工程类数学建模

1、2000年年B题 钢管订购和运输 v 要铺设一条 的输送天然气的主管道 , 如图一所示 (见下页 )。经筛选后 可以生产这种主管道钢管的钢厂有 。图中粗线表示铁路，单细线表示公 路，双细线表示要铺设的管道 (假设沿管道或者原来有公路，或者建有 施工公路 )，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字 表示里程 (单位 km)。为方便计， 1km主管道钢管称为 1单位钢管。 请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用 )。| i 1234567 si 80080010002000200020003000 p

2、i 160155155160155150160 v一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500个单位。钢厂 在指定 期限内能生产该钢管的最大数量为si 个单位，钢管出厂销价 1单位钢管为pi 万 元，如下表： 里程 (km) 300 301 350 351 400 401 450 451 500 运价 (万元 )2023262932 里程 (km) 501 600 601 700 701 800 801 900 901 1000 运价 (万元 )3744505560 1单位钢管的铁路运价如下表： 1000km以上每增加 1至 100km运价增加 5万元。 公路运输费用为 1单位钢管每公里

3、 0.1万元（不足整公里部分按整公里计算） 2000B 2000B 钢管订购和运输钢管订购和运输 由钢管厂订购钢管，经铁由钢管厂订购钢管，经铁 路、公路运输，铺设一条路、公路运输，铺设一条 钢管管道钢管管道 1521 AAA A1 3 2 5 80 10 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 450 104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 306 195 202 720 690 520 170 690 462 160 320 160 110 290 1150

4、 1100 1200 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 管道 铁路 公路 S1S7 钢管厂 火车站 450 里程（km） （沿管道建有公路） 问题的基本模型和解法问题的基本模型和解法总费用最小的优化问题 总费用：订购，运输（由各厂Si经铁路、公路至各点Aj, i=1,7; j=1, 15 ），铺设管道Aj Aj+1 （j=1, 14) 由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij 由Si至Aj的最优运量xij 由Aj向Aj Aj-1段铺设的长度zj及向Aj Aj+1段铺设的长度yj 最优购

5、运计划最优购运计划 约束条件约束条件 钢厂产量约束：上限和下限（如果生产的话） 运量约束：xij对i求和等于zj 加yj； yj与 zj+1之和等于Aj Aj+1段的长度lj 基本模型基本模型 由Aj向Aj Aj-1段铺设的运量为 1+ +zj= zj( zj+1)/2 由Aj向Aj Aj+1段铺设的运量为 1+ +yj= yj( yj+1)/2 )6(0, 0 )5(15, 2 , 1, 7 , 2 , 10, 0, 0 )4(14, 2 , 1 )3(15, 2 , 1 )2(7 , 2 , 1,5000. ) 1 ()1() 1( 2 1 . 0 min 151 1 7 1 15 1 7

6、 1 15 1 15 1 yz jiyzx jlzy jyzx isxts yyzzxc jjij jjj jj i ij i j ij ijj jjjjijij 二次规划 求解步骤求解步骤 1）求由Si至Aj的最小购运费用路线及最小费用cij 难点：公路运费是里程的线性函数，而铁路运费是里 程的分段阶跃函数，故总运费不具可加性。因而计算 最短路常用的Dijkstra算法、Floyd算法失效。 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 300 220 210 420 500 170 690 462 160 320 160 110 290 A10 A11 A12 A13

7、A14 A15 S4 S5 S6 S7 需要对铁路网和公路网进行预处理，才能使用常用需要对铁路网和公路网进行预处理，才能使用常用 算法，得到最小购运费用路线。算法，得到最小购运费用路线。 如S7至A10的最小费用路线 先铁路1130km，再公路 70km, 运费为77（万元） 先公路（经A15）40km, 再 铁路1100km，再公路70km, 运费为76（万元） 的的处处理理约约束束条条件件)7 , 2 , 1(,5000)2 15 1 isx i j ij 问问题题求求解解。，分分解解为为上上述述形形式式的的子子的的那那些些 求求解解，再再对对解解中中满满足足先先松松弛弛为为 ix isx

8、b j ij i j ij 5000 )7, 1(0) 15 1 15 1 个个子子问问题题共共和和分分解解为为 7 15 1 15 1 2)7, 1(5000) isxxa i j ij j ij 实际上只有S4和S7需要分解成子问题求解 (P96) 3) 每个子问题是标 准的二次规划，决 策变量为xij,yj,zj, 不 超过135个 。0,0, ,0. )(05.0min 1511 7 1 15 1 2 15 1 2 7 1 15 1 yzzyxlzy zyxsxts yyzzxc jjijjjj j i jij j iij jjj j jij ij ij 问题的其它模型和解法问题的其它

9、模型和解法1）运输问题的0-1规划模型 将全长5171km的管道按公里分段，共5171个需求点， 钢厂为7个供应点，构成如下的运输问题 5171,1,7,1,1,0 5171,1,1 7,1,500,0. min 7 1 5171 1 7 1 5171 1 jix jx isxts xc ij i ij i j ij ij ij ij cij为从供应点i到需求点j的最小购运费 xij=1表示从点i到点j购运1单位钢管 2002车灯线光源的优化设计模型车灯线光源的优化设计模型 汽车头部的车灯形状为一旋转抛物面，其对称轴水平地指向正前方，并已知 其开口半径为36毫米，深度为21.6毫米。经过车灯的

10、焦点F，在与对称轴相垂直的水 平方向上，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下 确定线光源的长度。该设计规范可简单描述如下： 在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的 反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和 C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位）， B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。 我们需要解决的是： 1）满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 2）得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 3）讨

11、论该设计规范的合理性。 CUMCMCUMCM评阅标准评阅标准 清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领清晰性：摘要应理解为详细摘要，提纲挈领 表达严谨、简捷，思路清新表达严谨、简捷，思路清新 格式符合规范，严禁暴露身份格式符合规范，严禁暴露身份 创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理创造性：特别欣赏独树一帜、标新立异，但要合理 假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性， 结果的正确性，表述的清晰性。结果的正确性，表述的清晰性。 正确性：正确性：不强调与不强调与“参考答案参考答案”的一致性和结果的精度；的一致性和结果的精度； 好方法的结果一般比较好；但不一定是最好的好方法的结果

12、一般比较好；但不一定是最好的 合理性：关键假设；不欣赏罗列大量无关紧要的假设合理性：关键假设；不欣赏罗列大量无关紧要的假设 CUMCMCUMCM评阅标准评阅标准: 一些常见问题一些常见问题 有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂有的论文过于简单，该交代的内容省略了，难以看懂 有的队罗列一系列假设或模型，又不作比较、评价，有的队罗列一系列假设或模型，又不作比较、评价， 希望碰上希望碰上“参考答案参考答案”或或“评阅思路评阅思路”，弄巧成拙，弄巧成拙 数学模型最好数学模型最好明确、合理、简洁：明确、合理、简洁： 有些论文不给出明确的模型，只是根据赛题的情况，有些论文不给出明确的模型，只是根

13、据赛题的情况， 实际上是用实际上是用“凑凑”的方法给出结果，虽然结果大致是的方法给出结果，虽然结果大致是 对对 的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。的，没有一般性，不是数学建模的正确思路。 有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代有的论文参考文献不全，或引用他人结果不作交代 从论文评阅看学生参加竞赛中的问题从论文评阅看学生参加竞赛中的问题 吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题；吃透题意方面不足，没有抓住和解决主要问题； 就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺；就事论事，形成数学模型的意识和能力欠缺； 对所用方法一知半解，不管具体条件，套用现成的对所用方法一知半解，不管具体条件，套用

14、现成的 方法，导致错误；方法，导致错误； 对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周；对结果的分析不够，怎样符合实际考虑不周； 写作方面的问题写作方面的问题(摘要、简明、优缺点、参考文献摘要、简明、优缺点、参考文献); 队员之间合作精神差，孤军奋战；队员之间合作精神差，孤军奋战； 依赖心理重，甚至违纪（指导教师、依赖心理重，甚至违纪（指导教师、 网络）。网络）。 注意的几个问题 v合理假设 v基本原理 v公式推导 v模型检验 2009A题题 制动器试验台的控制方法分析制动器试验台的控制方法分析 汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车

15、轮上，它的作用是在行 驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接 影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路 上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指 定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏 板，使车辆

16、完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速 度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。 为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但 是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行 模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车

17、辆上制动器的模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的 制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全 车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转 的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制 动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机动器安装在主轴的一端

18、，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机 拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴模拟实验中，可认为主轴 的角速度与车轮的角速度始终一致的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的后电动机断电同时施加制动，当满足设定的 结束条件时就称为完成一次制动。结束条件时就称为完成一次制动。 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的 能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴 等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称 为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构 的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几 个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。 例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kgm2，基 础惯量为10 kgm2，则可以组成10，20，30，160 kgm2的16种数 值的机械惯量。但对于等效的转动惯量为45.7 kgm2的情况，就不能精确 地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为 40 kgm2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制