电子科技大学_电磁场与电磁波_典型例题

1、求无限长线电荷在真空中产生的电场。求无限长线电荷在真空中产生的电场。 E 解：取如图所示高斯面。解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有由高斯定律，有 0 ( ) S Q E r dS 0 ( ) (2) l r l E rrl e 0 2 l r Ee r 分析：电场方向垂直圆柱面。分析：电场方向垂直圆柱面。 电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。 r 例例 典型例题典型例题 a 解：解：1) 1) 取如图所示高斯面。取如图所示高斯面。 在球外区域：在球外区域：r r a a 0 ( ) S Q E r dS 2 0 ( ) (4) r Q E rre 2 0 4 r Q Ee r 分析：

2、电场方向垂直于球面。分析：电场方向垂直于球面。 电场大小只与电场大小只与r r有关。有关。 半径为半径为a a的球形带电体，电荷总量的球形带电体，电荷总量Q Q均匀分布在球体内。均匀分布在球体内。 求求：（：（1 1） （2 2） （3 3） ( )E r ( )E r ( )E r 在球内区域：在球内区域：r r a a r r 0 ( ) S Q E r dS 3 2 0 4 3 ( ) (4) r r E rre 3 0 4 r Qr Ee a 3 3 4 QQ Va 例例 2 2）解为球坐标系下的表达形式。）解为球坐标系下的表达形式。 2 0 3 0 ()() 4 ()() 4 r r

3、 Q era r E Qr era a 2 23 0 0() 1 ()() 4 ra Qr rra rra 30 0 0 3 4 EQ a 3 3） 0 3 0 1 ( ) 4 0 4 Q r E Q r a 半径为半径为a a的球形电介质体，其相对介电常数的球形电介质体，其相对介电常数 , , 若在球心处存在一点电荷若在球心处存在一点电荷Q Q，求极化电荷分布。，求极化电荷分布。 4 r 解：由高斯定律，可以求得解：由高斯定律，可以求得 S D dSQ 2 4 r Qe D r 0 PDE 在媒质内：在媒质内： 0 2 3 3 16 r Qe E r 2 4 r Qe E r 体极化电荷分布

4、体极化电荷分布: : P P 2 2 1 ()0 r r P rr 面极化电荷分布面极化电荷分布: : SPr P e 2 3 16 Q a 在球心点电荷处：在球心点电荷处： 23 4 4 pSPsp Q QQa 例例 在线性均匀媒质中，已知电位移矢量在线性均匀媒质中，已知电位移矢量 的的z z分量为分量为 ，极化强度，极化强度 求：介质中的电场强度求：介质中的电场强度 和电位移矢量和电位移矢量 。 2 20/ z DnC m 2 92115/ xyz PeeenC m D E D 解：由定义，知：解：由定义，知： 0 0 DEPDP 1 (1) r PD 4 z r zz D PD 1 r

5、r DP 4 3 P 0 1 4 ED 例例 半径为半径为a a的带电导体球，已知球体电位为的带电导体球，已知球体电位为U U， 求空间电位分布及电场强度分布。求空间电位分布及电场强度分布。 解法一：导体球是等势体。解法一：导体球是等势体。 ra 时：时： 0 U E 例例 ra时：时： 2 0 0 r a r U 2 2 1 ()0 0 r a r dd r r drdr U 1 2 0 r a r c c r U aU r E ()() sin r e eaU e rrrr 2 r aU e r 解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。 设导体球

6、带电总量为设导体球带电总量为Q Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：强度为： 2 0 4 r Q Ee r 00 1 () 44 a a QQ UE dr ra 0 4QaU 2 r aU Ee r 2 rr aU E drdr r aU r 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a a，外导体半径为外导体半径为b b。内外导体间内外导体间 充满介电常数分别为充满介电常数分别为 和和 的两种理想介质，分界面半径为的两种理想介质，分界面半径为 c c。已知外导体接地，内导体电压为已知外导体接地，内导体电压为U U。 求求:(1):(1)导体间的导

7、体间的 和和 分布；分布； (2) (2)同轴线单位长度的电容同轴线单位长度的电容 1 2 E D a b c 1 2 分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可 知，在媒质两边知，在媒质两边 连续连续 D 解：设内导体单位长度带电量为解：设内导体单位长度带电量为 l 由高斯定律，可以求得两边媒质中，由高斯定律，可以求得两边媒质中， 2 l r De r 11 22 / / ED ED 例例 12 cb ac UE drE dr 12 lnln 22 ll cb ac 12 21 2 lnln l U cb ac 12 21 (lnln) U D cb r a

8、c 2 21 1 21 () (lnln) () (lnln) U arc cb r ac E U crb cb r ac 球形电容器内导体半径为球形电容器内导体半径为a a，外球壳半径为外球壳半径为b b。其间充其间充 满介电常数为满介电常数为 和和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q q，外外 球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。 1 2 a 1 2 b 分析：电场平行于介质分界面，由边界条件分析：电场平行于介质分界面，由边界条件 可知，介质两边可知，介质两边 相等。相等。 E S D dSq 2 12 2()rDDq 2

9、 12 2()rEEq 解：令电场强度为解：令电场强度为 ，由高斯定律，由高斯定律 E 2 12 2 () r q Ee r 12 11 ( )() 2 () b r q rE dr rb 例例 同轴线填充两种介质，结构如图所示。两同轴线填充两种介质，结构如图所示。两 种介质介电常数分别为种介质介电常数分别为 和和 ，导电率分别为，导电率分别为 和和 ，设同轴线内外导体电压为，设同轴线内外导体电压为U U。 求：求：(1)(1)导体间的导体间的 ， ， ； (2)(2)分界面上自由电荷分布。分界面上自由电荷分布。 1 2 2 1 E J 2a 2b 2c 11 22 a 22 11 E J 解

10、：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接应用 高斯定理求解。高斯定理求解。 设单位长度内从内导体流向外导体电流为设单位长度内从内导体流向外导体电流为I I。 则：则： r I Je S () 2 r I earc r 由边界条件，边界两边电流连续。由边界条件，边界两边电流连续。 例例 由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为： 1 11 () 2 r JI Eearb r 2 22 () 2 r JI Eebrc r 12 bc ab UE drE dr 12 (lnln )(lnln ) 22 II bacb

11、 120 21 2 ln( / )ln( / ) U I b ac b 120 21 () ln( / )ln( / ) U Jarc b ac b r 20 1 121 () ln( / )ln( / ) r UJ Eearb b ac b r 10 2 221 () ln( / )ln( / ) r UJ Eebrc b ac b r 22 () c r E drbrc 112 () bc rb E drE drarb 2 2）由边界条件：）由边界条件： 在在 面上：面上： ra 11S D n 120 21 ln( / )ln( / ) U b ac b a 在在 面上：面上： rc 2

12、10 21 ln( / )ln( / ) U b ac b c 32Sr D e 在在 面上：面上：rb 221 () Sr DDe 21120 21 () ln( / )ln( / ) U b ac b b 平行双线，导线半径为平行双线，导线半径为a a，导线轴线距离为，导线轴线距离为D D 求：平行双线单位长度的电容。（求：平行双线单位长度的电容。（aD)aD) D x y P x 解：设导线单位长度带电分别为解：设导线单位长度带电分别为 和和 ，则易于求得，在，则易于求得，在P P点处，点处， l l 1 0 2 l x Ee x 2 0 () 2() l x Ee Dx 12 EEE

13、0 11 () 2 l x e xDx 导线间电位差为：导线间电位差为： D a a UE dx 0 ln l Da a 0 ln()ln C Daa 例例 计算同轴线内外导体间单位长度电容。计算同轴线内外导体间单位长度电容。 解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为 和和 ，则内外导体间电场分布为：，则内外导体间电场分布为： l l 1 0 2 l r Ee r 则内外导体间电位差为：则内外导体间电位差为： 内外导体间电容为：内外导体间电容为： b a UE dr 0 ln 2 l b a 0 2 lnln Q C Uba 例例 由边界条件知在边界两边

14、由边界条件知在边界两边 连续。连续。 E 解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为 S D dSQ 110 (2)rl ErlEQ 110 (2) l r Ee r 110 ln (2) b l a b UE dr a 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填充介质，导体间部分填充介质 ，介质介电常数为，介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为，如图所示。已知内外导体间电压为U U。 求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。 例例 110 (2) lnln l U ba (lnln ) r U Ee

15、ba r l b b 0 1 12 22 101 11 22 e VV WE dVE dV 22 101 2222 1111 (2) 2(lnln )2(lnln ) bb aa U lU l rdrrdr barbar 2 110 1 (2); 2 (lnln ) U l ba 两种方法求电场能量：两种方法求电场能量： 或应用导体系统能量求解公式或应用导体系统能量求解公式 1 2 eii i WqU 1 2 ell WU 110 (2) lnln l U ba 2 110 1 (2) 2 (lnln ) U ba 2 110 1 (2) 2(lnln ) el U l W ba 已知同轴线内

16、外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间填充介质，介质，导体间填充介质，介质 介电常数为介电常数为 ，导电率为，导电率为 。已知内外导体间电压为。已知内外导体间电压为U U。 求：内外导体间的求：内外导体间的 1 1） ;2 2） ;3;3） ;4;4） ; 5; 5） ;6;6） 0 E J l C el Ws 分析：为恒定电场问题。分析：为恒定电场问题。 电荷只存在于导体表面，故可用静电场高电荷只存在于导体表面，故可用静电场高 斯定理求解。斯定理求解。 解法一：应用高斯定理求解。解法一：应用高斯定理求解。 设内导体单位长度电量为设内导体单位长度电量为 则则 S D

17、dSQ 2 l r De r 2 l r Ee r 例例 (lnln ) 2 b l a UE drba 2 (lnln ) l U ba l a b (lnln) r U Ee ba r (lnln ) (lnln ) b r Ubr E dr ba (lnln ) r U JEe ba r 2 (lnln ) l l C Uba 2 1 2(lnln ) ell U WU ba 1 ( )( ) 2 e V WD rE r dV 解法二：间接求解法解法二：间接求解法 由于内外导体间不存在电荷分布，电位方程为由于内外导体间不存在电荷分布，电位方程为 2 0 0 r a r b U 1 ()0

18、 0 r a r b dd r r drdr U lnln lnln br U ba (lnln ) r U Ee ba r (lnln ) r U JEe ba r 2 (lnln ) Ql C Uba 2 1 2(lnln ) e U l WQU ba 2 ln( / ) S lU QD dS b a 2 (lnln ) l Ql C Uba 解法三：恒定电场方法求解解法三：恒定电场方法求解 令由内导体流向外导体单位长度总电流强度为令由内导体流向外导体单位长度总电流强度为I I，则，则 2 r I Je rl / 2 r JI l Ee r (lnln ) 2 b l a I UE drb

19、a 2 (lnln ) l U I ba (lnln ) r U Je ba r (lnln ) r JU Ee ba r 2 (lnln ) Ql C Uba 2 1 2(lnln ) e U l WQU ba 2 ln( / ) S Ul QD dS b a 导体球壳，内径为导体球壳，内径为b b，外径为，外径为c c，球壳球心为半径为，球壳球心为半径为a a 导体球，导体球带电量导体球，导体球带电量Q,Q,中间充满两种介质，介电系数分别为中间充满两种介质，介电系数分别为 1 1和和2 2，介质分界面如图所示。，介质分界面如图所示。 求：（求：（1 1）空间场分布）空间场分布E(r)E(r

20、)； （2 2）空间电位分布；）空间电位分布； （3 3）电容；）电容； （4 4）系统电场能量。）系统电场能量。 解：由边界条件知，解：由边界条件知， 连续。连续。 E （1 1）rara，该区域为导体空间，故：，该区域为导体空间，故： =0=0； E a a rbrb，由高斯定理有，由高斯定理有 S D dSQ 2 12 2()rEQ 例例 2 12 2() r Q Ee r 1 11 2 12 2() r Q DEe r 2 22 2 12 2() r Q DEe r Q c b a 2 1 b b rcrcrc， 2 0 4 r Q Ee r （2 2）求电位分布。）求电位分布。 rc

21、rc， 0 4 r Q E dr r 0 4 Q c arbarb， () b rc E dr 012 11 () 42 () QQ crb ra,ra, 012 11 () 42 () QQ cab brcbrara时时 2 I H r 当当rara时时 2 22 1 222 IrIr HI rraa 例题例题 半径为半径为a a的无限长直导体内通有电流的无限长直导体内通有电流I I，计算空间磁场强度，计算空间磁场强度 分布分布 H 例题例题 内、外半径分别为内、外半径分别为a a、b b的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴的无限长中空导体圆柱，导体内沿轴 向有恒定的均匀传导电流，体电流密度为向

22、有恒定的均匀传导电流，体电流密度为 导体磁导率为导体磁导率为 。求。求 空间各点的磁感应强度空间各点的磁感应强度B J x y z 0 J 分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。分析：电流均匀分布在导体截面上，呈轴对称分布。 解：根据安培环路定律解：根据安培环路定律 在在rara区域：区域： 0 C H dlI 20Hr 0H 在在arbarbrb区域：区域： 22 0 2()HrJba 22 0 () 2 J Hba r 所以，空间中的所以，空间中的 分布为：分布为： 22 0 22 00 0() ( )()() 2 ()() 2 ra J B rra earb r J ra erb

23、 r B 例例 无限长线电流位于无限长线电流位于z z轴，介质分界面轴，介质分界面 为平面，求空间的为平面，求空间的 分布和磁化电流分布。分布和磁化电流分布。B x z 1 0 I 分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律分析：电流呈轴对称分布。可用安培环路定律 求解。磁场方向沿求解。磁场方向沿 方向。方向。 e 解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知，解：磁场方向与边界面相切，由边界条件知， 在分界面两边，在分界面两边， 连续而连续而 不连续。不连续。 H B 由安培环路定律：由安培环路定律： C H dlI 2HrI 2 I He r 0 1 (0) 2 (0) 2 I ez r BH I

24、 ez r 介质磁化强度为：介质磁化强度为： 10 00 () 2 IB MHe r 体磁化电流为：体磁化电流为： 0 rz m rz ee e rr JM rz MrMM 面磁化电流为：面磁化电流为： 1010 00 ()() 22 smzr II JMneee rr 在介质内在介质内r=0r=0位置，还存在磁化线电流位置，还存在磁化线电流I Im m。由安培环路定律，有：。由安培环路定律，有： 00 (1) mmr l B IIdlIII 10 1 0 () (1) msmr I III 也由电流守恒的关系求磁化线电流也由电流守恒的关系求磁化线电流 分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感

25、。分析：内导体为粗导体，故内导体存在内自感。 因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互因此同轴线自感由同轴线内自感和内外导体间互 感组成。感组成。 解：设同轴线内导体载流为解：设同轴线内导体载流为I I，则由安培环路定律，知，则由安培环路定律，知 0 2 0 () 2 () 2 0() Ir era a I Bearb r rb 例例 求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为求同轴线单位长度的自感。设同轴线内径为a a，外径，外径 为为b b，内外导体间为真空。导体磁导率为，内外导体间为真空。导体磁导率为 a b 0 同轴线单位长度自感由内导体内自感和内外导体互感构成。即：同轴线单位长度自感由

26、内导体内自感和内外导体互感构成。即： io LLL a 1 dr a 如图，在内导体内取一长为单位长度，宽为如图，在内导体内取一长为单位长度，宽为drdr的的 矩形面元，则通过该面元的磁通为：矩形面元，则通过该面元的磁通为： 0 2 2 i Ir dB dSdr a 令与令与 所交链的电流为所交链的电流为I I , ,可知 可知 d 2 2 22 IIr Ir aa 若将整个内导体电流看作若将整个内导体电流看作1 1匝，则与匝，则与 交链的电交链的电 流为流为 d 2 2 () Ir N Ia 匝 由磁链定义，知与由磁链定义，知与 对应的磁链为：对应的磁链为： d 3 0 4 2 ii Ir

27、dNddr a 整个内导体单位长度的内磁链为整个内导体单位长度的内磁链为 3 00 4 0 28 a ii IrI ddr a 0 8 i i L I 故内导体单位长度的内自感为故内导体单位长度的内自感为 易求得，内外导体间单位长度磁链为：易求得，内外导体间单位长度磁链为： 00 ln 22 b o a IIb dr ra 0 ln 2 o o b L Ia 00 ln 82 io b LLL a 例例 求双传输线单位长度自感。设导线半径为求双传输线单位长度自感。设导线半径为a a，导线，导线 间距为间距为D D。(Da)(Da) y x D I I dx x Dx 分析：导线为细导线，故只需考虑导体间分析：导线为细导线，故只需考虑导体间 的互感。的互感。 解：由安培环路定律，可以求得在导体间解：由安培环路定律，可以求得在导体间 磁感应强度分布：磁感应强度分