第二十七讲_相似图形(2013-2014中考数学复习专题)

1、 相似图形考点一:平行线分线段成比例例1 如图,已知在ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DEBC,EFAB,且AD:DB=3:5,那么CF:CB等于()A.5:8B.3:8C.3:5D.2:5对应训练1.如图,ABGHCD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为 . 1.考点二:位似例2 在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点O为位似中心,相似比为,把EFO缩小,则点E的对应点E的坐标是() A.(-2,1)B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)对应训练:2.如图,ABO缩小后变为

2、ABO,其中A、B的对应点分别为A、B点A、B、A、B均在图中在格点上.若线段AB上有一点P(m,n),则点P在AB上的对应点P的坐标为()A.(,n)B.(m,n)C.(m,)D.(,)5.D考点三:相似三角形的性质及其应用例3 一天晚上,黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m.对应训练3.如图,是一个照相机成像的示意图.(1)

3、如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远?(2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物,拍摄点离景物有4m,像高不变,则相机的焦距应调整为多少?考点四:相似三角形的判定例4 如图,在ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件 ACD=ABC（答案不唯一）,使ABCACD.(只填一个即可)对应训练4.如图,在ABC中,AB=AC,BD=CD,CEAB于E.求证:ABDCBE.4.证明:在ABC中,AB=AC,BD=CD,ADBC,CEAB,ADB=CEB=90,又B=B,ABDCBE.考点五:相似三角形的判定和性质例5 如图,在ABC中

4、,BCAC,点D在BC上,且DC=AC,ACB的平分线CE交AD于E,点F是AB的中点,则SAEF:S四边形BDEF为()A.3:4B.1:2C.2:3D.1:3例6 已知在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.(1)当点P在线段AB上时,求证:AQPABC;(2)当PQB为等腰三角形时,求AP的长.对应训练5.如图,梯形ABCD中,ADBC,对角线AC、BD相交于O,AD=1,BC=4,则AOD与BOC的面积比等于() A. B. C.D. 5.D6.如图,在RtABC中,C=90,翻

5、折C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上).(1)若CEF与ABC相似.当AC=BC=2时,AD的长为 ;当AC=3,BC=4时,AD的长为 1.8或2.5;(2)当点D是AB的中点时,CEF与ABC相似吗?请说明理由.考点六:相似形的综合题例7 数学活动-求重叠部分的面积.问题情境:数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起,其中ACB=E=90,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G.求重叠部分(DCG)的面积.(1)独立思考:请回答老师提出的问题.(2

6、)合作交流:“希望”小组受此问题的启发,将DEF绕点D旋转,使DEAB交AC于点H,DF交AC于点G,如图2,你能求出重叠部分(DGH)的面积吗?请写出解答过程.(3)提出问题:老师要求各小组向“希望”小组学习,将DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题.“爱心”小组提出的问题是:如图3,将DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(DMN)的面积.任务:请解决“爱心”小组提出的问题,直接写出DMN的面积是 .请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图4中画出图形,标明字母,不必解答(注:也可在图1的基础上按顺时针旋转).思路分析:(1

7、)确定点G为AC的中点,从而ADC为等腰三角形,其底边AC=8,底边上的高GD=BC=3,从而面积可求;(2)本问解法有多种,解答中提供了三种不同的解法.基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解;(3)对于爱心小组提出的问题,如答图4所示,作辅助线,利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质,列方程求解;本问要求考生自行提出问题,答案不唯一,属于开放性问题.解:(1)【独立思考】ACB=90,D是AB的中点,DC=DA=DB,B=DCB.又ABCFDE,FDE=B.FDE=DCB,DGBC.AGD=ACB=90,DGAC.又DC=DA,G是AC的中点,CG=AC=8=4,DG=BC=6=3,SD

8、GC=CGDG=43=6.(2)【合作交流】解法一:如下图所示:ABCFDE,B=1.C=90,EDAB,A+B=90,A+2=90,B=2,1=2,GH=GD.A+2=90,1+3=90,A=3,AG=GD,AG=GH,即点G为AH的中点.在RtABC中,AB=10,D是AB中点,AD=AB=5.在ADH与ACB中,A=A,ADH=ACB=90,ADHACB,即,解得DH=,SDGH=SADH=DHAD=.解法二:同解法一,G是AH的中点.连接BH,DEAB,D是AB中点,AH=BH.设AH=x,则CH=8-x.在RtBCH中,CH2+BC2=BH2,即:(8-x)2+36=x2,解得x=.

9、SABH=AHBC=6=.SDGH=SADH=SABH=.解法三:同解法一,1=2.连接CD,由(1)知,B=DCB=1,1=2=B=DCB.DGHBDC.过点D作DMAC于点M,CNAB于点N.D是AB的中点,ACB=90,CD=AD=BD,点M是AC的中点,DM=BC=6=3.在RtABC中,AB=10,ACBC=ABCN,CN=.DGHBDC,SDGH=()2SBDC=()2BDCNSDGH=()25=.(3)【提出问题】解决“爱心”小组提出的问题.如答图4,过点D作DKAC于点K,则DKBC,又点D为AB中点,DK=BC=3.DM=MN,MND=MDN,由(2)可知MDN=B,MND=

10、B,又DKN=C=90,DKNACB,即,得KN=.设DM=MN=x,则MK=x-.在RtDMK中,由勾股定理得:MK2+DK2=MD2,即:(x-)2+32=x2,解得x=,SDMN=MNDK=3=.此题答案不唯一,示例:如答图5,将DEF绕点D旋转,使DEBC于点M,DF交BC于点N,求重叠部分(四边形DMCN)的面积.点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点.题干信息量大,篇幅较长,需要认真读题,弄清题意与作答要求.试题以图形旋转为背景,在旋转过程中,重叠图形的形状与面积不断发生变化,需要灵活运用多种知识予以解决,有利于培养

11、同学们的研究与探索精神,激发学习数学的兴趣,是一道好题.对应训练7.已知四边形ABCD在,E,F分别是AB,AD边上的点,DE与CF交于点G.(1)如图,若四边形ABCD是矩形,且DECF.求证:;(2)如图,若四边形ABCD是平行四边形.试探究:当B与EGC满足什么关系时,使得成立?并证明你的结论;(3)如图,若BA=BC=6,DA=DC=8,BAD=90,DECF.请直接写出的值.7.(1)证明:四边形ABCD是矩形,A=FDC=90,CFDE,DGF=90,ADE+CFD=90,ADE+AED=90,CFD=AED,A=CDF,AEDDFC,;(2)当B+EGC=180时,成立.证明:四

12、边形ABCD是平行四边形,B=ADC,ADBC,B+A=180,B+EGC=180,A=EGC=FGD,FDG=EDA,DFGDEA,B=ADC,B+EGC=180,EGC+DGC=180,CGD=CDF,GCD=DCF,CGDCDF,即当B+EGC=180时,成立.(3)解:.理由是:过C作CNAD于N,CMAB交AB延长线于M,连接BD,设CN=x,ABAD,A=M=CNA=90,四边形AMCN是矩形,AM=CN,AN=CM,在BAD和BCD中,BADBCD(SSS),BCD=A=90,ABC+ADC=180,ABC+CBM=180,CBM=ADC,CND=M=90,BCMDCN,CM=x

13、,在RtCMB中,CM=x,BM=AM-AB=x-6,由勾股定理得:BM2+CM2=BC2,(x-6)2+(x)2=62,x=0(舍去),x=,CN=,A=FGD=90,AED+AFG=180,AFG+NFC=180,AED=CFN,A=CNF=90,AEDNFC,.【聚焦山东中考】1.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为()A.16B.17C.18D.19 1.B2.如图,D是ABC的边BC上一点,已知AB=4,AD=2.DAC=B,若ABD的面积为a,则ACD的面积为()A.aB.aC.aD.a 2.C3.如图,直角梯形ABCD

14、中,ABCD,C=90,BDA=90,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=e,则下列等式成立的是()A.b2=acB.b2=ceC.be=acD.bd=ae 3.A4.如图,AB是O的直径,AB=5,BD=4,则sinECB= . 4.5.如图,ACCD,垂足为点C,BDCD,垂足为点D,AB与CD交于点O.若AC=1,BD=2,CD=4,则AB= 5.5.56.如图,放映幻灯时,通过光源,把幻灯片上的图形放大到屏幕上,若光源到幻灯片的距离为20cm,到屏幕的距离为60cm,且幻灯片中的图形的高度为6cm,则屏幕上图形的高度为 18cm. 6.186.已知矩形ABCD中,AB=1,在

15、BC上取一点E,AE将ABE向上折叠,使B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,则AD= . 6.7.如图所示,在ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射线EF上,BP交CE于D,CBP的平分线交CE于Q,当CQ= CE时,EP+BP= 12. 7.128.如图,直角三角形ABC中,ACB=90,AB=10,BC=6,在线段AB上取一点D,作DFAB交AC于点F,现将ADF沿DF折叠,使点A落在线段DB上,对应点记为A1;AD的中点E的对应点记为E1,若E1FA1E1BF,则AD= . 8.9.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示,其中BA

16、=CD,BC=20cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等暂忽略不计).9.解:如图,由题意得,MH=8cm,BH=40cm,则BM=32cm,四边形ABCD是等腰梯形,AD=50cm,BC=20cm,AH=(AD-BC)=15cm.EFCD,BEMBAH,即,解得:EM=12,故EF=EM+NF+BC=2EM+BC=44cm.答:横梁EF应为44cm.10.如图,四边形ABCD中,AC平分DAB,ADC=ACB=90,E为AB的中点,(1)求证:AC2=ABAD;(2)求证:CE

17、AD;(3)若AD=4,AB=6,求 的值.10.(1)证明:AC平分DAB,DAC=CAB,ADC=ACB=90,ADCACB,AD:AC=AC:AB,AC2=ABAD;(2)证明:E为AB的中点,CE=AB=AE,EAC=ECA,DAC=CAB,DAC=ECA,CEAD;(3)解:CEAD,AFDCFE,AD:CE=AF:CF,CE=AB,CE=6=3,AD=4,.11.已知:如图,ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,B=45,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MNBC,

18、垂足是N,设运动时间为t(s)(0t1)解答下列问题:(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式:(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半?若存在,求出相应的t值;若不存在,说明理由.(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成:1的两部分?若存在,求出相应的t值;若不存在,说明理由.11.解:(1)当AP=PD时,四边形AQDM是平行四边形,即3t=3-3t,t=,当t=s时,四边形AQDM是平行四边形.(2)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AMPD

19、QP,AM=t,MNBC,MNB=90,B=45,BMN=45=B,BN=MN,BM=1+t,在RtBMN中,由勾股定理得:BN=MN=(1+t),四边形ABCD是平行四边形,ADBC,MNBC,MNAD,y=APMN=3t(1+t)即y与t之间的函数关系式为y=t2+t(0t1).(3)假设存在某一时刻t,四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半.此时t2+t=3,整理得:t2+t-1=0,解得t1=,t2=(舍去)当t=s时,四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半.(4)存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成:1的两部分,理由是:假设存在某一时刻t,使N

20、P与AC的交点把线段AC分成:1的两部分,四边形ABCD是平行四边形,ADBC,APWCNW,即或,t=或,两数都在0t1范围内,即都符合题意,当t=s或s时,NP与AC的交点把线段AC分成:1的两部分.【备考真题过关】一、选择题1.下列四组图形中,一定相似的是()A.正方形与矩形 B.正方形与菱形 C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形 1.D2.已知ABCDEF,若ABC与DEF的相似比为3:4,则ABC与DEF的面积比为()A.4:3B.3:4C.16:9D.9:16 2.D3.如图,在ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DEBC,已知AE=6, ,则EC的长是()A.4.5B.8C

21、.10.5D.143.B4.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与ABC相似,则点E的坐标不可能是()A.(6,0)B.(6,3)C.(6,5)D.(4,2) 4.B5.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图),然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为()A.10米B.12米C.15米D.22.5米 5.B6.如图,M是RtABC的斜边BC上异于B、C的一定点,过M点作直线截ABC,使截得的三角形与ABC相似,这样的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条 6.C7.如

22、图,ABC中,AE交BC于点D,C=E,AD=4,BC=8,BD:DC=5:3,则DE的长等于()A.B. C. D. 7.B8.如图,在ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,SDEF:SABF=4:25,则DE:EC=()A.2:5B.2:3C.3:5D.3:2 8.B9.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AD上,连接CE并延长与BA的延长线交于点F,若AE=2ED,CD=3cm,则AF的长为()A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm 9.B10.如图,DE是ABC的中位线,延长DE至F使EF=DE,连接CF,则SCEF:S四边形BCED的值为()A.1:3B

23、.2:3C.1:4D.2:510.A11.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=()A.1:4B.1:3C.2:3D.1:2 11.D12.如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:APEAME;PM+PN=AC;PE2+PF2=PO2;POFBNF;当PMNAMP时,点P是AB的中点.其中正确的结论有()A.5个B.4个C.3个D.2个12.B13.如图,BAC=DAF=90,

24、AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,且DAE=45,连接EF、BF,则下列结论:AEDAEF;ABEACD;BE+DCDE;BE2+DC2=DE2,其中正确的有()个.A.1B.2C.3D.4 13.C14.6.如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BCD=90,ABC=45,AD=CD,CE平分ACB交AB于点E,在BC上截取BF=AE,连接AF交CE于点G,连接DG交AC于点H,过点A作ANBC,垂足为N,AN交CE于点M.则下列结论;CM=AF;CEAF;ABFDAH;GD平分AGC,其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4 14.D二、填空题15.同一时刻,物体的高

25、与影子的长成比例,某一时刻,高1.6m的人影长啊1.2m,一电线杆影长为9m,则电线杆的高为 12m. 15.1216.如图,添加一个条件: ADE=ACB（答案不唯一）,使ADEACB,(写出一个即可)16.ADE=ACB(答案不唯一)17.ABC中,D、E分别是边AB与AC的中点,BC=4,下面四个结论:DE=2;ADEABC;ADE的面积与ABC的面积之比为1:4;ADE的周长与ABC的周长之比为1:4;其中正确的有 .(只填序号) 17.18.如图,在矩形ABCD中,AB=10,AD=4,点P是边AB上一点,若APD与BPC相似,则满足条件的点P有 3个. 18.319.如图,在ABC

26、中,DEBC,AD=1,AB=3,DE=2,则BC= 6. 19.620.如图,在ABCD中,E在AB上,CE、BD交于F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则DF= . 20.21.将一副三角尺如图所示叠放在一起,则 的值是 . 21.22.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A、C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且QO=OC,连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为 ）.22.(2,4-2)23.如图,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,0).(2,-3),ABO是ABO关于的A的位似图形,且O的坐标为(-1,0),则点B的坐

27、标为 ，-4）.23.( ,-4)24.如图,矩形ABCD的边AB上有一点P,且AD=,BP=,以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC,线段BC于点E,F,连接EF,则tanPEF= . 24.25.如图,AB是O的直径,弦CDAB于点G,点F是CD上一点,且满足,连接AF并延长交O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:ADFAED;FG=2;tanE=;SDEF=4.其中正确的是 (写出所有正确结论的序号). 25.三、解答题26.如图,已知在ABC与DEF中,C=54,A=47,F=54,E=79,求证:ABCDEF.26.解:在ABC中,B=180-A

28、-C=79,在ABC和DEF中,ABCDEF.27.如图,在梯形ABCD中,ADBC,对角线AC,BD相交于点E.若AE=4,CE=8,DE=3,梯形ABCD的高是,面积是54.求证:ACBD.27.证明:ADBC,EADECB,AE:CE=DE:BE,AE=4,CE=8,DE=3,BE=6,S梯形=(AD+BC)=54,AD+BC=15,如图,过D作DFAC交BC延长线于F,则四边形ACFD是平行四边形,CF=AD,BF=AD+BC=15,在BDF中,BD2+DF2=92+122=225,BF2=225,BD2+DF2=BF2,BDDF,ACDF,ACBD.28.如图,在平面直角坐标系中,已

29、知ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4)C(-2,6)(1)画出ABC绕点A顺时针旋转90后得到的A1B1C1(2)以原点O为位似中心,画出将A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的A2B2C2.28.解:如图:(1)A1B1C1即为所求;(2)A2B2C2即为所求.29.如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AEBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且AFE=B(1)求证:ADFDEC;(2)若AB=8,AD=6 ,AF=4 ,求AE的长.29.(1)证明:ABCD,ABCD,ADBC,C+B=180,ADF=DEC.AFD+AFE=180,AFE=B,AFD=C.在

30、ADF与DEC中,ADFDEC.(2)解:ABCD,CD=AB=8.由(1)知ADFDEC,DE=12.在RtADE中,由勾股定理得:AE=6.30.在矩形ABCD中,DC=2,CFBD分别交BD、AD于点E、F,连接BF.(1)求证:DECFDC;(2)当F为AD的中点时,求sinFBD的值及BC的长度.30.解:(1)DEC=FDC=90,DCE=FCD,DECFDC.(2)F为AD的中点,ADBC,FE:EC=FD:BC=1:2,FB=FC,FE:FC=1:3,sinFBD=EF:BF=EF:FC=;设EF=x,则FC=3x,DECFDC,即可得:6x2=12,解得:x=,则CF=3,在

31、RtCFD中,DF=,BC=2DF=2.31.如图所示,在RtABC中,AB=BC=4,ABC=90,点P是ABC的外角BCN的角平分线上一个动点,点P是点P关于直线BC的对称点,连结PP交BC于点M,BP交AC于D,连结BP、AP、CP.(1)若四边形BPCP为菱形,求BM的长;(2)若BMPABC,求BM的长;(3)若ABD为等腰三角形,求ABD的面积.31.解:(1)四边形BPCP为菱形,而菱形的对角线互相垂直平分,点M为BC的中点,BM=BC=4=2.(2)ABC为等腰直角三角形,若BMPABC,则BMP必为等腰直角三角形,BM=MP.由对称轴可知,MP=MP,PPBC,则BMP为等腰

32、直角三角形,BPP为等腰直角三角形,BP=BP.CBP=45,BCP=(180-45)=67.5,BPC=180-CBP-BCP=180-45-67.5=67.5,BPC=BCP,BP=BC=4,BP=4.在等腰直角三角形BMP中,斜边BP=4,BM=BP=2.(3)ABD为等腰三角形,有3种情形:若AD=BD,如题图所示.此时ABD为等腰直角三角形,斜边AB=4,SABD=ADBD=22=4;若AD=AB,如下图所示:过点D作DEAB于点E,则ADE为等腰直角三角形,DE=AD=AB=2,SABD=ABDE=42=4;若AB=BD,则点D与点C重合,可知此时点P、点P、点M均与点C重合,SA

33、BD=SABC=ABBC=44=8.32.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于点A(6,0),B(0.8),点C的坐标为(0,m),过点C作CEAB于点E,点D为x轴上的一动点,连接CD,DE,以CD,DE为边作CDEF.(1)当0m8时,求CE的长(用含m的代数式表示);(2)当m=3时,是否存在点D,使CDEF的顶点F恰好落在y轴上?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点D在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF为矩形,请求出所有满足条件的m的值.32.解:(1)A(6,0),B(0,8).OA=6,OB=8.AB=10,CEB=AOB=90,又OBA=EBC,BCEBAO,即,CE=m;(2)m=3,BC=8-m=5,CE=m=3. BE=4,AE=AB-BE=6.点F落在y轴上(如图2).DEBO,EDABOA,即.OD=,点D的坐标为(,0).(3)取CE的中点P,过P作PGy轴于点G.则CP