电磁学第四次课1

1、一、描述静电场基本性质的两个物理量：一、描述静电场基本性质的两个物理量： 0 q F E 电场强度：电场强度： 某点场强等于某点场强等于单位正电荷单位正电荷在在 该点所受的电场力该点所受的电场力 0 0a a Wq E dl “ ” 电势能：电势能： abab UUUd b a El 电势差电势差( (电压电压) ) () ababab AQ UUQUQU aa WqU 电势电势(0)U 0 d a a a W UEl q 场强与电势的场强与电势的 积分关系积分关系 x U E x y U E y z U E z UE 场强与电势的微分关系场强与电势的微分关系 二、反映静电场基本性质的两个定理

2、：二、反映静电场基本性质的两个定理： L rE0 d 保守场保守场 （无旋场）（无旋场） 场强环路定理：场强环路定理： 0 内 d Q SE S e 有源场有源场 高斯定理：高斯定理： 积分形式积分形式 微分形式微分形式 0 1 E 0 E 三、计算场强的方法三、计算场强的方法 1、已知电荷分布，利用点电荷场强及叠加原理求解、已知电荷分布，利用点电荷场强及叠加原理求解 2 0 4 qr E rr i i EE 点电荷场点电荷场 3、根据场强与电势的关系、根据场强与电势的关系 EU x U E x EU 2、高斯定理、高斯定理 电荷分布具有对称性：球对称、电荷分布具有对称性：球对称、面对称、柱对

3、称面对称、柱对称 四、计算电势的方法：四、计算电势的方法： 1.根据场源电荷分布，利用点电荷电势叠加原理求解：根据场源电荷分布，利用点电荷电势叠加原理求解： i i UU 0 4 q U r d a a UEl 2.根据电场分布，利用电势与场强的积分关系求解：根据电场分布，利用电势与场强的积分关系求解： 典型静电场场强及电势：典型静电场场强及电势： E Rr 0 Rr r Q 2 o 4 均匀带电球面均匀带电球面 E Rr R Qr 3 o 4 Rr r Q 2 o 4 均匀带电球体均匀带电球体 E 2 o rR r 2 2 o r rR R 无限长均匀带电柱体无限长均匀带电柱体 0 4 q

4、U R 内内 0 4 q U r 外 Rr r q RrrR R q rU , 4 ,3 8 )( 0 22 3 0 0 0 0 0 2 2 r ln(),rR r U(r ) r ln(),rR R 思考题思考题下例说法对否？下例说法对否？ 举例说明。举例说明。 （1）场强相等的区）场强相等的区 域，电势处处相等域，电势处处相等 （2）场强为零处，）场强为零处， 电势一定为零电势一定为零 （3）电势为零处，）电势为零处， 场强一定为零场强一定为零 （4）场强大处，电）场强大处，电 势一定高势一定高 Q Q EU 0 a a UE dr R + （5 5）电势不变的空间场强处处为零）电势不变的

5、空间场强处处为零 a 0 a U 0E 19-5：如图，一偶极矩为如图，一偶极矩为P的电偶极子放在场强为的电偶极子放在场强为E的均匀外的均匀外 电场中，电场中，P与与E的夹角为的夹角为。若若电偶极子绕垂直于电偶极子绕垂直于P、E平面平面 的轴，沿的轴，沿增加的方向转增加的方向转180度，求电场力所做的功。度，求电场力所做的功。 E P + + - - qE dlqlEcos WP E WqU WWWq(UU ) WqU 解：解： 电偶极子在均匀外场中的电势能：电偶极子在均匀外场中的电势能： P与与E的夹角为的夹角为时的电势能：时的电势能： 旋转旋转180度时电势能：度时电势能： 电场力所做的功

6、：电场力所做的功： Pql q q E 1 WPEcos 12 2A WWPEcos 0 2 180WPEcos()PEcos PEcos 19-4：如图，如图，A、B是真空中的两块相互平行的无限大均匀带是真空中的两块相互平行的无限大均匀带 电平面，电荷面密度分别为电平面，电荷面密度分别为和和22，若将，若将A A板选作电势板选作电势 零点，求图中零点，求图中a a点的电势。点的电势。 d a 2 b AB d E 解：解： 00 00 33 22 dd dldl 0 3 2 d 000 23 222 E a b Edl b a a UE dl x 20-420-4：半径为半径为R R的圆弧的

7、圆弧abab，所对圆心角，所对圆心角，如图所示，圆弧均匀，如图所示，圆弧均匀 带正电，电荷线密度为带正电，电荷线密度为，试求圆弧中心处的电场强度和电势。，试求圆弧中心处的电场强度和电势。 x y R O 0 4 Rd R 0 4 dQ dU R 解：解： 0 4 d dQdQ d 2 00 44 Rd dEd RR 0 4 0 0 4 Ud 0 22 sin R 2 0 2 / x EdE 方向：沿方向：沿x轴正向轴正向 2 x dEdEcos() 22 dE(coscossinsin) E 20-5：真空中有一个总电量为真空中有一个总电量为Q、半径为、半径为R的均匀带电球壳的均匀带电球壳 和

8、一块无限大、面电荷密度为和一块无限大、面电荷密度为的带电平面，如图。求（的带电平面，如图。求（1 1） x0 x0空间的电场强度分布；（空间的电场强度分布；（2 2）定性画出）定性画出B B点的场强叠加图；点的场强叠加图； （3 3）A A、B B两点电势差。（两点电势差。（OAOAOBOB2R2R，6060度）度） 122 00 44 QQ Ecos isinj rr 解：解：（1 1）球壳在）球壳在x0 x0空间某点处的空间某点处的 场强（选点场强（选点B B点）点） 2 E 12 0 4 Qr E rr 1 E x y r R B A 2R 2 0 2 Ei 无限大平面产生的场：无限大平

9、面产生的场： 22 000 424 QQ E(cos)isinj rr 0 2 Ei 球球里里 E x y r R B A 2R （3 3）A A、B B两点电势差。（两点电势差。（OAOAOBOB2R2R） A B E dl B ABAB A UUUE dl 0 2 R 2 2 0 2 R Rcos dl y x x E P L L o dx 图图18-6 （1） 2 0 0 4() L P dx E Lx 0 8L r y Pdx x LrLr rx x 2() 2 0 0 4() LL r P dx E rx 0 111 () 4Lrr 0 P E 2 L r 183. 一均匀带电直线，

10、长为一均匀带电直线，长为L。电荷线密度为。电荷线密度为 ， 求：求： （1）P点的电场强度；（点的电场强度；（2）带电直线上各点电场的方向的变化）带电直线上各点电场的方向的变化 情况。情况。 )0( ,0 2 p L rE ,0 2 p L rE 185.重力场中有一竖直向上的匀强电场，水平面上固定了一重力场中有一竖直向上的匀强电场，水平面上固定了一 质量为质量为M、半径为、半径为R的半圆形光滑绝缘槽；一质量为的半圆形光滑绝缘槽；一质量为m、带电、带电 量为量为+q的小球从的小球从A处由静止释放，求：（处由静止释放，求：（1）画出小球的受力）画出小球的受力 图（忽略空气阻力）；（图（忽略空气阻

11、力）；（2）写出小球的运动方程；（）写出小球的运动方程；（3）求）求 小球作简谐振动的条件和振动角频率。小球作简谐振动的条件和振动角频率。 （2）切向加速度）切向加速度 2 2 d aRR dt 0sin 2 2 mR qEmg dt d 当当 时时 5 简谐振动0 2 2 mR qEmg dt d 切向分力切向分力()sinFmgqE 2 2 2 0 d dt E 图图17-7 mgqE mR 取取 增加的方向为正增加的方向为正 Fma qE a mg R N A M 193. 真空中有一半径为真空中有一半径为R、总电量、总电量 的均匀带电圆环。一的均匀带电圆环。一 根不带电、两端开口的玻璃

12、管与环同轴放置，在管内距离环心根不带电、两端开口的玻璃管与环同轴放置，在管内距离环心x处处 由静止开始释放一个质量为由静止开始释放一个质量为m、电量为、电量为 q(q0) 的带电小球。求的带电小球。求（1） 忽略摩擦等一切阻力，写出小球的运动方程；忽略摩擦等一切阻力，写出小球的运动方程； （2）计算）计算 条件下的近似解，并判断小球的运动特点。条件下的近似解，并判断小球的运动特点。 （3）若）若 小球释放后如何运动？小球释放后如何运动？ Rx 0q x x mq, o R Q 解：圆环轴线上的电场解：圆环轴线上的电场 3 22 2 0 4() Qx E Rx （1） 2 2 dt xd mma

13、qE 2 32 22 2 0 0 4() d xqQx m dt Rx 0 4 . 3 0 2 x R q dt dx m Rx 时当 （3）当）当 时，受排斥力，向右做变加速运动。时，受排斥力，向右做变加速运动。0q )0(QQ q2q2 q q 2 l l l l 如果认为如果认为张力为零张力为零，则由受，则由受 力方程可以得到力方程可以得到 22 22 42 2sin (2 sin ) qq kk ll 22 22 2 2cos (2 cos ) qq kk ll 3 1 sin39.0 4 3 1 cos66.6 16 17.4：四个可视为点电荷的带电小球，用四根长度为四个可视为点电荷

14、的带电小球，用四根长度为 l 的线相连，稳定在水平面上，求平衡时菱形夹角的线相连，稳定在水平面上，求平衡时菱形夹角 22 22 2 2cos2 cos (2 cos ) qq kkT ll 设张力为设张力为 ，由力的平衡条件，由力的平衡条件 对对横向横向电荷电荷和和纵向电荷纵向电荷列方程列方程 T q2q2 q q 2 l l l l 22 22 42 2sin2 sin (2 sin ) qq kkT ll 2232 2223 444sin(2 cos )sin (2 sin )44coscos kqkql lkqkq 223 2 444sin 2 sin (2 sin ) kqkq T l

15、 223 2 44cos 2 cos (2 cos ) kqkq T l 223 23 224sin 4 sin kqkq T l 333 sin4costan4 因为张力为负因为张力为负，所以连接电荷的是轻杆而不是细绳！，所以连接电荷的是轻杆而不是细绳！ 57.8115.6 sin0.533 23 23 1 4sin 2sin kq l 232 232 1 4 0.846 1.17 2 0.846 kqkq ll 33 33 4 16sinsin 1 16coscos q2q2 q q 2 l l l l 7.4 7.4 静电场中的导体静电场中的导体 导体：导体：导电能力强的物体，导体具有大

16、量的自由移动的带导电能力强的物体，导体具有大量的自由移动的带 电粒子，能够很好地传导电流，如金属、电解质溶液等。电粒子，能够很好地传导电流，如金属、电解质溶液等。 静电感应：静电感应：当把导体放入静电场中当把导体放入静电场中，导体中的自由电子在电，导体中的自由电子在电 场力的作用下做宏观定向运动运动，使导体上的电荷重新分场力的作用下做宏观定向运动运动，使导体上的电荷重新分 布，这种现象称为布，这种现象称为静电感应。静电感应。 金属导体：金属导体：是由带正电的晶格点阵和带负电的自由电子组成。是由带正电的晶格点阵和带负电的自由电子组成。 一、一、导体的静电平衡导体的静电平衡 E0 + + + +

17、+ E E0 静电平衡状态静电平衡状态：导体各处（内部和表面）均无电荷定向运动。：导体各处（内部和表面）均无电荷定向运动。 电荷运动非常快，很快达到静电平衡。电荷运动非常快，很快达到静电平衡。 注意：导体内场注意：导体内场 强为零，不意味强为零，不意味 着外场不进入导着外场不进入导 体内部。体内部。 静电平衡条件静电平衡条件: 用场强来表述用场强来表述 ： 导体内部场强处处为零导体内部场强处处为零, , 用电势来表述用电势来表述 ： 导体成为等势体，导体成为等势体， E内 内= 0 等势体等势体 E表 表 等等 势势 面面 表面表面 常量常量U 表面场强与该处表面垂直表面场强与该处表面垂直.

18、表面成为等势面。表面成为等势面。 0UE 静电平衡状态静电平衡状态：导体内部和表面均无电荷定向运动：导体内部和表面均无电荷定向运动 的状态。的状态。 0 内内 E 二、静电平衡时导体上电荷的分布：二、静电平衡时导体上电荷的分布： 1.1.实心导体：实心导体： 内部无净电荷，电荷分部在外表面。内部无净电荷，电荷分部在外表面。 内 内=0 S V S P 0 内内 E 0 0 内内 q SE S d 所以该处无净电荷。所以该处无净电荷。P点是任意的，因此内部无净电荷点是任意的，因此内部无净电荷 2. 2. 导体球壳（空腔导体）：导体球壳（空腔导体）： 空腔内无带电体时：空腔内无带电体时： （2 2

19、）空腔内无电场，腔内为等势区。）空腔内无电场，腔内为等势区。 （1 1）空腔导体内表面无电荷，电荷）空腔导体内表面无电荷，电荷 只能分布在外表面只能分布在外表面。 外 外 内 内 0 E内 内= 0 外 外 E内 内 内 内 S 在导体中，包围空腔作在导体中，包围空腔作 高斯面高斯面S如图如图 ， 0 0 内内 导内导内 q sE S d 若若 内 内 0，则 ，则 内 内必有正负， 必有正负， 与导体为等势体矛盾与导体为等势体矛盾E线从正电荷到负电荷线从正电荷到负电荷 = 0 = 0则有：则有： 证明证明： 内 内 0 ， ，E内 内 0 只能只能 内 内 =0，且腔内无 ，且腔内无 线线

20、内内 E 只能只能 。0 内内 E ? 不管空腔导体本身是否带电，也不管导体不管空腔导体本身是否带电，也不管导体 外是否存在其他带电体，该结论都成立。外是否存在其他带电体，该结论都成立。 外 外=Q+q 内表 内表=-q E内 内 内 内 q 0 0 空腔内有带电体空腔内有带电体q时：时： （1）内表面带与腔内带电体等量反号电荷。）内表面带与腔内带电体等量反号电荷。 （2）外表面带与腔内带电体等量同号电荷。）外表面带与腔内带电体等量同号电荷。 （3）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体 有关；腔内电荷分布荷和电场分布不受腔有关；腔内电荷分布荷和电场分布不受腔 外电

21、荷的影响外电荷的影响 Q Q 为空腔导体所带电量为空腔导体所带电量 在导体中包围空腔在导体中包围空腔 做高斯面做高斯面S ， d0 S Es qq 内表内表 则：则： 【证明【证明】 0 1 ()0qq 表 所以所以 外 外 S 由电荷守恒定律：由电荷守恒定律： 如果导体球壳带电为零，如果导体球壳带电为零，Q0 q （3）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体有关；腔内电荷分）腔内表面电荷的分布只与腔内带电体有关；腔内电荷分 布荷和电场分布不受腔外电荷的影响布荷和电场分布不受腔外电荷的影响 q A B Q 0 内内 E q 外 外=+q 静电屏蔽：静电屏蔽： 在静电平衡状态下，空腔导体（不论接地与否

22、）内部电场在静电平衡状态下，空腔导体（不论接地与否）内部电场 不受腔外电荷的影响；接地空腔导体外部空间电场不受腔不受腔外电荷的影响；接地空腔导体外部空间电场不受腔 内电荷的影响，这个现象称为内电荷的影响，这个现象称为静电屏蔽。静电屏蔽。 3. 3. 孤立导体表面上电荷的分布孤立导体表面上电荷的分布 孤立的带电导体，外表面各处的电荷孤立的带电导体，外表面各处的电荷 面密度与该处曲率半径成反比。面密度与该处曲率半径成反比。 实验可以证明：实验可以证明： r R Q Q q r q R Q V 00 4 1 4 1 R r 小小 大大 2 2 4 4 RR rr 大 小 QR qr 静电平衡导体静电

23、平衡导体 尖端放电尖端放电 雷击尖雷击尖 端端 4 4、导体表面各处的面电荷密度与的该处表面附近场强的关系：、导体表面各处的面电荷密度与的该处表面附近场强的关系： 处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与该表处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与该表 面附近的电场强度大小成正比。面附近的电场强度大小成正比。 E S E=0 P 证明：证明： 在导体表面外无限靠近表面处任取一点在导体表面外无限靠近表面处任取一点P P 在在P P点临近的导体表面上取小面积元点临近的导体表面上取小面积元S S 0 0 1 E ssE nE 0 n 由导体内指向外由导体内指向外 由高斯定理：由高斯定理：

24、 注：注：E是导体面上所有电荷及周围带电体上电荷所激发的和场强是导体面上所有电荷及周围带电体上电荷所激发的和场强 基本依据基本依据: 三、有导体存在时静电场的分析与计算三、有导体存在时静电场的分析与计算 (2)利用电荷守恒利用电荷守恒 i i .Q常常量量 (3)利用高斯定利用高斯定理理 i i S QsE 0 1 d (4)利用环路定理利用环路定理 L lE0 d (1)利用静电平衡条件利用静电平衡条件0 0 内内 E CU E表面 表面 表面 表面 静电平衡的导体上的电荷分布静电平衡的导体上的电荷分布 Q内 内=0， ， 0 0E E P 21 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2

25、2 解解: :设金属板面电荷密度设金属板面电荷密度 、 导体体内任一点导体体内任一点P P场强为零场强为零 x 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 2 2 2 无限大的带电平面无限大的带电平面() )的场中的场中 平行放置一无限大金属平板。平行放置一无限大金属平板。 例题例题1 1 求：金属板两面电荷面密度求：金属板两面电荷面密度 （1） 由电量守恒由电量守恒 ( + )s=0 0 222 0 2 0 1 0 （2） Q Q 例题例题2 2两块面积均为 两块面积均为S的金属平板靠近平行放置，一块的金属平板靠近平行放置，一块 带电带电Q，另一块不带电，忽略边缘效应。，另一块不带电

26、，忽略边缘效应。 解解: :设金属板面电荷密度设金属板面电荷密度 、 、 、 3 3 、 4 4 x 3 4 由电荷守恒定律由电荷守恒定律 1)( 21 QS 20)( 43 S M 求：求：（1 1）金属板的电荷分布；（金属板的电荷分布；（2 2）空间电场分布；）空间电场分布； （3 3）右板接地，再求电荷、电场分布。）右板接地，再求电荷、电场分布。 S Q 2 41 S Q 2 32 P 导体内场强为零导体内场强为零 ) 4.(0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 ) 3.(0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 P： M： x （2 2）空间电场分布）空间电场分布 A B

27、C 0 4 0 1 22 A E S Q 0 0 2 2 B Q E S 32 000 222 S Q EC 0 0 2 2 （3 3）右板接地）右板接地, ,再求电荷及场强分布再求电荷及场强分布 0 0 4 41 1 23 Q S 0 0 CA EE S Q E B 0 0 总场强总场强 n n EE 3 4 S Q 2 41 S Q 2 32 A B c Q Q x 3 4 M P 两个平行等大的导体板两个平行等大的导体板A、B，面积，面积S比板的厚度和两板间比板的厚度和两板间 距离大得多，两板分别带电距离大得多，两板分别带电QA和和QB，求两导体板各表面，求两导体板各表面 的电荷分布。的

28、电荷分布。 例题例题4 4 解解: :设金属板面电荷密度设金属板面电荷密度 、 、 、 3 3 、 4 4 由电荷守恒定律由电荷守恒定律 12 ()1 A SQ 34 ()2 B SQ ) 4.(0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 ) 3.(0 2222 0 4 0 3 0 2 0 1 导体内场强为零导体内场强为零 3 4 A B 14 2 AB QQ S 23 2 AB QQ S 讨论：讨论： 1423 0, Q S （1）当两板带等量异号电荷时：当两板带等量异号电荷时： AB QQQ 23 2 A Q S 14 2 A Q S （3）只有一个板带电时：只有一个板带电时：0 B Q 1423 ,0 Q S （2）当两板带等量同