第3章：数据的表示方法

1、 我们在日常生活中经常使用的数据有09数字组成的数据 （称为数值型数据），还有英文字母、标点符号、汉字等数据 （称为字符型数据）。要想让计算机能处理这些数据，那么首 先就要解决这些数据在计算机中如何表示和存储的问题。 在这一章里，通过学习同学们需要了解如下内容： （1）常用进制之间的转换； （2）定点数的表示方法； （3）浮点数的表示方法； （4）编码及检验； 第3章：数据的表示方法 1 1 进制进制 一、进位计数数制 作为进位计数数制具有两个基本要素：基数和权 所谓基数：数制中所用到的代码的个数。 所谓权：不同数位的固定常数。如下图 二、计算机中使用二进制的原理 1、便于物理器件实现 在物理

2、中具有两个稳定状态的物理器件很多：晶体管的“截止” 和“导通”，电容的“充电”和“放电”，电压信号的“高”和 “低”，脉冲的“有”和“无”，电磁单元的“正向磁化”和 “反向磁化”等。 2、二进制运算规则简单 基数为J的进制，其求和、求积的公式各有J（J+1）/2种。 如：2进制：求和：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=10； 求积：0*0=0，1*0=0*1=0，1*1=1 十进制：基数位10 二进制：基数位2 在人类社会活动中都采用的是进位计数制。目前常用的进 位计数制有： （1）十进制 （2）60进制（分、秒） （3）12进制（年，时 钟） （4）八进制（星期） （5）二进制（鞋、袜

3、、筷子） 在计算机里，使用的进位制有四种进制： (1)十进制 D (2)二进制 B (3)八进制 Q (4)十六进制 H 2 2 常用进制转换常用进制转换 一、二进制数 十进制数 1、将十进制数转换成二进制数的方法 连续用不大于它的2n的值去减，直至余数为0，被减过的2n，表 明第n位为1，否则为0，最右边为第0位。 例1:（6894）D=（1101011101110）B 例2：把（0.6875）D变成二进制数：（0.6875）D=（0.1101）B 例3：（0.9）D转化成二进制 练习：把（100.375）D，（35.625）D转化成二进制数 2、二进制数转换成十进制数 将对应的二进制数字中

4、各位为1的位的值相加即可 例1：(11001)B=124+123+120=（25）D 例2：（110.101）2=122+121+12-1+12-3=（6.625）B 例3：将n位全是1的二进制数整数，其十进制数值为多少？(2n-1) 例4：计算1011.0123和1011.0123 将上述两题的运算结果同运算前的被乘数或被除数相比，我 们可以得出结论： 一个二进制数乘以或除以一个2n，相当于该二进制数的 小数点向左或向右移动n位，不够的位补0。 二、二进制数 十六进制数 在讲述它们之间的转换之前，我们先介绍一下十六进 制的表示符号，我们知道对于十进制数是用0、1、3、4、5、 6、7、8、9

5、十个数字表示，对于二进制数是0和1两个数字 表示，依次类推，十六进制数就应该用十六个符号表示， 对应的十六个符号为：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、 B、C、D、E、F 1、二进制数向十六进制数转换 方法：整数部分从右至左，小数部分从左至右，每四位分 成一组，然后每一组用一位十六进制数表示出来即可。 例1：（10011100）B转换十六进制数 （1001，1100）B=（9C）H 例2：（110011010.11011）B转换成16进制数。 2、十六进制向二进制转换 方法：将每一位十六进制数用四位二进制数表示出来即可 例1：（A6）H =（10100110）B 例2：（8D）H =

6、（10001100）B （3F8）H =（001111111000）B 三、二进制数 八进制数 八进制数就用八个符号表示，对应的八个符号为：0、1、 2、3、4、5、6、7 1、二进制数向八进制数转换 方法：整数部分从右至左，小数部分从左至右，每3位分成一 组，然后每一组用一位八进制数表示出来即可。 例：（1）1110111101.0101001B=( )Q （2）110011010.11011B=( )Q 2、八进制向二进制转换 方法：将每一位十六进制数用四位二进制数表示出来即可 例： （1）365.47Q=（011110101.100111）B （2）56.345Q=（101110.011

7、100101）B （3）765013Q=（111110101000001011）B 四、十进制数 八进制数、十六进制 1、八进制、十六进制向十进制转换有两种方法： 方法一：将八进制或十进制数先转换成对应二进制数，然后，将 所得二进制数展开相加。 例：56.345Q=101110.011100101D =125+123+122+121+12-2+12-3+12-4+12-7+12-9 =32+8+4+2+0.25+0.125+0.0625+0.0078125+0.001953125 =46.447265625 方法二：直接按数展开相加 例:56.345Q=581+680+38-1+48-2+58

8、-3 =58+61+30.125+40.015625+50.0009765625 =46.447265625 2、十进制向八进制或十六进制转换 方法一：先将十进制数转换对应二进制数，再将二进制数转 换成八进制或十六进制 例：将(34)D转换成八进制和十六进制 （34）D=（100010）B =（22）H=(42）Q 方法二：将十进制数直接除以8或16，除到余数小于8或16， 将余数用一位八进制符号或一位十六进制符号表示，并把它 写在商的后面即为转换的结果。 【数制转换中的小技巧】 （1）152.25D=（10011000.01）B=（230.2）Q=（98.4）H 152=128+16+8=2

9、7+24+23 0.25=2-2 (2)11111111B=( 255 )D 11111111+1-1=100000000-1=28-1=255 (3)7/16D=(0.0111)B 7/16=(22+2+1)/24=(2-2+2-3+2-4)=(0.0111)B 3 3 定点数的表示方法定点数的表示方法 在上一节进制转换的例子中，我们看到在现实生活中使用的 数值型数据完全可以转换成二进制数据来表示。如： 150D=10010110B，-150D=-10010110B 150.4D=10010110.0110011B，-150.4D=-10010110.0110011B 那么这些我们所看到的二

10、进制数就是计算机中能处理的二进 制数吗？肯定不是，因为还有几个问题没有解决： （1）数的符号数值化问题。0表示正，1表示负 （2）小数点的位置问题。约定：定点数和浮点数 （3）表示范围问题。受机器字长限制，超出此范围就称为溢出 一、几个基本概念 1、机器数：在计算机中表示出来的数。一般采用符号和数值 一起编码的方法来表示数据。 2、真值：一个机器数所代表的数值称为该机器数的真值。 3、定点数：小数点位置固定不变时所表示出来的数。从理论 上讲，小数点位置固定在哪一位都可以，但实际上通常将数 据表示成纯小数或纯整数。 4、浮点数：小数点位置不固定时所表示出来的数。这会带来 表示方法不唯一的问题。

11、【注意】一台计算机中数值究竟采用定点表示还是浮点表 示，要根据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机以上 的计算机中是采用定点还是采用浮点表示，由用户进行选择。 而单片机采用定点表示。一般来说，定点表示的数值范围有 限，但要求处理的硬件比较简单；而浮点表示的数据范围很 大，但要求处理的硬件比较复杂。 二、定点表示法 所谓定点（ fixed point）表示法：是指计算机中的小数点 位置是固定不变的。 根据小数点位置的固定方法不同，可分小数点固定在最低 位之后和小数点固定在数的最高位之前两种。 （1）设x的形式为x=x0.x1x2xn，（其中x0为符号位，x1 xn 是数值部分，也称为尾数，x1

12、为最高有效位），则在计算 机中的表示形式为： 这种小数点固定在数的最高位之前的表示法称为定点小数 表示法。它表示的数据范围为：-2-n 1-2-n 即（-0.0001+0.1111） X0X1 X2Xn 数值部分 小数点位置 符号位 x （2）设x的形式为x=x0 x1x2xn，（其中x0为符号位，x1 xn 是数值部分，也称为尾数，xn 为最低有效位），则在计算机中 的表示形式为： 这种小数点固定在数的最低位之后的表示法称为定点整数表 示法。它表示的数据范围为：1 x2-n -1 X0X1X2Xn 数值部分小数点位置 符号位 即（00011111） 当计算机采用定点整数表示时，它只能表示整数

13、。但在实际问题中，数不可 能总是整数，因此，对非整数进行必要的加工。加工的方法是选择适当的比 例因子，使全部参加运算的数都变为整数。 例如:二进制数+101.1和-10.11都是非整数，若将它们乘以比例因子22，则得 +101.122=+10110 10.1122=1011 当然，在输出结果时必须除以比例因子。 三、定点数的原码、反码和补码表示 原码：真值X的符号数值化后所表示出来的机器数。记为X原 反码：正数的反码与正数的原码相同，负数的反码的数值部分 是将该负数原码的数值部分各位取反。记为X反 补码：正数的补码与正数的原码相同，负数的补码的数值部分 是将该负数反码的数值部分加1。记为X补

14、总结：设计算机的字长为N位，X=Xn-2 Xn-3X0 其中，Xi=0 或1，则有： （1）真值X=+Xn-2Xn-3X0时 X原=X反=X补=0Xn-2Xn-3X0 即正数的原码，反码，补码完全相同。 （2）真值X= -Xn-2Xn-3X0时。 X原=1Xn-2Xn-3X0 X反=1Xn-2Xn-3X0 X补=1Xn-2Xn-3X0+1=X反+1 例1：已知计算机字号为8位，该机器采用定当整数（小数点在 最右边）表示数据，试写出二进制数x=+101010和y=-101010在 机器中表示的原码、反码和补码。 解： （1）X=+101010 因X为正，则X原=X反=X补=00101010 （2

15、）Y=-101010 因Y为负数，所以： Y原=10101010，Y反=11010101，Y补=11010110 例2 ：已知X补=101101，求真值X 解：（1）由补码求反码：X反=X补 -1=101101-1=101100 （2）由反码求原码：X原=X反=110011 X补的符号位为1。显然X原对应的真值为负， 所以 X=-10011 注意：负数在机器中一般用补码表示注意：负数在机器中一般用补码表示。 例3：请求出+0和-0的原码、反码和补码 （1）小数： +0.0000000原=0.0000000;-0.0000000原=1.0000000 +0.0000000反=0.0000000;

16、-0.0000000反=1.1111111 +0.0000000补=0.0000000;-0.0000000补=0.0000000 （2）整数： +0000000原=0,0000000;-0000000原=1,0000000 +0000000反=0,0000000;-0000000反=1,1111111 +0000000补=0,0000000;-0000000补=0,0000000 【结论】“0”的原码表示：不唯一；“0”反码表示不唯一；0 补码表示唯一。 求下列各数的原、反、补码（设字长为5位） 由上例可以看出：数的原、反、补码的大小顺序与其真值大小 顺序不一致。这就带来一个问题，即数的大小

17、比较很麻烦。 四、移码表示 （1）定义： 定点小数：X移=1+X (-1=X1) 定点整数：X移=2n-1+X （-2n-1=X0,符号为1；X=0.5）;而小数点后面的数必须为定点小数（即 =n+k+1 设n+k位为代码自左至右依次编为第1,2,3,n+k 位，而将k位检测位记作Ci(i=2j-1,j=1,k),分别安 插在n+k位代码编号的第1,2,4,8,2k-1位上。 ， 海明码的组成需增添海明码的组成需增添 ？位检测位位检测位 检测位的位置检测位的位置 ？ 检测位的取值检测位的取值 ？ 2k n + k + 1 2i ( i = 0、1、2 、3 ) 检测位的取值与该位所在的检测检测

18、位的取值与该位所在的检测“小组小组” 中中 承担的奇偶校验任务有关承担的奇偶校验任务有关 组成海明码的三要素组成海明码的三要素 例例4.4 求求 0101 按按 “偶校验偶校验” 配置的海明码配置的海明码 解：解： n = 4 根据根据 2k n + k + 1 得得 k = 3 海明码排序如下海明码排序如下:c1=3+5+7 c2=3+6+7 c4=5+6+7 二进制序号二进制序号 名称名称 1 2 3 4 5 6 7 C1 C2 C4 0 0101 的海明码为的海明码为 0100101 01 0 1 10 按配偶原则配置按配偶原则配置 0011 的海明码的海明码 二进制序号二进制序号 名称名称 1 2 3 4 5 6 7 C1 C2 C4 1 0 0 00 1 1 解：解： n = 4 根据根据 2k n + k + 1 取取 k = 3 C1= 3 5 7 = 1 C2= 3 6 7 = 0 C4= 5 6 7 = 0 0011 的海明码为的海明码为 1000011 练习练习1 3. 海明码的纠错过程海明码的纠错过程 形成新的检测位形成新的检测位 P