2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.2.2导数的几何意义 课件（20张）

1、 求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的步骤是处的导数的步骤是: 00 (1)()();yf xxf x 求函数的增量 00 ()() (2); f xxf xy xx 求平均变化率 0 0 (3)()lim. x y fx x 求 瞬 时 变 化 率 ， 得 导 数 回回 顾顾 )(xf x xfxxf )( 00 你能借助函数的图象说说平均变化率你能借助函数的图象说说平均变化率 表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数 图象中画出来图象中画出来 割线斜率 平均变化率表示的是割线 n PP的斜率 圆的切线 0 x 割线割线PPn的的变化情况的的变化情况 在在的过程中，的过程中， 请在

2、函数图象中画出来请在函数图象中画出来 你能描述一下吗？你能描述一下吗？ 曲线切线 曲线的切线定义曲线的切线定义 n PP 00 (,()P xf x 0 x 当点 00 (,() n P xx f xx ( )f x沿着曲线 逼近点 时，即，割线 趋近于确定的位置，这个确定位置上 的直线PT称为点点P P处的切线。处的切线。 函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义几何意义就是就是 函数函数 的图像在点的图像在点 处的处的切线的斜率切线的斜率. （数形结合）（数形结合） )(xf 0 xx 0 / xf )(xf 00 (,()P xf x 导数的几何意义：导数的几何意义： 圆的切线定义

3、并不适用圆的切线定义并不适用 于一般的曲线。于一般的曲线。 而通过而通过逼近逼近的方法，将的方法，将 割线趋于的确定位置的直割线趋于的确定位置的直 线线定义为切线定义为切线（交点可能（交点可能 不惟一）不惟一）适用于各种曲线。适用于各种曲线。 所以，这种定义才真正反所以，这种定义才真正反 映了切线的直观本质。映了切线的直观本质。 2 l 1 l x y A B C P PP 根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以 用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替 。 . , ,., . 以以直直代代曲曲 想想方方法法这这是是微微积积分分中中重重要要的的思思

4、附附近近的的曲曲线线 点点这这替替近近似似代代切切线线我我们们用用曲曲线线上上某某点点处处的的 这这里里近近似似代代替替无无理理数数用用有有理理数数如如 例例刻刻画画复复杂杂的的对对象象数数学学上上常常用用简简单单的的对对象象 14163 大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大来看，大 致可看作致可看作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线某点附近的曲线 可以用过此点的切线近似代替，即可以用过此点的切线近似代替，即“以以 直代曲直代曲” （以简单的对象刻画复杂的（以简单的对象刻画复杂的 对象）对象） 例例1: （1）求函数）求函数y=3x2在点在点 (1,3)处的导数处的导数

5、. （2）求曲线）求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线处的切线 方程方程. 2222 1 111 33 13(1 ) |limlimlim3(1)6 11 x xxx xx yx xx 222 1 00 (1)1 (11)2 |limlim2 x xx xxx y xx 22(1)yx 20 xy 例例2.在函数在函数 的的 图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. 105 . 69 . 4)( 2 ttth 3 . 3) 1 ( / h 6 . 1)5 . 0( / h h 0 . 15 . 0 O t (2)请描述，比较曲线分别

6、在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在在 附近呢？附近呢？ , 0 t, 1 t 2 t , 3 t 4 t h t O 3 t 4 t 0 t 1 t 2 t 跳水 (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。 在在 附近呢？附近呢？ , 0 t, 1 t 2 t , 3 t 4 t 增（减增（减): 增（减）增（减）快慢：快慢： =切线的斜率切线的斜率 附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负） 即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数

7、） （数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线 即：导数即：导数 的绝对值的大小的绝对值的大小 =切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小 切线的倾斜程度切线的倾斜程度 （陡峭程度）（陡峭程度） 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 (2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0 t 曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调 0 t , 1 t , 1 t 2 t 如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜

8、程度大于切线的 倾斜程度，倾斜程度， 2 t 1 t , 3 t 4 t 大于大于 上升上升 递增递增 2 l 1 l 3 l 4 l 3 t 4 t上升上升 这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速 2 t, 1 l 2 l , 3 l 4 l 0)(),( 2 / 1 / thth 0)(),( 4 / 3 / thth , 1 t 2 t , 3 t 4 t 递减递减 下降下降 小于小于 下降下降 , 3 t 4 t 例例3如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) （单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变

9、化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度 从图象上看从图象上看,它表示它表示 曲线在该点处的曲线在该点处的切线的斜率切线的斜率. 函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数, （数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲） 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 t 0.2 0.4 0.60.8 药物浓

10、度的 瞬时变化率 3 . 004 . 15 . 0 . ,.,. 4180 4180 f t所以它的斜率约为处的切线作 .lim, ).( )( , ., x xfxxf yxfy xfy functionderivativexf xxfx xfxx xxxf x 0 00 0 即即 的的导导函函数数有有时时也也记记作作简简称称 的的们们称称它它为为 我我的的一一个个函函数数便便是是变变化化时时当当样样 这这是是一一个个确确定定的的数数时时当当看看到到 处处导导数数的的过过程程可可以以在在从从求求函函数数 导导函函数数 导导数数 如图（见课本如图（见课本P10.6）已知函数的图像，试画出其）已

11、知函数的图像，试画出其 导函数图像的大致形状。导函数图像的大致形状。 P11.2：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关：根据下面的文字叙述，画出相应的路程关 于时间的函数图像的大致形状。于时间的函数图像的大致形状。 （1）汽车在笔直的公路上匀速行驶；）汽车在笔直的公路上匀速行驶； （2）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；）汽车在笔直的公路上不断加速行驶； （3）汽车在笔直的公路上不断减速行驶；）汽车在笔直的公路上不断减速行驶； 课堂练习课堂练习 )(xf 0 xx 0 / xf2.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线的斜率处的

12、切线的斜率（数形结合）（数形结合） )(xf 00 ,()P xf x x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 / 切线切线 的斜率的斜率K 4.导函数导函数(简称导数简称导数) x xfxxf xf x )()( lim)( 0 / 3.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，体会解释实际生活问题，体会 “数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学思想方法。的数学思想方法。 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象 课堂小结课堂小结 1.曲线的切线定义曲线的切线定义 课后作业课后作业 )(xfy 0 xx 3请给出求函数在 处的切线方程的一个算法，并小组 自编