第六章 弯曲应力

1、第一节第一节 引引 言言 基本结论：基本结论：一般情况下，梁的横截面上同时存 一般情况下，梁的横截面上同时存 在着剪力在着剪力FS和弯曲和弯曲M， 所以横截面所以横截面 上同时存在正应力上同时存在正应力 和弯曲切应和弯曲切应 力力 。 其中，其中，弯曲正应力弯曲正应力 与弯矩与弯矩 M 相关；弯曲切应力 相关；弯曲切应力 与与剪力剪力FS 相关。相关。 S F M dA 简支梁简支梁CD段任一横截面上，剪力等段任一横截面上，剪力等 于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯于零，而弯矩为常量，所以该段梁的弯 曲就是曲就是纯弯曲纯弯曲. . 若梁在某段内各横截面的弯矩为常若梁在某段内各横截面的弯矩为常

2、量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为量，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为 纯弯曲纯弯曲. + + F F + Fa FF aa C D AB F F B 第三节第三节 弯曲正应力弯曲正应力 bb aa m m n n OO M M bb a a m m n n O O 中性轴中性轴 d y O O dx y OO 变形几何关系变形几何关系 bb bb 考察距中性层为考察距中性层为 y 、长度为、长度为 dx 的纵的纵 向向“纤维纤维” 原长：原长：ddbbxOO 变形后长度：变形后长度：dbby 线应变：线应变： 1bbbb y bb 式中，式中， 为中性层的曲率半径为中性层的曲率半径 结论：结论

3、：梁横截面上任意点处的纵向线应变与该点到中性层的距离梁横截面上任意点处的纵向线应变与该点到中性层的距离 成正比成正比 y x z y物理关系物理关系 1 y 结论：结论： 梁横截面上任意点的弯曲正应力与该点的纵坐标梁横截面上任意点的弯曲正应力与该点的纵坐标 y 成正比，成正比， 根据胡克定律根据胡克定律 1 EEy 即弯曲正应力沿截面高度方向呈线性分布。即弯曲正应力沿截面高度方向呈线性分布。 存在两个待定问题：存在两个待定问题： 1）中性轴的位置？）中性轴的位置？ 2）中性层的曲率（曲率半径）？）中性层的曲率（曲率半径）？ O y z x O Me z y 静力学关系静力学关系 横截面上内力系

4、为垂直于横截面的横截面上内力系为垂直于横截面的 空间平行力系，这一力系向横截面形心空间平行力系，这一力系向横截面形心 简化得到简化得到: FR M 0 （1） M （2 2） y R Fd A F O Md A M d A A d A y A dFd A dM dA d0 R A y FEA 0d A Ay E 0d A Ay z S z IE M 1 d O A y MyEAM MI E z MAy E A d 2 2d z A yAI z EI M 1 y E z I My 讨论讨论 I yM z max max W M max max y I W z b h z y z d y z D

5、d y 32 2 2 12 h h bh ybdy 2 z A Iy dA 32 /12 / 2/ 26 z Ibhbh W hh 43 /64 / 2/ 232 z Idd W dd 4 64 z d I 4 4 (1) 64 z D I 3 4 (1) 32 Dd W D z y y maxc y maxt M y maxt y maxc z I My maxc tmax I My z maxc maxc I My z maxt maxt ( ) z M x y I 5/ hl max max W M max M W max WM max W M ct maxcmaxt tmaxt cma

6、xc 例例1 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的 尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应 力max和同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正 应力a。 第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 解：解： max 150 10 375 44 kN m Fl M 375kN m SF 75kN 75kN 75kN AB FF 由型钢规格表查得56a号工字钢截面 3 cm2342 z W 4 cm65586 z I MPa160 m102342 mN10375 36 3 max max z W M 3 max 8 0.56 375 100.021 2 148 6558

7、6 10 MPa a a z My I 于是有 危险截面上点a 处的正应力为 显然，梁的自重引起的最大正应力仅为 而危险截面上的最大正应力变为 MPa7 .165Pa107 .165 m102342 mN10388 6 36 3 max MPa7 . 5MPa1607 .165 远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。 mkN388mkN13mkN375 84 2 max qlFl M 如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变， 但相应的最大弯矩值变为 80 y1 y2 20 20120 z 例例2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.

8、铸铁的许用拉铸铁的许用拉 应力为应力为 t = 30MPa ，许用压应力为许用压应力为 c =160MPa. 已知截面对已知截面对 形心轴形心轴z的惯性矩为的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度校核梁的强度. F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kNm 2.5kNm 解：解：1）求解约束反力）求解约束反力 - + 4kN 2.5kN + 6.5kN 解得解得 2）剪力图、弯矩图）剪力图、弯矩图 最大弯矩在截面最大弯矩在截面B上上 10 5 R kN B F. 2 5 R

9、 kN A F. 12 2110 RA FFF 0 BM 12 1230 RB FFF 0 AM 4kN m BM FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m 80 y1 y2 20 20120 z 3）强度校核）强度校核 B截面：截面： 3 8 4000 52 10 27.2 763 10 MPa 1 maxt B z y M I 2 maxc B z y M I 3 8 40001405210 46.2 763 10 MPa t c FRAFRB F1=9kNF2=4kN A CB D 1m1m1m - + 4kNm 2.5kNm 80 y1 y2 20 20120

10、 z 最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C上上 2.5kN m CM 2 maxt C z y M I C截面：截面： 33 8 2.5 101405210 28.8 763 10 MPa 1 maxc C z y M I 3 8 2500 52 10 763 10 c t 该梁强度足够该梁强度足够 (a) 例例3 3 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示 的简支梁。钢的许用弯曲正应力=152 MPa 。试选择工字 钢的号码。 FAFB 解：（1）求支座反力）求支座反力 112.5kN AB FF 由对称性可得由对称性可得 mkN375 max M （2）在不考虑梁的自重的情况下，

11、）在不考虑梁的自重的情况下， 该梁的剪力图和弯矩图如图所示：该梁的剪力图和弯矩图如图所示： 强度条件 要求： z W M max 36 6 max m102460 Pa10152 mkN375 M Wz （3）选择工字钢。）选择工字钢。 FAFB - + 112.5kN 37.5kN 37.5kN 112.5kN 112.5kN AB FF 363 m102447cm2447 z W 此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。 由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为 第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 由型钢规格表查得56c可选。 63 2460 10m z W 例例4 4 图

12、a所示为横截面如图b所示的槽形截面铸铁梁，该截 面对于中性轴z 的惯性矩Iz=5493104 mm4。已知图a中， b=2 m。铸铁的许用拉应力t=30 MPa，许用压应力 c=90 MPa 。试求梁的许可荷载F。 第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 (a)(b) RA F BR F 解：解：1）求解约束反力）求解约束反力 解得解得 7 4 RB FF 4 RA F F 20 2 RA Fb FbFbb b 0 BM 5 20 2 RB Fb FbFbb b 0 AM 4 RA F F B 7 4 R F F 2）剪力图、弯矩图）剪力图、弯矩图 最大弯矩在截面最大弯矩在截面B上上 2 B Fb M

13、 - + / 4F 3/ 4F F B截面： 3 3 4124 286 10 86 10 2 5493 1010 t,max mm m m B z F M I 强度条件 要求： maxz MW 3）确定）确定梁的许可荷载F 3 3 4124 2134 10 86 10 2 5493 1010 c,max mm m m B z F M I 6 90 10 c Pa 6 30 10 t Pa 19161NF 36893NF 3 3 4124 286 10 86 10 4 5493 1010 c,max mm m m c z F M I C截面： 3 3 4124 2134 10 134 10 4

14、5493 1010 t,max mm m m C z F M I 6 90 10 c Pa 6 30 10 t Pa 24596NF 114970NF 该梁的许可荷载为F=19.2 kN。 第五节第五节 q(x) F1F2 z 在中性轴上各点处，切应力达到最大值在中性轴上各点处，切应力达到最大值 式中，式中，A=bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积. d 腹板的厚度腹板的厚度 最大切应力也在中性轴上最大切应力也在中性轴上 2.2.工字形截面梁工字形截面梁（工（工-section beam) o z y h 腹板 翼缘翼缘 SS max 33 22 FF bhA maxmin S F dh oz

15、 y h b S * : zz F d IS 或或 y d z O y r0 S max 4 3 F A 2 4 d A max 2 S F A A A A A 1 4 3 1.5 2 k S max F k A 三、需要校核切应力的几种特殊情况三、需要校核切应力的几种特殊情况 （1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，M 较小，而较小，而FS较大时较大时, ,要校核切应力；要校核切应力； （2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面, ,其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力； （3 3）各向异性材料各向异性材料

16、( (如木材如木材) )的抗剪能力较差，的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力. . 二、强度条件二、强度条件（Strength condition） （4 4）集中外力靠近约束端，集中外力靠近约束端，要校核切应力要校核切应力. . max F 例例5 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示.起重量起重量 (包含电葫芦自重包含电葫芦自重)F = 30 kN. 跨长跨长l = 5 m. 吊车大梁吊车大梁AB由由20a工字钢制成工字钢制成.其许其许 用弯曲正应力用弯曲正应力 =170MPa,许用弯曲切许用弯曲切 应力应力 = 100MPa ，试校核梁的强度，试校核梁的强度. a F 5m

17、AB 解：此吊车梁可简化为简支梁，解：此吊车梁可简化为简支梁， F在任意位置在任意位置a时时 A F B F 5 5 A Fa F 5 B Fa F 1）求解约束反力）求解约束反力 2）剪力图、弯矩图）剪力图、弯矩图 + - 5/5Fa /5Fa + 5/5Faa 2 max 55 55 FaaFaFa M F + 37.5 kNm 弯矩最大时，弯矩最大时，F位置位置 （1）正应力强度校核）正应力强度校核 由型钢表查得由型钢表查得20a工字钢的工字钢的 所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为 5m AB 2.5m F C 2 F 2 F d52 d5 MFFa a 0 2.5ma max 3

18、7.5kN m M 3）强度校核）强度校核 3 237cm zW max max 9 37500 158 237 10 MPa z M W F在中间位置，弯矩最大 + FSmax （2）切应力强度校核）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载在计算最大切应力时，应取荷载F 在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座A处所示，因处所示，因 为此时该支座的支反力最大，而梁的最为此时该支座的支反力最大，而梁的最 大切应力也就最大大切应力也就最大. 查型钢表中，查型钢表中，20a号工字钢，有号工字钢，有 d=7mm 以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的以上两方面的强度条件都满足，所以此梁

19、是安全的. 5m AB F C RA FF RB F0 max 30 SR kN A FFF * max 17.2cm z z I S max max 32* max 30000 24.9 7 1017.2 10: S =MPa z z F d I S 例例6 简支梁简支梁AB如图所示如图所示. l2m，a0.2m. 梁上的载荷为梁上的载荷为q为为 10kN/m，F200kN.材料的许用应力为材料的许用应力为 =160MPa， 100MPa，试选择工字钢型号，试选择工字钢型号. 解：（解：（1）计算支反力做内力图）计算支反力做内力图. q B A CDE l F F a a 8kN 210kN

20、 208kN 41.8 kNm 41.8 kNm 45 kNm （2）根据最大弯矩选择工字钢型号）根据最大弯矩选择工字钢型号 查型钢表，选用查型钢表，选用22a工字钢，其工字钢，其 Wz309cm3 3 3 max 6 45 10 281 160 10 cm z M W （3）校核梁的切应力）校核梁的切应力 腹板厚度腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为210kN 查表得查表得 ,cm9 .18 * max z z S I MPa100MPa148 1075. 0109 .18 10210 22 3 maxmaxS max bI SF z z max超过超过 很

21、多，应重新选择更大的截面很多，应重新选择更大的截面.现已现已25b工字钢进工字钢进 行试算行试算 查表得查表得,cm9 .18 * max z z S I d=1cm MPa100MPa6 .98 101103 .21 10210 22 3 max 所以应选用型号为所以应选用型号为25b的工字钢的工字钢. 2.2m 200 z 220 120 10 4 cm2370 z I 62.5kNm 2.2m F 1.41m 2.5m 5m A B CD 1.4m FRBFRA mkN5 .62 max M 200 z 220 120 10 48 m105020 10)5110(120 10 2102730 12 8 z I m10 456 36 max y I W z z max cmax 137MPa z M W 2.2m F 1.41m 2.5m 5m A B CD 1.4m FRBFRA 50.4 kNm mkN4 .50 l Fab MD cm237 3 Wz MP213 max a W M z D D Smax FF 第六节第六节 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 一、降低梁的最大弯矩值一、降低梁的最大弯矩值 1.1.合理地布置梁的荷载合理地布置梁的荷载 按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度