刚体的定轴转动定律

1、 刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化：在外力作用下，形状和大小都不发生变化 的物体的物体 . 刚体可视为特殊的质点系，即任意两质点间距刚体可视为特殊的质点系，即任意两质点间距 离始终保持不变的特殊质点系。离始终保持不变的特殊质点系。 刚体的基本运动形式：平动、转动刚体的基本运动形式：平动、转动 、平面平行运动、平面平行运动. 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：若刚体中所有的平动：若刚体中所有的 点的运动情况都完全相同，点的运动情况都完全相同， 或者说刚体内任意两点间或者说刚体内任意两点间 的连线在运动过程中总是的连线在运动过程中总是 保持方向不变保持方向不变 . 一、刚体的

2、运动：一、刚体的运动： 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中 所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，所有质点的位移都是相同的。而且在任何时刻， 各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚各个质点的速度和加速度也都是相同的。所以刚 体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的 运动运动。因此，此时可将刚体视为一个质点。因此，此时可将刚体视为一个质点。 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴定轴转动的刚体上各点都绕同一转轴 作

3、不同半径的圆周运动，且具有相同的角作不同半径的圆周运动，且具有相同的角 位移、角速度和角加速度，但是，线速度位移、角速度和角加速度，但是，线速度 、切向加速度和法向加速度不同。即角量、切向加速度和法向加速度不同。即角量 相同而线量不同相同而线量不同。因此，定轴转动的刚体因此，定轴转动的刚体 通常要用角量来描述。通常要用角量来描述。 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 . 刚体平面平行运动刚体平面平行运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ 刚体平面平行运动刚体平面平行运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+ x 二、二、 刚体定轴转动的角速度和角加速度刚体定轴转动的角速度

4、和角加速度 z 参考平面参考平面 )(t )()(ttt 角位移角位移 )(t 角坐标角坐标 约定约定 r 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r 沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 参考轴参考轴 角加速度角加速度 td d 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同； 3） 运动描述仅需一个坐标运动描述仅需一个坐标 . ,a , v 定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一 维转动

5、）的转动方向可维转动）的转动方向可 以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表 示示 . 00 zz 三、三、 匀变速转动公式匀变速转动公式 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动 at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 四、角量与线量的关系四、角量与线量的关

6、系 rv r v 2 n ra ra a n a nrra 2 t d d tt 2 2 d d d d a r v r v r a 五、力矩五、力矩 P z O F r d sinFrFdM : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 F M z O k F r 讨论讨论 FFF z FrkM z sin rFM z z F F 若力若力 不在转动平面内，把力分解为不在转动平面内，把力分解为 平行和垂直于转轴方向的两个分量平行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的 力矩为零，故力矩为零，故 对转对转 轴的力矩轴的力矩 z F F P z O F r d M 五五

7、. . 定轴转动刚体的转动定律：定轴转动刚体的转动定律： i m F Fi i f fi i F Fit it F Fin in i r f fit it f fin in f fij ij f fji ji d d O O i j O z i m i r )( 2 iiiit rmrF 2 i i ir mI IM i F IM 对比对比 amF IM 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度转动惯量是刚体转动惯性大小的量度,转动转动 惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小，惯量大，则刚体的转动惯性大；转动惯量小， 则刚体的转动惯性小。则刚体的转动惯性小。 转动惯量一般与两个因素有关：转动惯量一般与

8、两个因素有关： （1）转动轴的位置；）转动轴的位置； （2）转动刚体的质量；）转动刚体的质量； 2 i i ir mI 转动惯量转动惯量 i m i r 1 r 1 m 2 m 2 r 3 m 4 m 3 r 4 r 5 m 5 r 质量离散分布系统的转动惯量质量离散分布系统的转动惯量 2 22 2 11 2 rmrmrmI i i i dm r 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量 mrId 2 ：质量元：质量元 md 计算转动惯量计算转动惯量: m a a m m a m m mm m x y a a a a 2 2 a2 2 2 a3 2 2 222 )3 2 2 ()2

9、 2 2 () 2 2 (amamamI 例题例题 求质量为求质量为m m、长为的均匀细棒对下面、长为的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量：三种转轴的转动惯量： （1 1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2 2）转轴通过棒的一端并和棒垂直）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3 3）转轴通过棒上距中心为转轴通过棒上距中心为h h的一点的一点 并和棒垂直。并和棒垂直。 x dx x dx x dx h C 2 mdII CO 平行轴定理平行轴定理 质量为质量为 的刚的刚 体体，如果对其质心轴如果对其质心轴 的转动惯量为的转动惯量为 ， ， 则对任一与该轴平行则对任一与该

10、轴平行， 相距为相距为 的转轴的的转轴的 转动惯量转动惯量 C I m d d C O m 注意注意 x y z x I y I I yx VV IIdmyxdmrI )( 222 r x y x y m 0 l l dl sinl x y m 0 l 3/ 0 l 3/ 0 l 3/ 0 l 例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的例、求通过圆环中心并与圆环所在平面垂直的 转轴的转动惯量。设圆环的半径为转轴的转动惯量。设圆环的半径为R，质量，质量m均均 匀分布在圆环上。匀分布在圆环上。 R m d Rd O R O R 4 0 3 2 d2RrrI R r d r 例例 一质量为一质量为 、

11、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通 过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 . mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环 rrd 2 Rm 而而 rrmd2d圆环质量圆环质量 2 2 1 mRI 所以所以 rrmrId2dd 32 圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量 例题、均匀分布的质量为例题、均匀分布的质量为m、半径为、半径为R的球体绕其直径做定的球体绕其直径做定 轴转动的转动惯量。轴转动的转动惯量。 Z x dz z R 22 zR 例例 有两个半径相同、质量相等的细圆环有两个

12、半径相同、质量相等的细圆环A A和和B B， A A环的质量均匀分布，环的质量均匀分布，B B环的质量分布不均匀，环的质量分布不均匀， 它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量它们对通过环心且垂直于环面的轴的转动惯量 分别为分别为I IA A和和I IB B，则：，则：【 】 （A A）A A环的转动惯量大于环的转动惯量大于B B环的转动惯量；环的转动惯量； （B B）A A环的转动惯量小于环的转动惯量小于B B环的转动惯量；环的转动惯量； （C C）两个圆环的转动惯量相等；）两个圆环的转动惯量相等； （D D）无法判断。）无法判断。 竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质

13、量为什么飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？ 刚体定轴转动的转动定律的应用刚体定轴转动的转动定律的应用 例、如图所示，一个质量为例、如图所示，一个质量为M， 半径为半径为R的圆盘形定滑轮，上面的圆盘形定滑轮，上面 绕有细绳，绳子一端固定在滑轮绕有细绳，绳子一端固定在滑轮 上，另一端悬挂一个质量为上，另一端悬挂一个质量为m的的 物体而下垂，忽略轴处的摩擦，物体而下垂，忽略轴处的摩擦， 绳子与滑轮间无相对滑动，求物绳子与滑轮间无相对滑动，求物 体体m下落的加速度。下落的加速度。 a 例题、一根长为例题、一根长为l、质量为、质量为m的均匀直棒，其一端固定在光滑的均匀直棒，其一端固定

14、在光滑 水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水水平轴上，因而可以在竖直平面内转动，假设最初棒处于水 平位置，求棒从初始位置下摆到平位置，求棒从初始位置下摆到 时的角速度和角加速度。时的角速度和角加速度。 mg cos 2 1 l 例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两例题、一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两 端分别悬有质量为端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1 m2 如图如图 所示。设滑轮的质量为所示。设滑轮的质量为m ，半径为，半径为r。绳与滑轮之间。绳与滑轮之间 无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。无相对滑动。试求物体的加速度和绳的

15、张力。 m1 m2 T2 T1 T1 T2 m2g m1g a a a m 1 m 2 例题例题 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的 两端分别悬有质量为两端分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体，物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，顺时针方向旋转，Mr r的指向如图所示。可列出下列方的指向如图所示。可列出下列方 程程 JMrTrT amTG amGT 12 222 111 式中式中 是滑轮的角加速度，是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮是物体的加速度。滑轮 边

16、缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即边缘上的切向加速度和物体的加速度相等，即 从以上各式即可解得从以上各式即可解得 ra mmm rMgmm r J mm rMgmm a r 2 1 / 12 12 212 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 12 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 21 11 而而 rmmm rMgmm r a 2 1 / 12 12 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0=0、M =0=0时，有时，有 g mm mm TT 12 21 21 2 g mm mm a 12 12 上

17、题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a， 再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1 和和m2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a和速度和速度v都较小，都较小， 这样就能角精确地测出这样就能角精确地测出a来。来。 例例、在半径分别为、在半径分别为R R1 1和和R R2 2的的 阶梯形滑轮上反向绕有两

18、根阶梯形滑轮上反向绕有两根 轻绳，各悬挂质量分别为轻绳，各悬挂质量分别为m m1 1、 m m2 2的物体，若滑轮与轴间的的物体，若滑轮与轴间的 摩擦忽略不计，绳子与滑轮摩擦忽略不计，绳子与滑轮 间无相对滑动，滑轮的转动间无相对滑动，滑轮的转动 惯量为惯量为J J，求滑轮的角加速，求滑轮的角加速 度和各绳中的张力度和各绳中的张力T T1 1和和T T2 2 m m1 1 m m2 2 R R1 1 R R2 2 2m2m m m 课堂练习：课堂练习： 两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点 在同一水平线上，小滑轮的质量为在同一水平线上，小滑轮的质量

19、为m m，半径为，半径为r r，大滑轮的质量，大滑轮的质量 为为2m2m，半径为，半径为2 2r r，一根不可伸长的细绳跨过这两个定滑轮，绳，一根不可伸长的细绳跨过这两个定滑轮，绳 的两端分别悬挂着物体的两端分别悬挂着物体A A和和B B，A A的质量为的质量为m m，B B的质量为的质量为2m2m，这，这 一系统由静止开始转动，忽略滑轮轴的摩擦，绳子与滑轮间无一系统由静止开始转动，忽略滑轮轴的摩擦，绳子与滑轮间无 相对滑动，求两滑轮的角加速度和它们之间的绳的张力。相对滑动，求两滑轮的角加速度和它们之间的绳的张力。 2 2r r r r 例例 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上

20、，静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质 量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物 体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的加速度为多少？两物体的加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2） 物体物体 B 从从 B m C m 再求加速度及绳再求加速度及绳 的张力的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，

21、 其速率是多少？（其速率是多少？（3） 若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为 f M y A m A B C A m B m C m A B C A m B m C m T1 F T2 F A P Ox T1 F N F A m y O T2 F B P B m amF AT1 amFgm BT2B JRFRF T1T2 Ra 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分 别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作 受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转 动定律列方程动定律列方程

22、. T2 F T1 F C P C F 2 CBA B mmm gm a 2 CBA BA T1 mmm gmm F 2 )2( CBA BCA T2 mmm gmmm F 如令如令 ，可得，可得0 C m BA BA T2T1 mm gmm FF （2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率 2/ 2 2 CBA B mmm gym ay v A B C A m B m C m T1 F T2 F （3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩 擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律 f M 结合（结合（1）中其它方程）中其它方程 JMRFRF fT1

23、T2 amF AT1 amFgm BT2B Ra JMRFRF fT1T2 T2 F B P B m A P T1 F N F A m T2 F T1 F f M 2/ )/( CBA fBA T1 mmm RMgmm F 2 )2( CBA fCAB T2 mmm RMgmmm F 2/ CBA fB mmm RMgm a A B C A m B m C m T1 F T2 F JMRFRF fT1T2 amF AT1 amFgm BT2B Ra 例、如图所示，圆盘形滑轮的质量为例、如图所示，圆盘形滑轮的质量为M M，半径为，半径为R R， 通过滑轮连接的两个物体质量分别为通过滑轮连接的两个

24、物体质量分别为m m1 1和和m m2 2 (m (m1 1mm2 2) )， 若斜面是光滑的，倾角为若斜面是光滑的，倾角为 ，绳与滑轮间无相对滑动，绳与滑轮间无相对滑动， 不计滑轮轴上的摩擦，求（不计滑轮轴上的摩擦，求（1 1）绳子中的张力；（）绳子中的张力；（2 2） m m1 1、m m2 2的加速度。的加速度。 m m1 1 m m2 2 例例 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其 下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，

25、当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转 动动 .试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度角时的角加速度 和角速度和角速度 . lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和 铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得作用，由转动定律得 N F Jmglsin 2 1 式中式中 2 3 1 mlJ d d d d d d d d tt 得得sin 2 3 l g 由角加速度的定义由角加速度的定义 dsin 2 3 d l g 代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 ( 3 l g Jmg

26、lsin 2 1 例：一转动惯量为例：一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，的圆盘绕一固定轴转动， 初始为角速度为初始为角速度为0，它所受阻力矩与转动角，它所受阻力矩与转动角 速度的平方成正比，即速度的平方成正比，即Mk2（k为正的为正的 常数），求：常数），求： （1）圆盘开始转动时的角加速度。）圆盘开始转动时的角加速度。 （2）圆盘的角速度从）圆盘的角速度从0变为变为1/30时所需的时时所需的时 间。间。 例、例、风扇在开启电源后，经过时间风扇在开启电源后，经过时间t1 达到了额定转动角速度达到了额定转动角速度 0，若此时关，若此时关 闭电源，则再经过时间闭电源，则再经过时间t2后风扇就停后风扇就停 止了转动，已知风扇转子的转动惯量止了转动，已知风扇转子的转动惯量 为为I，并假定摩擦阻力矩和电机的电，并假定摩擦阻力矩和电机的电 磁动力矩均为常量，试根据已知量推磁动力矩均为常量，试根据已知量推 算电机的电磁动力矩。算电机的电