第四章_能带理论习题

1、固体物理学 固体物理固体物理 1 4.2 写出一维近自由电子近似，第写出一维近自由电子近似，第n个能带（个能带（n=1,2,3）中，简）中，简 约波矢约波矢 的零级波函数的零级波函数 a k 2 一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数一维近自由电子近似中，用简约波矢表示的波函数 ) )2( 2 1 ( 1 )( 2 22 2 2 x a n i n n mx a i xk i k e a n kk m V ee L x 第第n个能带零级波函数个能带零级波函数 mx a i xk i n ee L x 2 0 1 )( x a m a i n e L x ) 2 2 ( 0 1 )( 第四

2、章能带理论习题第四章能带理论习题 固体物理学 固体物理固体物理 2 x a i e L x m 2 0 1 1 )( 0 x a m a i n e L x ) 2 2 ( 0 1 )( 第一个能带第一个能带 x a i e L 2 1 a k 2 固体物理学 固体物理固体物理 3 x aa i e L x m ) 2 2 ( 0 2 1 )( 1 第二个能带第二个能带 x a i e L 2 3 1 a k 2 x aa i e L xm ) 2 2 ( 0 3 1 )(, 1 第三个能带第三个能带 x a i e L 2 5 1 x a m a i n e L x ) 2 2 ( 0 1

3、)( 固体物理学 固体物理固体物理 4 4.3 电子在周期场中的势能函数电子在周期场中的势能函数 bnaxban bnaxbnanaxbm xV ) 1(0 )( 2 1 )( 222 且且a=4b， 是常数。是常数。 1) 画出此势能曲线，并计算势能的平均值；画出此势能曲线，并计算势能的平均值； 2) 用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙用近自由电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙 宽度宽度 固体物理学 固体物理固体物理 5 bnaxban bnaxbnanaxbm xV ) 1(0 )( 2 1 )( 222 固体物理学 固体物理固体物理 6 势能的平均值势能的平均值 L ik

4、xikx dxe L xVe L V 0 1 )( 1 LNa bna bna ikxikx dxe L naxbme L NV 1 )( 2 1 1 222 222 () 2 na b na b N Vmbxnadx L 令令nax 222 1 () 2 b b Vmbd a 2 2 96 a Vm 固体物理学 固体物理固体物理 7 在近自由电子近似模型中，势能函数的第在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 a kki dVe a nV 0 )( )( 1 )( n a kk 2 b b n a i dbe a m nV )( 2 )( 22 2 2 222 1 (

5、)() 2 V xmbxnanabxnab nax b b a i dbe a m V )( 2 22 2 2 1 第一个带隙宽度第一个带隙宽度 11 2VE g 固体物理学 固体物理固体物理 8 () ()() 2222 (cossin)(cossin)(cossin) 222222 xyzxyz s aaaa i k ik j k kijkikkk ik R yy xxzz eee k ak a k ak ak ak a iii 类似的表示共有类似的表示共有8项项 k a j a i a Rs 222 01 ( ) s s ik Rs s RNearest EkJJe 2 cos 2 co

6、s 2 cos8)( 10 ak ak ak JJkE z y x s s 归并化简后得到体心立方归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带态原子能级相对应的能带 固体物理学 固体物理固体物理 9 只计入最近邻格点原子的相互作用时，只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应态原子能级相对应 的能带函数表示为的能带函数表示为 NearestR Rk i ss s s s eRJJkE )()( 0 4.7 一维单原子链，原子间距一维单原子链，原子间距a，总长度为，总长度为LNa 1) 用紧束缚近似方法求出与原子用紧束缚近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数态能级相对应的能带函数

7、 2) 求出其能带密度函数求出其能带密度函数 的表达式的表达式 3) 如每个原子如每个原子s态中只有一个电子，计算态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级时的费密能级 和和 处的能态密度处的能态密度 0 F E 0 F E )(EN 固体物理学 固体物理固体物理 10 对于一维情形对于一维情形, 任意选取一个格点为原点任意选取一个格点为原点 有两个最近邻的格点，坐标为：有两个最近邻的格点，坐标为：a和和a NearestR Rk i ss s s s eRJJkE )()( 0 )()( 10 ikaika s s eeJJkE kaJJkE s s cos2)( 10 dkkaaJkdE

8、s )sin2()( 1 kaaJ kdE dk s sin2 )( 1 能带密度函数的计算能带密度函数的计算 固体物理学 固体物理固体物理 11 )( )(4 1 2 0 2 1 kdE JkEJa dk s s s 1 0 2 )( cos J JkE ka s s 2 1 0 ) 2 )( (1sin J JkE ka s s kaJJkE s s cos2)( 10 kaaJ kdE dk s sin2 )( 1 对于一维格子，波矢为对于一维格子，波矢为 具有相同的能量，此具有相同的能量，此 外考虑到电子自旋有外考虑到电子自旋有2种取向，在种取向，在dk区间的状态数区间的状态数 k a

9、ndk )( )(4 2 2 4 2 0 2 1 kdE JkEJ N dk Na dZ s s s 固体物理学 固体物理固体物理 12 能带密度能带密度 T=0K的费密能级计算的费密能级计算 总的电子数总的电子数 0 0 ( )( ) F k E s E NN E dEk 0 0101 0 2cos2 kss k EJJkaJJ 其中其中 0 0 )( )(4 2 )( 2 0 2 1 F k E E s s s kdE JEJ N EN 2 0 2 1 )(4 2 )( )( JEJ N kdE dZ EN s s s 固体物理学 固体物理固体物理 13 0 01 11 2 arcsina

10、rcsin 222 Fs EJJ JJ 0 0 0 1 2arcsin 2 F k E s s E EJ J 0 0Fs EJT=0K的费密能级的费密能级 1 ( ) N N E J T=0K费密能级处的能态密度费密能级处的能态密度 2 0 02 1 )(4 2 )( JEJ N EN sF 固体物理学 固体物理固体物理 14 由于能带的交叠，能带由于能带的交叠，能带1中的部分电子转移到能带中的部分电子转移到能带2中，而中，而 在能带在能带1中形成空穴，讨论中形成空穴，讨论 时的费密能级时的费密能级 其中其中 为能带为能带1的带顶，的带顶， 为能带为能带2的带底的带底 4.9 半金属交叠的能带

11、半金属交叠的能带 22 111 1 2 2 22002 2 ( )(0),0.18 2 ( )()() ,0.06 2 k E kEmm m E kE kkkmm m 1(0) E 20 ()E k 120 (0)()0.1EE keV 0TK 固体物理学 固体物理固体物理 15 半金属的能带半金属的能带1和能带和能带2如图所示如图所示 22 11 1 2 2 2200 2 ( )(0) 2 ( )()() 2 k E kE m E kE kkk m 能带能带1的能态密度的能态密度 1 3 ( )2 (2 ) k VdS N E E 2 1 k k E m )()0(2 111 kEEm k

12、固体物理学 固体物理固体物理 16 1 3 ( )2 (2 ) k VdS N E E 同理能带同理能带2的能态密度的能态密度 111 2 3 1 /)()0( 2 4 )2( 2)( mkEE kV EN )()() 2 ( )2( 2 )( 022 2 3 2 2 2 2 kEkE mV EN )()0() 2 ( )2( 2 )( 11 2 3 2 1 2 1 kEE mV EN 111 /)()0( 2mkEEE k 固体物理学 固体物理固体物理 17 半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能 带。由于能带交叠，能带带。由于能带交叠，能带

13、1中的电子填充到能带中的电子填充到能带2中，满足中，满足 0 1(0) 0 2() 0 12 ( )( ) F Fk E E EE N E dENE dE dEkEE mV E EF )()0() 2 ( )2( 2 11 2 3 2 1 2 )0(1 0 dEEkE mV F k E E )0()() 2 ( )2( 2 02 2 3 2 2 2 0 ) 0 (2 固体物理学 固体物理固体物理 18 0 1(0) 0 2() 0 3333 2222 1112220 (0)( )( )() F Fk EE EE mEE kmE kE k 00 11220 (0)() FF m EEm EE k

14、 0 11220 12 (0)() F m Em E k E mm 12 0.18,0.06mm mm 120 (0)()0.1EE keV 0 20 ()0.075 F EE keV 固体物理学 固体物理固体物理 19 4.12 设有二维正方晶格，晶体势场设有二维正方晶格，晶体势场 ) 2 cos() 2 cos(4),(y a x a UyxU 用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角用近自由电子近似的微扰论，近似求出在布里渊顶角( /a, /a) 处的能隙处的能隙 晶体布里渊顶角晶体布里渊顶角( /a, /a)处的能隙处的能隙 11 2VE g 在近自由电子近似模型中，势能函数的第

15、在近自由电子近似模型中，势能函数的第n个傅里叶系数个傅里叶系数 a Gi dUe a nV n 0 2 )( 1 )( n Rr yxd dd n Gkk 固体物理学 固体物理固体物理 20 )(),( 2222 y a iy a ix a ix a i eeeeUyxU 晶体势场晶体势场 2211 ,anyanx n Rr )(),( 2211 2222 21 a i a i a i a i eeeeUU ) 2 cos() 2 cos(4),(y a x a UyxU 固体物理学 固体物理固体物理 21 a Gi dUe a nV n 0 2 )( 1 )( nxy kGkkk aa 22

16、 nxy Gkk aa 布里渊顶角布里渊顶角 21 bb 代入代入 yx a a a a bbi a a a i a i a i a i dde eeeeU a V yx yyxx ) 11 ()( 0 0 2222 2 1 2121 )( 1 xy kkk aa 固体物理学 固体物理固体物理 22 yx aa i a a a i a i a i a i dde eeeeU a V yx yyxx ) 22 ( 0 0 2222 2 1 )( 1 a a yx a i a i ddeeU a V yx 0 0 44 2 1 )1)(1 ( 1 UV 1 UE g 2 1 布里渊顶角布里渊顶角

17、处的能隙处的能隙),( aa 固体物理学 固体物理固体物理 例题：设晶格常数为a的一维晶格的周期性势场为 x a VxU 2 cos2)( 0 用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区边界/a处 的能隙 解： x a ix a i eeVxU 22 0 )( 把U(x)展开为复数傅立叶级数 ) 2 exp()()0()( 0 nx a inVUxU n 固体物理学 固体物理固体物理 发现傅立叶系数只有两个，即 0 ) 1() 1 (VVV 而布里渊区边界/a正好是第一布里渊的边界，能级在此发生 分裂，分裂值为 0 2) 1 (2VV 考虑一个二维正方格子，其晶格势场为 y a x a VyxU 2 cos 2 cos4),( 0 固体物理学 固体物理固体物理 用自由电子近似的微扰论，近似地求出布里渊区顶角（ /a， /a ）处的能隙 考虑一个二维正方格子，其晶格势场为 y a x a VyxU 2