磁学和电磁感应(第七章和第八章)作业讲评

1、第七章 恒定电流和磁场（一） 一选择题 n B S B n B 3在磁感强度为 的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S 边线所在平面的法线方向单位矢量 与 的夹角为，则通过 半球面S的磁通量为(取曲面向外为正) (A) r2B (B) 2r2B (C) -r2Bsin (D) -r2Bcos 分析：作半径为r的圆S与半球面构成构成一闭合曲面，由 磁场的高斯定理有： S 0 SS SdBSdBSdB SS SdBSdB cos 2 rB 4图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I，区域、 、均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最 大？ （A）区域 （B）区域 （C）区域 （D）区域

2、（E）最大不止一个 III IIIIV 1一导体由共轴的内圆柱体(半径为R)和外圆柱筒构成，导体的 电导率可以认为是无限大，内、外柱体之间充满电导率为g的均 匀导电介质若圆柱与圆筒之间加上一定的电势差，在长度为L 的一段导体上总的径向电流为I.求：（1）在柱与筒之间与轴线 的距离为r的点的电流密度和电场强度；（2）内圆柱体与导电介 质界面上的面电荷密度. SdJI 解：在以圆柱体的轴为轴，半径为r,长度为L的圆柱面上 JdS dSJrLJ2 在柱与筒之间与轴线的距离为r的点的电流密度 rL I J 2 EJg由 g J E grL I 2 (2) 在圆柱体的表面处处的电场强度为 0 EE 0

3、g RL I 2 0 2当架空线路的一根带电导线断落在地上时，落地点与带电导线 的电势相同，电流就会从导线的落地点向大地流散设地面水平， 土地为均匀物质，其电阻率为10W.m，导线中的电流为200A若人 的左脚距离导线落地点为1m，右脚距离落地点为1.5m ，求他两脚 之间的跨步电压 SdJI 解： 电流以导线落地点为中心沿半径方向呈辐射状流向大地，在 半径为r的半球面上流过的电流I与此面上的电流密度的关系为： JdS dSJJr 2 2 2 2 r I J g J E 此面上的电场强度 两脚之间的跨步电压 2 1 r r rdEU 21 11 2rr I V1 .106 J 2 2 r I

4、2 1 r r Edr 2 1 2 2 r r dr r I 4 图所示为两条穿过y轴且垂直于oxy平面的平行长直导线的正视图， 两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a (1) 推导出x轴上P点处的磁感强度的表达式. (2) 求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值 I I x y a a O P x r I B 2 0 1 2/122 0 )( 1 2xa I y r r x a a 2 1 O P x B1 B2 解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P点产 生的磁感强度的大小为： 2/122 0 )( 1 2xa I 0 21 yyy BBB coscos 2121

5、 BBBBB xxx P 点总场 )( 22 0 xa Ia 2导线在P点产生的磁感强度的大小为： r I B 2 0 2 i xa Ia xB )( )( 22 0 (2) 从上式可知,x=0,即P点在x轴上的坐标原点时，B取得最大值 5 设氢原子基态的电子轨道半径为a0，求由于电子的轨道运动 (如图)在原子核处(圆心处)产生的磁感强度的大小和方向(注 意，电子质量为me ,不考虑相对论效应) 0 2 e 2 0 2 0 4 1 a m a e 解：电子绕原子核运动的向心力是库仑力提供的即 00e 2am e 电子绕原子核转动的角速度为： 0 a 由于电子的运动所形成的圆电流 2 e i 0

6、0e 2 0 2 0 1 8ama e 因为电子带负电，电流i的流向与速度方向相反 0 0 2a i B i在圆心处产生的磁感强度 其方向垂直纸面向外 a0 v 00e 0 1 ama e 00 0 2 1 4ama e e 第七章 恒定电流和磁场（二） 2 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积S1=2S2，通有电流I1=2I2， 它们所受的最大磁力矩之比M1/M2等于 （A）1 （B）2 （C） 4 （D） 1/4 1 长直电流I2与圆形电流I1共面，并与其一直径相重合如图(但两者 间绝缘)，设长直电流不动，则圆形电流将 (A) 绕I2旋转 (B) 向左运动 (C) 向右运动 (D) 向上运

7、动 (E) 不动 I2 I1 分析：圆形电流上所有电流元所受的长直电流的磁场力都在屏 幕平面上，右边的力沿径向向外，而左边的沿径向向内，所以 合力向右 dF1 dF2 BpBeISM m n 分析分析： 2如图所示，两根相互绝缘的无限长直导线1和2绞接于O点，两导线 间夹角为，通有相同的电流I试求单位长度的导线所受磁力对O 点的力矩 1 2 I O I 解：在任一根导线上(例如导线2)取一线元dl，该线元距 O点为l该处的磁感强度为 sin2 0 l I B dF 方向垂直于纸面向里 BlIF dd 电流元Idl受到的磁力为 lIBFdd 其大小 方向垂直于导线2，如图所示 该力对O点的力矩为

8、FlMdd sin2 2 0 I MMd 任一段单位长度导线所受磁力对O点的力矩 导线2所受力矩方向垂直图面向外，导线1所受力矩方向与此相反 sin2 d 2 0 l lI sin2 d 2 0 lI 1 2 0 d sin2 l l l I 第七章 恒定电流和磁场（三） 一选择题 R O O r a 3在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r的长直圆 柱体，两柱体轴线平行，其间距为a，如图今在此导体上通以电 流I，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O点的磁感应强度 的大小为： 2 2 0 2 )A( R a a I 2 22 0 2 )B( R ra a I 22 2 0 2 )C

9、( rR a a I 2 2 2 2 0 2 )D( a r R a a I 分析：在挖去的部分补上一圆柱体，且通以正反方向的电流， 此时系统可看为两个均匀通电的圆柱体。 4如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面处处相等 的铁环上，稳恒电流I从a端流入而从d端流出，则磁感强度 沿图 中闭合路径L的积分 等于 B L lB d I 0 )A( I I a b c d L 120 3/ )B( 0I 4/ )C( 0I 3/2 )D( 0I 1 2 分析：将铁环看为两部分组成，这两部分并联，所以其电流比 1 2 2 1 R R I I III 213/2 2 II 3/4 3/2 r

10、r 1 2 l l , 2 1 5如图所示，在宽度为d的导体薄片上有电流I沿此导体长度方向流 过，电流在导体宽度方向均匀分布导体外在导体中线附近处P点 的磁感强度 的大小为 B P I I d d 俯视图 )2/( 0 dI 分析分析：考虑导体中线附近处P点的磁感强度时，可认 为电流分布具有面对称性，此时板外磁场方向平行 于板面并与电流方向垂直，建立关于板面对称的矩 形回路，利用安培环路定理求解。 7一个半径为R、电荷面密度为的均匀带电圆盘，以角速度绕 过圆心且垂直盘面的轴线A A旋转；在距盘心为r处取一寛为d r的 圆环，则圆环内相当于有电流 ，今将其放入磁感应强度 为B的均匀外磁场中,B的

11、方向垂直于轴线A A该电流环所受磁力 矩大小为 ，圆盘所受合力矩大小为 rrd rBrd 3 4/ 4 BR 2 dq dI 分析分析： BpdMd m ； 2 2 rdr dIBr 2 rBrd 3 3. 给电容为C的平行板电容器充电，电流为i = 0.2e-t ( SI )，t = 0 时电容器极板上无电荷求： (1) 极板间电压U随时间t而变化的关系 (2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应) C q U 解： (1) iI d (2) 由全电流的连续性，得 (SI)e1 ( 2 . 0 t C t ti C 0 d 1 (SI)2 . 0 t e A B O a b B m

12、 P OB 5均匀带电刚性细杆AB，电荷线密度为，绕垂直于直线的轴O 以角速度匀速转动（O点在细杆AB延长线上）求：（1）O 点的 磁感应强度；（2）磁矩；（3）若ab，求和 m P O a r b dr r I B 2 d d 0 0 它在O点的磁感强度 Irpmdd 2 (2) ;ln a b a ba )/31 ()( 33 ababa(3) 若a b，则 a b B 4 0 0 23 2 13 6 ab a b apm 与点电荷作圆周运动时的对应量相同。 00 dBB a ba ln 4 0 方向 ba a mm rrppd 2 1 d 2 6/ )( 33 aba方向 2 d dq

13、I 解：(1) rr+dr段电荷 dq = dr旋转形成圆电 流 rd 2 r rd 4 0 ba a r rd 4 0 rr d 2 1 2 6一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3 的同轴导体圆筒组成中间充满相对磁导率为r的各向同性均匀非铁磁绝缘材 料，如图传导电流I沿导线向上流去由圆筒向下流回，在它们的截面上电 流都是均匀分布的求同轴线内外的磁感应强度大小B的分布 II 1 R 3 R 2 R 2 2 1 r1 1,0r R I IRr 传 ， 解：建立与长导线同心的圆作为积分回 路，圆半径为r，利用安培环路定理得： r I H 传 2 对于各向同性的介质

14、有HB r0 2 1 0 1 2 R Ir B , 21 IIRrR 传 r I B 2 r0 2 ,1 2 2 2 3 2 2 2 r32 I )R(R )R(r II， ,RrR 传 2 2 2 3 2 2 2 0 3 1 2RR Rr r I B 0,1 r3 传 I， ,Rr 0 4 B r I 传 2 r0 , 2 1 2 I R r 7一块半导体样品的体积为abc沿c方向有电流I，沿厚度a边 方向加均匀外磁场B（B的方向和样品中电流密度方向垂直）若实 验出沿b边两侧的电势差U且上表面电势高（1） 问这半导体是p 型（正电荷导电）还是n型（负电荷导电）？（2） 求载流子浓度n0 （即

15、单位体积内参加导电的带电粒子数） U I c b a B aqU IB n 0 解：(1) 若为正电荷导电，电荷运动方向与电流 同向，椐洛伦兹力公式知：正电荷堆积在上表面， 上表面是高电势； a IB RU H (2) 由霍耳效应知，在磁场不太强时，霍耳电势差U与电流强度I， 磁感强度B成正比，而与样品厚度a成反比，即： 若为负电荷导电，电荷运动方向与电流反向，椐洛伦兹力公式 知负电荷堆积在上表面，上表面是低电势； 据题中描述知上表面是高电势，所以推知该半导体是p型。 a IB qn0 1 第八章 电磁感应（一） 0l dBud i 分析： 4. 长度为l的金属棒AB在均匀磁场中以速度u匀速运

16、动，则AB中的 电动势为 A B Blu )A(sin )B(Blu cos )C(Blu0 )D( u 5. 将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁 通量随时间的变化率相等，则不计自感时 (A) 铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势 (B) 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小 (C) 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大 (D) 两环中感应电动势相等 7 在两个永久磁极中间放置一圆形线圈，线圈的大小和磁极大 小约相等，线圈平面和磁场方向垂直今欲使线圈中产生逆时针 方向(俯视)的瞬时感应电流i(如图)，可选择下列哪一个方法？ (A) 把线圈在自身平面内绕圆心旋转一个小角

17、度 (B) 把线圈绕通过其直径的OO轴转一个小角度 (C) 把线圈向上平移 (D) 把线圈向右平移 O S N O i 不变 m m m m 分析：两个永久磁极间的磁感应线是从N指向S极， 并且在边沿附近磁感应线有弯曲。基于磁通量变化， 利用楞次定律和右手螺旋法则即可进行分析。 l b B c a l l 1 如图所示，等边三角形的金属框边长为l，放在均匀磁场中， ab边平行于磁感强度，当金属框绕ab边以角速度 转动时，bc 边上沿bc的电动势为 _,ca边上沿ca的电动势 为 ，金属框内的总电动势为_（规定电 动势沿abca绕向为正值） 8/3 2 lB 0 8/3 2 lB l dBu 分

18、析： bc边上沿bc的电动势 x 2/3 0 l Bdxx 8 3 2 lB C点是高电势端。 30cosBdlx 5. 一面积为S的平面导线闭合回路，置于载流长螺线管中，回路的 法向与螺线管轴线平行设长螺线管单位长度上的匝数为n，通过 的电流为I=Imsint（电流的正向与回路的正法向成右手关系），其 中I m和为常数，t为时间，则该导线回路中的感生电动势为 _tInS m cos 0 2一半径r =10 cm的圆形闭合导线回路置于均匀磁场 (B =0.80 T) 中， 与回路平面垂直若圆形回路的半径从t = 0开始以恒定的速 率dr /dt =-80 cm/s收缩，则在这t = 0时刻，闭

19、合回路中的感应电动 势大小为_；如要求感应电动势保持这一数值，则 闭合回路面积应以dS /dt =_的恒定速率收缩 B B 0.40 V 0.5 m2/s dt d m dt Sd)B( dt rd)( B 2 dt dS B dt dr r2B dt d m dt Sd)B( dt nISd)( 0 dt dI nS 0 a r I 6如图所示，一半径为r的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径 为a(a r)的大金属圆环共面且同心在大圆环中通以恒定的电流I， 方向如图如果小圆环以匀角速度 绕其任一方向的直径转动，并 设小圆环的电阻为R，则任一时刻t通过小圆环的磁通量 小圆环中的感应电流i t

20、a rI cos 2 2 0 t Ra rI sin 2 2 0 分析：小圆环附近的磁场可认为为均匀磁场 SB m )cos( tBS)cos( 2 2 0 tr a I R i dt d R m 1 1 如图所示，两条平行长直导线和一个矩形导线框共面且导 线框的一个边与长直导线平行，他到两长直导线的距离分别为r1、 r2已知两导线中电流都为，其中I=I0sint和I0和为常数，t为 时间导线框长为a宽为b，求导线框中的感应电动势 I I O x r1 r2 a b解：两个载同向电流的长直导线在如图坐标x处所 产生的磁场为 ) 11 ( 2 21 0 rrxx I B 选顺时针方向为线框回路正

21、方向，则 Badx )ln( 2 2 2 1 10 r br r brIa td d m t rr brbraI cos )( ln 2 21 2100 BdS m ) dd ( 2 1 1 1 1 21 0 br r br r rrx x x xIa t I rr brbra d d )( ln 2 21 210 v 4 长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长直导线共面，且 adAB，dc边固定，ab边沿da及cb以速度 无摩擦地匀速平动t = 0时， ab边与cd边重合设线框自感忽略不计 (1) 如i =I0，求 ab中的感应电动势ab两点哪点电势高？ (2)如i =I0cost，求ab

22、 边运动到图示位置时刻t时线框中的总感应电动势 x i B 2 0 解： （1）建立坐标ox，x沿ab方向， 原点在长直导线处，则x处的磁场为 b a b a BdxlB d)( ab 当i =I0时 l2 b c d l1 l0 a i B A v x x x I ll l d 2 10 0 00 0 1000 ln 2l llI ba UU x x il ll l d 2 10 0 20 xBl d 2 tIicos 0 (2)当 时，以abcda作为回路正方向， 则 td d )cossin)(ln 2 0 1000 ttt l llI v 0 1000 ln 2 tt cos l ll

23、I I I r d SB d 证明：通过图示填充区的磁通量为： l L L 0 单位长度自感系数为： l 5. 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心线相距d，属于同 一回路设两导线内部的磁通都略去不计，证明这样一对导线单位 长度的自感系数为 a adlI ln 0 ad a rl rd I r I d )(22 00 lI a ad ln 0 1. M、N为水平面内两根平行金属导轨，ab与cd为垂直于导轨并可 在其上自由滑动的两根直裸导线外磁场垂直水平面向上当外力 使ab向右平移时，cd将 (A) 不动 (B) 转动 (C) 向左移动 (D) 向右移动 第八章 电磁感应（二） B a b

24、 c d F N M 分析: 利用楞次定律可知：当ab向右平移时，会在回路形成顺时针 方向的电流，再利用安培力公式知cd将向右移动。 I 分析：分析：由对称性分析知： 线 为一系列以O为圆心 的同心圆。 感 E 3. 半径为a的圆柱形区域内，有随时间变化的均匀磁场（dB/dt=c）， 将一个等腰梯形导线框MNPK放入磁场，如图所示，导线框所在平 面垂直于圆柱形磁场的中轴线若梯形导线框上底长为a ，下底长 为2a ，总电阻为R，则MN段的感生电动势为_，PK段 的 感 生 电 动 势 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， P M 段 的 感 生 电 动 势 为 _ O M P K

25、N B a 感 E NOOMOMNOMN 00 OMN S dt dB 2 4 3 ca KOOPOPKOPK 00 扇形OMN S dt dB 6 2 ca 0 PM 1 两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R r，x R若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率v运动，试求 x =NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小 x r I R x v 解：由题意，大线圈中的电流在小线圈回路处产生的 磁场可视为均匀的 2/322 2 0 )(2xR IR B 3 22 0 2x IRr SB 故穿过小回路的磁通量为 v 4 22 0 2 3 x IRr t i d d 由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为 当x =NR时，小线圈回路中的感应电动势为 )2/(3 242 0 RNIr i v 2 2/322 2 0 )(2 r xR I