第三章 静定结构的受力

1、静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 1 第三章第三章 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 3-1 静定单跨梁（梁的内力计算的回顾）静定单跨梁（梁的内力计算的回顾） 3-2 静定多跨梁静定多跨梁 3-3 静定平面刚架静定平面刚架 3-4 三铰拱三铰拱 3-5 静定平面桁架静定平面桁架 3-6 组合结构组合结构 3-7 静定结构的特性静定结构的特性 3-8 静定结构总论静定结构总论 重点：重点：叠加法绘制静定梁和静定刚架的弯矩图叠加法绘制静定梁和静定刚架的弯矩图 难点：难点：快速绘制静定梁与静定刚架的弯矩图快速绘制静定梁与静定刚架的弯矩图 本章主要讨论

2、静定结构的内力计算方法及其内力图的绘制。本章主要讨论静定结构的内力计算方法及其内力图的绘制。 本本 章章 主主 要要 内内 容容 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 2 u 静定结构静定结构 在在任意荷载任意荷载下下，未知力仅用未知力仅用 静力平衡方程即可静力平衡方程即可完全完全确定确定 未知力数独立静力平衡方程数未知力数独立静力平衡方程数 u 超静定结构超静定结构 未知力仅由静力平衡方程未知力仅由静力平衡方程 不能完全确定不能完全确定 未知力数未知力数独立静力平衡方程数独立静力平衡方程数 u 重要性重要性 是结构位移计算、超静定结构内力是结构位移计

3、算、超静定结构内力 计算计算 乃至整个结构力学课程的基础乃至整个结构力学课程的基础 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 3 要求：要求： p 深入理解深入理解静定结构内力计算的原理静定结构内力计算的原理 p 熟练掌握熟练掌握静定结构内力计算的方法静定结构内力计算的方法 p 了解了解静定结构的特性和各类结构的受力特点静定结构的特性和各类结构的受力特点 几何组成分析与本章的关系：几何组成分析与本章的关系： p 判断结构是否静定判断结构是否静定 静定静定 几何不变且无多余约束几何不变且无多余约束 p 提示分析途径，简化内力计算提示分析途径，简化内力计算 内

4、力计算前先作组成分析，事半功倍内力计算前先作组成分析，事半功倍 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 4 31 31 梁的内力计算的回顾梁的内力计算的回顾 单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的基构件之一，其受单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的基构件之一，其受 力分析是各种结构受力分析的基础。这里做简略的回顾和必力分析是各种结构受力分析的基础。这里做简略的回顾和必 要的补充。要的补充。 1. 1. 单跨静定梁的反力单跨静定梁的反力 常见的单跨静定梁有：常见的单跨静定梁有： 简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁 反力只有三个，由静力学平衡方程求出。反力只

5、有三个，由静力学平衡方程求出。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 5 2. 2. 用截面法求指定截面的内力用截面法求指定截面的内力 在梁的横截面上在梁的横截面上, ,一般有三个内力分量一般有三个内力分量: :轴力轴力FN、剪力、剪力FS、 弯矩弯矩M。计算内力的基本方法是截面法。计算内力的基本方法是截面法( (见图见图) )。 （1 1）轴力轴力N: : 其数值等于截面一其数值等于截面一 侧所有外力沿截面法线方向投影侧所有外力沿截面法线方向投影 的代数和。的代数和。 （2 2）剪力剪力Q:Q:其数值等于截面一其数值等于截面一 侧所有外力沿截面切线方

6、向投影侧所有外力沿截面切线方向投影 的代数和。（左上右下为正）的代数和。（左上右下为正） （3 3）弯矩弯矩M: : 其数值等于该截面一侧所有外力对截面形其数值等于该截面一侧所有外力对截面形 心力矩的代数和。（左顺右逆为正）心力矩的代数和。（左顺右逆为正） AK YA XA N Q M P1 K AB P1P2 其结论是：其结论是： 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 6 （1 1）轴力轴力N: : 拉伸为拉伸为“”；压缩为；压缩为“”。 （2 2）剪力剪力Q: : 绕隔离体顺时针转动为绕隔离体顺时针转动为“”；逆时针转动为；逆时针转动为 “” （3

7、 3）弯矩弯矩M: : 对横梁：使其上凹下凸为对横梁：使其上凹下凸为“”；上凸下凹为；上凸下凹为 “”。 内力符号内力符号 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 7 对于直梁，当所受荷载均垂直于梁轴线时，横截面上只有对于直梁，当所受荷载均垂直于梁轴线时，横截面上只有 剪力和弯矩，没有轴力。剪力和弯矩，没有轴力。 （1 1）用平行于杆轴线的坐标表示截面的位置（此坐标轴常称用平行于杆轴线的坐标表示截面的位置（此坐标轴常称 为为基线基线）。 （2 2）用垂直于杆轴线的坐标（又称用垂直于杆轴线的坐标（又称竖标竖标）表示内力的大小。）表示内力的大小。 （3 3）

8、在土木工程中在土木工程中，弯矩图习惯绘制在杆件受拉的一侧，弯矩图习惯绘制在杆件受拉的一侧， 弯矩图上不用注明正负号；剪力图和轴力图则将正值的竖标弯矩图上不用注明正负号；剪力图和轴力图则将正值的竖标 绘制在基线的上方，同时表明正负号绘制在基线的上方，同时表明正负号。 内力图的要求：内力图的要求： 为直观反应结构上各截面内力数值，通常用为直观反应结构上各截面内力数值，通常用内力图内力图表示。表示。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 8 3. 3. 利用分布荷载集度利用分布荷载集度q(x)、剪力、剪力Q(x)和弯矩和弯矩M(x)之间的关系快速之间的关系快

9、速 绘制作内力图绘制作内力图 三者的微分关系：三者的微分关系： 据此，得直梁内力图的形状特征据此，得直梁内力图的形状特征 利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法） 梁上情况 q=0 Q 图图 M 图图 水平线 斜直线 q=常数 qq 斜直线 抛物线 FS=0处 有极值 P 作用处 有突变 突变值为P 有尖角 尖角指向同P 如变号 有极值 M 作用处 无变化 有突变 铰或 自由端 (无M） M=0 ( ) dQ q x dx dM Q dx )( 2 2 xq dx Md 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mech

10、anics 9 简易法绘制内力图的一般步骤：简易法绘制内力图的一般步骤： （1 1）求支反力）求支反力。 2 2）分段：）分段： （3 3）定点：）定点： （4 4）联线：）联线： 凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力 和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 据各梁段的内力图形状，选定控制截面。如据各梁段的内力图形状，选定控制截面。如 集中力和集中力和 集中力偶作用点两侧的截面、均布集中力偶作用点两侧的截面、均布 荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内 力值，按比例绘出相应的内力竖标

11、，便定出力值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出 了内力图的各控制点。了内力图的各控制点。 据各梁段的内力图形状，分别用直线和曲线将据各梁段的内力图形状，分别用直线和曲线将 各控制点依次相联，即得内力图。各控制点依次相联，即得内力图。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 10 4. 4. 利用叠加法作弯矩图利用叠加法作弯矩图 利用叠加法作弯矩图很方便利用叠加法作弯矩图很方便, ,以例说明以例说明: : 从梁上任取一段从梁上任取一段AB AB 其其 受力如（受力如（a a）图所示，）图所示， （b） 因此，梁段因此，梁段ABAB的弯矩图的弯矩图 可以按简

12、支梁并应用叠加可以按简支梁并应用叠加 法来绘制。法来绘制。 MA MB + 8 qL 2 AB L MAMB （a a） MA MB A B MA MB 8 qL 2 则它相当（则它相当（b b）图所）图所 示的简支梁。示的简支梁。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 11 例例 3-13-1 作梁的作梁的 Q Q、M 图。图。 解：解：首先计算支反力首先计算支反力 由MB=0, 有 RA820930754410+16=0 得 RA=58kN（） 再由Y=0, 可得 RB=20+30+5458=12kN（） RA=58kN（） RB=12kN（） 作

13、剪力图（简易法）作剪力图（简易法） 作弯矩图：作弯矩图： 1.1.分段：分段： 2.2.定点定点: : MC=0 MA=20kNm MD=18kNm ME=26kNm MF=18kNm MG左 左=6kNm MG右 右= 4kNm MB左 左= 16kNm MC=0, MA=201=20kNm MD=202+581=18kNm ME=203+582301=26kNm MF=12216+10=18kNm MG左=12116+10=6kNm MG右=12116=4kNm MB左=16kNm 3.3.联线联线 RARB 20 38 8 Q Q图图(kN)(kN) 20 18 26 18 6 4 16

14、 M M图图(kN(kNm)m) 0 10 8 45 2 12 分为分为CA、 AD、DE、EF、FG、 GB六段六段。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 12 几点说明：几点说明： 1.1.作作EF段的弯矩图段的弯矩图 用简支梁叠加法用简支梁叠加法 2.2.剪力等于零截面剪力等于零截面K K 的位置的位置 3.K3.K截面弯矩的计算截面弯矩的计算 MK=ME+FSE x =26+81.6 =32.4kNm QK=QEqx=85x=0 RARB K Mmax=32.4knN M M图图(kN(kNm)m) x=1.6m 38 8 12 Q图图( (

15、kN) ) 20 K x 1.6m Mk 2 615 2 2 2 qx 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 13 5 5 斜杆的受力分析斜杆的受力分析 计算斜杆斜杆截面内力的基本方法仍然是截面法。截面法。 斜杆计算中的特点：斜杆截面的轴力和剪力方向都是倾斜的。 为了说明简支斜杆在竖向荷载作用下的受力特点，特与水平跨 度相同，承受的竖向荷载相同的简支水平梁作比较。 A 1P2P C B 0 A X 0 B Y A X B Y 0 A Y 1P 2P C A B ， ， ， A Y 1P A C ， ， 0 C M 0 C Q ， A 1P0 C M C

16、 Q 0 C Q C CN A Y A Y 斜杆的支反力斜杆的支反力 0 0 AA XX 0 AA YY 0 BB YY C C截面的内力截面的内力 0 CC MM cos 0 CC QQ sin 0 CC QN ， ， 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 14 6 6 简支曲梁的受力分析简支曲梁的受力分析 计算简支简支截面内力的基本方法仍然是截面法。截面法。 为了说明简支曲梁在竖向荷载作用下的受力特点，特与水平跨 度相同，承受的竖向荷载相同的简支水平梁作比较。 A 1P2P C B 0 A X 0 B Y A X B Y 0 A Y ， ， ， A

17、 Y 1P A C ， ， 0 C M 0 C Q ， A 1P0 C M C Q 0 C Q C CN A Y A Y 简支曲梁的支反力简支曲梁的支反力 0 0 AA XX 0 AA YY 0 BB YY C C截面的内力截面的内力 0 CC MM cos 0 CC QQ sin 0 CC QN ， ， 1P 2P C A B 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 15 32 32 静定多跨梁静定多跨梁 1.1.静定多跨梁的概念静定多跨梁的概念 若干根梁用铰相联若干根梁用铰相联, ,并用若干支座与基础相联而组成的结构。并用若干支座与基础相联而组成的结

18、构。 2.2.静定多跨梁的特点静定多跨梁的特点: : (1)(1)几何组成上几何组成上: : 可分为可分为基本部分基本部分和和附属部分附属部分。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 16 基本部分基本部分： 不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部 分。分。 附属部分：附属部分： 必须依靠基本部分必须依靠基本部分 才能维持其几何不变才能维持其几何不变 性的部分。如性的部分。如BC部分部分 。 层叠图：层叠图： 为了表示梁各部分之间的支撑关系，把基本部分画在下层，为了表示梁各部分之间的支撑关系

19、，把基本部分画在下层， 而把附属部分画在上层，而把附属部分画在上层， （a） （b b） 如：如：ABAB、CDCD部分。部分。 （b b）图所示，称为层叠图。）图所示，称为层叠图。 基本部分基本部分 基基本本部部分分 ABCD 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 17 （2 2）受力分析方面）受力分析方面: : 作用在基本部分上的力不传递给附属部分作用在基本部分上的力不传递给附属部分, ,而作用在附属而作用在附属 部分上的力传递给基本部分，如图所示部分上的力传递给基本部分，如图所示 因此，计算静定多跨梁时应该是先附属后基本，这样因此，计算静定多跨梁

20、时应该是先附属后基本，这样 可简化计算，取每一部分计算时与静定单跨梁无异。可简化计算，取每一部分计算时与静定单跨梁无异。 （a） （b） BA P1 P2 VBVC P2 P1 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 18 例例 3-23-2 计算下图所示静定多跨梁计算下图所示静定多跨梁 解： 首先分析几何组首先分析几何组 成成: :AB、CF为基为基 本部分，本部分，BC为附为附 属部分。属部分。 画层叠图画层叠图( (b) ) 按先属附后基本按先属附后基本 的原则计算各支的原则计算各支 反力反力(c)(c)图。图。 之后，逐段作出之后，逐段作出 梁的

21、弯矩图和剪力梁的弯矩图和剪力 图。图。 1010 1212 5 5 M M图图 (kN(kNm)m) 1818 5 5 2.52.5 9.59.5 QQ图图 (kN)(kN) 1010 9 9 5 5 1212 0 00 0 （a) 5 55 5 5 5 4 9 18kNm 5 5 6kN/m 7.521.5 3 3 0 0 (c) AB C D EF 4kN 10kN 6kN/m 2m2m2m2m2m2m2m (b) 10kN BC AB C D EF 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 19 kN5 . 7 4 24244 例例 3-33-3 作

22、此静定多跨梁的内力图作此静定多跨梁的内力图 解：解： 本题可以在不计算本题可以在不计算 支反力的情况下，支反力的情况下， 首先绘出弯矩图。首先绘出弯矩图。 弯矩为直线的梁段， 在此基础上，剪在此基础上，剪 力图可据微分关系力图可据微分关系 或平衡条件求得。或平衡条件求得。 例如：例如： QCE=2kN QB右 右=7.5kN kN2 4 44 可利用微分关系计算。 如CE段梁： FSCE= 弯矩图为曲线的梁段，可利用平衡关系计算 两端的剪力。如BC段梁,由MC=0, 求得： FSB右= RA=11.5kN RC=10.5kNRE=4kNRG=6kN RA=11.5kNRC=10.5kNRE=4

23、kNRG=6kN 4 4 8 85 5 2 2 2 2 4 4 7 75 5 4 4 4 4 M M图图 (kN(kNm)m) 4 4 0 00 0 8 2 2 0 00 0 Q图图 （kN) 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 20 33 33 静定平面刚架静定平面刚架 1 1 刚架的概念：刚架的概念： 平面刚架：平面刚架： 由梁和柱通过刚结点连结的整体承载结构。由梁和柱通过刚结点连结的整体承载结构。 所有杆件轴线及荷载均作用在同一平面内的刚架所有杆件轴线及荷载均作用在同一平面内的刚架 。 2 2 刚架的特点：刚架的特点： （1 1） 具有刚结点。

24、具有刚结点。 刚架结构不必依靠斜杆支承来维持结构的几何不变性，因刚架结构不必依靠斜杆支承来维持结构的几何不变性，因 此，刚架结构所需杆件数少，内部空间较大。此，刚架结构所需杆件数少，内部空间较大。 （2 2） 刚架中各杆内力分布较均匀。刚架中各杆内力分布较均匀。 由于刚架结构中具有刚结点，它能承受和传递力和弯矩，由于刚架结构中具有刚结点，它能承受和传递力和弯矩， 可以削减结构中弯矩的峰值，使杆件内力分布较均匀。可以削减结构中弯矩的峰值，使杆件内力分布较均匀。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 21 3 刚架的基本型式刚架的基本型式 （1 1）悬臂刚

25、架）悬臂刚架 （2 2）简支刚架）简支刚架 （3 3）三铰刚架）三铰刚架 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 22 4 4 静定平面刚架的内力分析静定平面刚架的内力分析 （1 1）内力）内力 （2 2）符号）符号 弯矩弯矩 剪力剪力 轴力轴力 剪力剪力：杆件：顺时针为：杆件：顺时针为“”，反之为，反之为“” 轴力轴力：杆件：拉伸为：杆件：拉伸为“”，压缩为，压缩为“” （3 3）大小）大小 弯矩弯矩 )(FMM C t QF n NF 剪力剪力 轴力轴力 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 23 （4 4）

26、 计算刚架内力的一般步骤计算刚架内力的一般步骤: : （1 1）首先计算支反力）首先计算支反力, ,一般支反力只有三个一般支反力只有三个, ,由平衡方程求由平衡方程求 得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。得。三铰刚架支反力有四个，须建立补充方程。 （2 2）按）按“分段、定点、联线分段、定点、联线”的方法，逐个杆绘制内力图。的方法，逐个杆绘制内力图。 注意：注意： （1 1）M图画在杆件受拉的一侧。图画在杆件受拉的一侧。 （2 2）Q Q、N的正负号规定同梁。的正负号规定同梁。 Q Q、N图可画在杆的任意一图可画在杆的任意一 侧，但必须注明正负号。侧，但必须注明正负号。 （3 3）汇交于

27、一点的各杆端截面的内力）汇交于一点的各杆端截面的内力 用两个下标表示，例如：用两个下标表示，例如：MAB表示表示AB 杆杆A端的弯矩。端的弯矩。 MAB 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 24 例例3-4 3-4 作图示刚架的内力图作图示刚架的内力图 解：解： （1 1）计算支反力）计算支反力 由X=0 可得： HA=68=48kNHA=48kN， 由MA=0 可得： RB= kN42 6 320486 RB=42kN 由Y=0 可得： VA=42-20=22kN VA=22kN （2 2）逐杆绘）逐杆绘M图图 CD杆：杆：MDC=0 MCD=mk

28、N48 2 46 2 （左） MCD=48kNm（左左） CB杆：杆： MBE=0 MEB=MEC=423 =126kNm（下） MEB=MEC =126kNm（下）（下） MCB=426-203 =192kNm（下） MCB=192kNm（下）（下） AC杆杆 MAC=0 MCA=144kNm（右）（右） 48 192 126 144 （3 3）绘）绘Q图图 CD杆：杆： QDC=0, QCD=24kN CB杆：杆： QBE=-42kN, QEC=-22kN AC杆：杆： QAC=48kN, QCA=24kN V VA A HHA A R RB B 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 St

29、ructural mechanics 25 （4 4）绘）绘FN图（略）图（略） （5 5）校核）校核: : 内力图作出后应进行校核。内力图作出后应进行校核。 M图图: : 通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。 例如取结点例如取结点C为隔离体（图为隔离体（图a），）， MC=48192+144=0 满足这一平衡条件。满足这一平衡条件。 Q( (N) )图：图： 可取刚架任何一部分为隔离体，可取刚架任何一部分为隔离体， 检查检查X=0 和和 Y=0 是否满足。是否满足。 例如取结点例如取结点C C为隔离体（图为隔离体（图b b），）， X=2424=0

30、 Y=2222=0 满足投影平衡条件。满足投影平衡条件。 （a a） C 48kN48kNmm 192kN192kNmm 144kN144kNmm （b b） C 24kN 0 22kN 0 24kN 22kN 有：有： 有：有： 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 26 例题例题 3-53-5 作三铰刚架的内力图作三铰刚架的内力图 解：解：（1 1）求反力）求反力 由刚架整体平衡，MB=o 可得 VA= kN30 8 6410 由Y=0 得 VB=104VA= 4030=10kN VAVB 再取刚架右半部为隔离体，由MC=0 有 VB4HB6=0

31、得HB=kN676 6 410 6 4VB 由X=0 得 HA=6.67kN HA HB （2 2）作弯矩图，）作弯矩图， 以以DC杆为例杆为例 求杆端弯矩求杆端弯矩 MDC=HA4=6.674=26.7kNm（外）（外） MCD=0 用叠加法作用叠加法作CDCD杆的弯矩图杆的弯矩图 杆中点的弯矩为：杆中点的弯矩为： 3 .1320 2 7 .26 8 410 2 6.7kNm （3 3）作）作Q、N图（略）图（略） VA=30kN，VB=10kN HA=HB=6.67kN（） 26.7 20 6.7 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 27 快速绘

32、制刚架弯矩图快速绘制刚架弯矩图 弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课程最重要的基本功弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课程最重要的基本功 之一。之一。 静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 例如：例如：1. 1. 悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。悬臂部分及简支梁部分，弯矩图可先绘出。 2. 2. 充分利用弯矩图的形状特征充分利用弯矩图的形状特征( (直线、零值直线、零值) )。 3. 3. 刚结点处的力矩平衡条件。刚结点处的力矩平衡条件。 4. 4. 用叠加法作弯矩图。用叠加法作弯矩图。 5. 5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。平行

33、于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。 6. 6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。与杆轴重合的力不产生弯矩等。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 28 例例 3-63-6 绘制刚架的弯矩图。绘制刚架的弯矩图。 解：解： 由刚架整体平衡条件由刚架整体平衡条件 X=0 得得 HB=5kN 此时不需再求竖向反力便可绘此时不需再求竖向反力便可绘 出弯矩图。出弯矩图。 MA=0 , MEC=0 MCE=20kNm（外外） MCD=20kNm（外外） MB=0 MDB=30kNm（外外） MDC=40kNm（外外） 5kN E 20 20 30 40 75 45

34、0 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 29 例例 3-73-7 作刚架的弯矩图。作刚架的弯矩图。 Pa Pa Pa Pa Pa Pa 解：此刚架为多刚片结构，可按解：此刚架为多刚片结构，可按“先附属后基本先附属后基本”的顺的顺 序计算。序计算。 这里，我们不求反力直接作弯矩图。这里，我们不求反力直接作弯矩图。 0 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 30 A B C D 2kN/m 4m 2m 2m2m 4kN 例例 3-83-8 作刚架的内力图。作刚架的内力图。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 S

35、tructural mechanics 31 例例 3-93-9 作图示结构的弯矩图。作图示结构的弯矩图。 A B C EF D G 4m 2m2m 3m 3m 40kN 20kN/m 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 32 例例 3-103-10 作图示结构的弯矩图。作图示结构的弯矩图。 A a q a q q B 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 33 34 34 三三 铰铰 拱拱 （一）（一） 概概 述述 （二）（二） 三铰拱的计算三铰拱的计算 （三）（三） 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线

36、本节主要讨论三铰拱（静定拱）的内力计算方法本节主要讨论三铰拱（静定拱）的内力计算方法 及其合理拱轴线的确定。及其合理拱轴线的确定。 本本 节节 主主 要要 内内 容容 重点：重点：三铰拱的内力计算及合理共轴的定义三铰拱的内力计算及合理共轴的定义 难点：难点：三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 34 赵州桥，原名安济桥，建于隋炀帝大业年间（赵州桥，原名安济桥，建于隋炀帝大业年间（595595605605年），年）， 由著名匠师李春建造，桥长由著名匠师李春建造，桥长64.40m，跨度，跨度37.02m, , 是世界上最是

37、世界上最 古老的石拱桥，有古老的石拱桥，有“世界桥梁鼻祖世界桥梁鼻祖”的美誉。其特点：采用的美誉。其特点：采用 “敞肩式敞肩式”结构，即在拱的两肩上再辟小拱，是石拱桥结构中结构，即在拱的两肩上再辟小拱，是石拱桥结构中 最先进的一种。最先进的一种。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 35 赵州桥位于河北省赵县境内，因赵县古称赵州而得名（又赵州桥位于河北省赵县境内，因赵县古称赵州而得名（又 称安济桥），赵州桥建于隋开皇年间（公元称安济桥），赵州桥建于隋开皇年间（公元595605年）。据年）。据 唐中书令张嘉贞唐中书令张嘉贞安济桥铭安济桥铭记载：记载：“

38、赵郡洨河石桥，隋匠李赵郡洨河石桥，隋匠李 春之迹也春之迹也”。距今已有近。距今已有近1400年历史，它不仅是我国而且也是年历史，它不仅是我国而且也是 世界上现存最早，保存最完整的巨大石拱桥，对世界后代的桥世界上现存最早，保存最完整的巨大石拱桥，对世界后代的桥 梁建筑有着十分深远的影响，特别是拱上加拱的梁建筑有着十分深远的影响，特别是拱上加拱的“敞肩拱敞肩拱”的的 运用，更为世界桥梁史上的首创。在欧洲，最早的敞肩拱桥为运用，更为世界桥梁史上的首创。在欧洲，最早的敞肩拱桥为 法国在亚哥河上修造的安顿尼铁路石拱桥和在卢森堡修造的大法国在亚哥河上修造的安顿尼铁路石拱桥和在卢森堡修造的大 石桥，但它比中

39、国的赵州桥已晚了近石桥，但它比中国的赵州桥已晚了近1100多年。多年。 赵州桥全长赵州桥全长64.4米，拱顶宽米，拱顶宽9米，拱脚宽米，拱脚宽9.6米，跨径米，跨径37.02 米，拱矢米，拱矢7.23米。从整体看，它是一座单孔弧形石桥，由米。从整体看，它是一座单孔弧形石桥，由28道道 石拱券纵向并列砌筑而成，其建筑结构之奇特，自古有石拱券纵向并列砌筑而成，其建筑结构之奇特，自古有“奇巧奇巧 固护，甲于天下固护，甲于天下”的美称，不仅有高度的科学性，而且具有我的美称，不仅有高度的科学性，而且具有我 国独特的民族艺术风格，是我国古代建筑的伟大作品。国独特的民族艺术风格，是我国古代建筑的伟大作品。1

40、991年，年， 赵州桥被美国土木工程师学会选定为世界第十二处赵州桥被美国土木工程师学会选定为世界第十二处“国际土木国际土木 工程历史古迹工程历史古迹”，是目前国内唯一一处。，是目前国内唯一一处。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 36 （一）（一） 概概 述述 1. 拱的概念： 2. 拱的特点： 杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产生水平杆轴线为曲线并且在竖向荷载作用下产生水平 反力的结构。反力的结构。 （1）在竖向荷载作用下在竖向荷载作用下, ,支座产生水平反力（推力）支座产生水平反力（推力）。 （2）拱轴线一般为曲线，拱截面上弯矩比同跨度（同荷载

41、）梁拱轴线一般为曲线，拱截面上弯矩比同跨度（同荷载）梁 的弯矩小，拱截面上主要承受压力，应力分布均匀。的弯矩小，拱截面上主要承受压力，应力分布均匀。 （3）由于拱的杆件是曲的，故施工麻烦由于拱的杆件是曲的，故施工麻烦。 （4）由于支座处有水平推力的存在，故对拱趾处地基要求高由于支座处有水平推力的存在，故对拱趾处地基要求高 ，基础大，基础大。 C A l B 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 37 C A l B 拱轴线拱轴线 拱趾拱趾 拱趾拱趾 跨度跨度 起拱线起拱线 拱顶拱顶 拱高拱高 f 拱高与跨度之比。它是拱结构设计中的重要参数之拱高与跨度之

42、比。它是拱结构设计中的重要参数之 一，工程中高跨比在【一，工程中高跨比在【10.1】范围内变化。】范围内变化。 高跨比高跨比(f/L)： 3. 拱的各部分名称 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 38 C A l B A B l A B l 三铰拱三铰拱 无铰拱无铰拱 二铰拱二铰拱 4. 拱结构的类型 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics（二）（二）三铰拱的计算三铰拱的计算 1. 支反力的计算支反力的计算 支反力计算同三铰刚架支反力计算同三铰刚架。 由由 MB=0 及 MA=0 得得VA= L bP ii V

43、B= L aP ii 由由 X=0 可得可得 HA=HB=H 取左半拱为隔离体取左半拱为隔离体 由由MC=0 有有 VAL1P1(L1a1) Hf=0 可得可得H= f )aL(PLV 1111A （a） （b） （c） V VA A V VB B HHA A H HB BA A B B C C f f L L1L2 a a1 1 P P1 1 a a2 2 P P2 2 b b1 1b b2 2 0 AV F 0 BV F A AB B P P1 1 P P2 2 C C 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 以上三式可写成：以上三式可写成： 0 0

44、 0 AA BB C VV VV M H f （41） 式中式中 000 , CBA MVV 为相应简为相应简 支梁的有关量值。支梁的有关量值。 V VA A V VB B HHA A H HB BA A B B C C f f L L1L2 a a1 1 P P1 1 a a2 2 P P2 2 b b1 1b b2 2 0 A V 0 B V A AB B P P1 1 P P2 2 C C 由式（由式（4-14-1）可以看出：）可以看出： 三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，而与各铰 间的拱轴线形状无关。间的拱轴线形状无关。 静定结构的

45、受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 41 2. 2. 内力的计算内力的计算 用截面法求任一截面用截面法求任一截面K(x,y)的内力。的内力。 y 取取AK段为隔离体段为隔离体, ,截面截面K的弯矩为的弯矩为 M=VAxP1(xa1) Hy 即即 M= 0 M HyHy （内侧受拉为正）（内侧受拉为正） 截面截面K上的剪力为上的剪力为 Q=VAcos P1 cos Hsin =(VAP1) cos Hsin = Q0cos Hsin 截面截面K上的轴力上的轴力( (拉为正）为拉为正）为 N=-QN=-Q0 0sin sin - Hcos- Hcos K Q0为相

46、应简支梁的剪力为相应简支梁的剪力 HHH HA A B B C C a a1 1 P P2 2 P P1 1 x y x A K VA H V VA A N Q M V VB B K 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 42 综上所述综上所述, ,三铰拱内力计算公式为三铰拱内力计算公式为 M= 0 MFHy Q=Q0cos - Hsin FN=-Q0sin - Hcos (42) 应用上述公式时，应注意以下问题：应用上述公式时，应注意以下问题： （1 1）本公式仅适用与竖向荷载作用下的水平三铰拱。）本公式仅适用与竖向荷载作用下的水平三铰拱。 （2 2

47、）公式中关于）公式中关于 符号：取左半拱，符号：取左半拱， 取取“+”号，取右半拱号，取右半拱 ， 取取“-”号。号。 3. 3. 内力图的绘制内力图的绘制 沿跨长或沿拱轴选取若干截面，计算出这些截面的内力值，沿跨长或沿拱轴选取若干截面，计算出这些截面的内力值， 以拱轴线的水平投影为基线，在垂直于基线的方向上按统一以拱轴线的水平投影为基线，在垂直于基线的方向上按统一 比例作出相应截面的内力值，连接各截面的内力峰值线，即比例作出相应截面的内力值，连接各截面的内力峰值线，即 得相应的内力图。得相应的内力图。 由式（由式（4-24-2）可知，三）可知，三 铰拱的内力值不但与铰拱的内力值不但与 荷载及

48、三个铰的位置荷载及三个铰的位置 有关，而且与各铰间有关，而且与各铰间 拱轴线的形状有关。拱轴线的形状有关。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 43 )xL(x L f4 y 2 解：解： 1. 1. 先求支座反力先求支座反力 由式（由式（4 41 1）得）得 kN575 12 3509614 VV 0 AA V VA A V VB B 例例 3-113-11 作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程为作三铰拱的内力图。拱轴为抛物线，其方程为 VA=75.5kN kN558 12 9503614 VV 0 BB VB=58.5kN kN2550 4 3

49、6146575 f M H 0 C H=50.25kN 75.5kN75.5kN 58.5kN58.5kN 2. 2. 按式按式（42）计算各计算各 截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图），计算各分截面的内力。为此，将拱轴沿水平方向八等分（见图），计算各分 段点的段点的M、Q、FN值。值。 以以1截面为例：截面为例： 将将 L=12m、f=4m 代入拱轴方程得代入拱轴方程得 1 H H V VA A0 0V VB B0 0 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 44 V VA A V VB B 58.5kN58.5kN75.5kN75.5kN

50、 50.25kN50.25kN 50.25kN50.25kN x y o 1 2 34 )x12( 9 x )x12(x 12 44 y 2 )x6( 9 2 dx dy tg 代入代入 x1=1.5m 得得 y1=1.75m tg1=1 据此可得据此可得 1=450sin 1=0.707 cos 1=0.707 于是由式（于是由式（42）得）得 mkN697512550) 2 51 511451575(HyMM 1 0 11 0 1111 cossin(75 5 14 1 5) 0 707 50 25 0 707 3 0Q QHkN N1=-Q10sin 1-Hcon1=-(7551415)

51、=-740 kN HH H 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 45 0.0 9.6 12.7 9.6 0.0 0.1 0.1 24.7 0.0 M 图图 kN.m N图图 kN 90.6 74.0 60.4 51.7 50.4 76.8 46.5 74.3 77.0 50.3 5.1 3.0 0.0 4.0 8.5 7.4 20.8 5.1 5.8 20.8 Q图图 kN 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 46 （三）（三） 三铰拱的合理拱轴线三铰拱的合理拱轴线 1.1.合

52、理拱轴线合理拱轴线：在三铰拱及荷载确定的情况下，若拱上所有在三铰拱及荷载确定的情况下，若拱上所有 截面的弯矩都等于零，使拱轴受轴力作用时，这时的拱轴线为截面的弯矩都等于零，使拱轴受轴力作用时，这时的拱轴线为 合理拱轴线。合理拱轴线。 2.2.合理拱轴线的确定：合理拱轴线的确定： 由式由式（42）的第一式的第一式 得得 M=M0Hy=0 由此得由此得 0 M y H （44） 上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标上式表明，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标y y 与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出相与相应简支梁弯矩图的竖标成正比。当荷载已知时，只需求出

53、相 应简支梁的弯矩方程式，除以常数应简支梁的弯矩方程式，除以常数H便得到合理拱轴线方程。便得到合理拱轴线方程。 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 47 例例 3-123-12 求图示对称三铰拱在均布荷载求图示对称三铰拱在均布荷载q q作用下的合理拱轴线作用下的合理拱轴线。 解：解： x y x 相应简支梁的弯矩相应简支梁的弯矩 方程为方程为: : M0 =)xL(qx 2 1 2 qx x 2 qL 2 由式（由式（4 41 1）得）得 02 8 C MqL H ff 于是由式（于是由式（4 44 4）有）有 0 2 4 () Mf yx Lx H

54、L 合理拱轴线为抛物线合理拱轴线为抛物线 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 48 N N+dN 例例 3-133-13 求图示对称三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载求图示对称三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载q q作用下作用下 的合理拱轴线的合理拱轴线。 解：解：本题为非竖向荷载，假定拱处于无弯矩状态，根据平衡条件本题为非竖向荷载，假定拱处于无弯矩状态，根据平衡条件 推求合理拱轴线的方程，为此，从拱中截取一微段为隔离体推求合理拱轴线的方程，为此，从拱中截取一微段为隔离体。 由MO=0 有有N-(N+dN)=0 式中式中为微段的曲率半径为微段的曲率半径 静定

55、结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 49 由上式得由上式得 0dN 由此可知由此可知 N= =常数常数 N N +dN 沿沿s-s轴写出投影方程有轴写出投影方程有 2sin0 2 d Nq d 因因 角极小，故可取角极小，故可取d 22 sin dd 于是，上式为于是，上式为0Nq 因因N为常数，荷载为常数，荷载q为常数，故为常数，故 N q = =常数常数 表明合理拱轴线是圆弧线表明合理拱轴线是圆弧线 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 50 例例3-143-14 设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，

56、试求拱的合设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合 理轴线，设填土的容重为理轴线，设填土的容重为 ，拱所受的分布荷载为，拱所受的分布荷载为 , ,其中其中 q qC C 为拱顶处的载荷集度。为拱顶处的载荷集度。 yqq C qc yqq c qc+.f f x y y y* 0MMH yMHfy 解解 由拱截面弯矩计算式由拱截面弯矩计算式 MMHy M yf H 由于荷载集度由于荷载集度q随拱轴线纵坐标随拱轴线纵坐标y而变，因此相应简支梁的而变，因此相应简支梁的 无法事先无法事先 写出，为此改用写出，为此改用q(x)和和y(x)表示：表示： M 22 22 1d yd M dxH

57、dx 对简支梁来说，对简支梁来说， d M dx q x 2 2 而而 q xqy c , 2 2 1 c d y qy dxH 根据图示的坐标系，上式成为根据图示的坐标系，上式成为 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 51 即即 c q yy HH c q y xA chxB shx HH xyA q xyB c 00 000 , , y q ch H x c 1 这一方程所代表的曲这一方程所代表的曲 线称为列格氏悬链线线称为列格氏悬链线 这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，其一般解这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，其一般解 可用双曲线函数表

58、示可用双曲线函数表示 常数常数A、B可由边界条件确定可由边界条件确定 于是，可得其合理拱轴线的方程为于是，可得其合理拱轴线的方程为 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 52 注意以下问题注意以下问题 1 1 三铰拱的合理拱轴线只有对已知的固定荷载才能确定，对三铰拱的合理拱轴线只有对已知的固定荷载才能确定，对 于动荷载不能得到真正的合理拱轴线，只能是拱轴相对的合理于动荷载不能得到真正的合理拱轴线，只能是拱轴相对的合理 些，这种情况在工程中经常遇到。些，这种情况在工程中经常遇到。 2 2 在固定荷载作用下的水平三铰拱的合理拱轴线有以下三在固定荷载作用下的

59、水平三铰拱的合理拱轴线有以下三 种（种（1 1）抛物线抛物线 （2 2）列格氏悬链线列格氏悬链线 （3 3）圆弧线圆弧线 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 53 思考题思考题 1 1 在相同跨度和竖向荷载作用下，拱趾等高的三铰拱，其水在相同跨度和竖向荷载作用下，拱趾等高的三铰拱，其水 平推力随矢高的减小而减小。（平推力随矢高的减小而减小。（ ） 2 2 三铰拱在竖向荷载作用下，其支座反力与三个铰的位置三铰拱在竖向荷载作用下，其支座反力与三个铰的位置 无关。与拱轴线的形状有关。（无关。与拱轴线的形状有关。（ ） 3 3 图示三铰拱的支座反力相同。（图

60、示三铰拱的支座反力相同。（ ） a aaa q a aaa 2qa 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 54 4 4 图示拱中图示拱中ABAB杆的轴力杆的轴力NAB为为 5 5 图示三铰拱图示三铰拱K右截面的弯矩右截面的弯矩MK= , = , 受拉。受拉。 6m 4m 10kN/m 2m 2m 20kN A B 10m 5m 5m 80kN 20kNm K A C B 5m 2m 4KN 190KNm外侧外侧 静定结构的受力分析静定结构的受力分析 Structural mechanics 55 4m4m4m 16kN A B 3m 1m 4m 16k