x x cos)5 . 01 (4 2 3 )sin(cos)5 . 01 (xxepRN x 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 在连接处的应力计算式如下： Product Description of the companys products 一 pR E pR D M w )1 (3 )5 .01 (3 6 )5 .01 (2 6 2 2 2 2 2 0 二 pR w 46. 0 w R pR R pR E pR D N 66. 0 )1 ( 3 5 . 01 )5 . 01 (4 4 2 2 3 0 三 四 pRpRN 85. 0)5 . 01

20、 ( 轴向附加 弯曲应力 环向附加 弯曲应力 横截面上的径 向平均剪应力 由附加环向力引起的 附加环向应力(x0) 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 考虑内压引起的薄膜应力及附加应力后在连接处的总应力为： 可以证明，对于圆简壳与厚平板相连接这钟情况连接处的附加弯矩 最大，即M0=Mx max。附加弯矩沿圆筒壳铀向(x袖)迅速衰减，其衰减规 律如图315所示。 pRpRpR 04. 254. 1 2 i pRpRpRpR 61. 085. 046. 0 实际采用的平端盖、平管板 对圆简壳虽有很大的约束作用， 但并不完全是刚性约束，而是所 谓“弹性约束”，允许圆筒壳在 连接处有一定的转角和径向位移。 因而实际结构的不连续应力较上 面按刚性约束计算的值要小一些， 其具体计算从略。 安全系安全系 倪晓阳倪晓阳 五