56.三角形中的三角恒等式

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(一-56):三角形中的三角恒等式(756) 0125 三角形中的三角恒等式 母题(-56):(1992年全国高考试题)求sin2200+cos2800+sin200cos800的值. 解析:在abc中,由正弦定理得a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,由余弦定理得a2+b2-2abcosc=c2(2rsina)2+(2rsinb)3-2(2rsina)(2rsinb)cosc=(2rsinc)2sin2a+sin2b-2sinasinbcosc=sin2

2、c;令a=200,b=100c=1500sin2200+sin2100-2sin200sin100cos1500=sin21500sin2200+cos2800+sin200cos800=.点评:在abc中,常用的恒等式有:tana+tanb+tanc=tanatanbtanc;tantan+tantan+tantan=1;sina+sinb+sinc=4coscoscos,cosa+cosb+cosc=1+4sinsinsin;sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc,cos2a+cos2b+cos2c=-1-4cosacosbcosc;sin2a+sin2b+sin2

3、c=2+2cosacosbcosc,cos2a+cos2b+cos2c=1-2cosacosbcosc;sin2+sin2+sin2=1-2sinsinsin,cos2+cos2+cos2=2+2sinsinsin;sin2a+sin2b-2sinasinbcosc=sin2c,cos2a+cos2b+2sinasinbcosc=1+cos2c. 子题(1):(2002年北京春招试题)在dabc中,已知a、b、c成等差数列,求tan+tantan+tan的值.解析:由a、b、c成等差数列b=tan=;又由tan=tan(-)=cot(+)tantan(+)=1tan(tan+tan)=1-ta

4、ntantantan+tantan+tantan=1(tan+tan)+tantan=1tan+tantan+tan=. 注:利用三角恒等式构造试题的方法之一是:对内角赋值,使恒等式的一边为常数,要求另一边三角函数式的值. 子题(2):(2011年“华约”自主招生试题)a、b、c为abc的内角,且abc不为直角三角形.()求证:tana+tanb+tanc=tanatanbtanc;()当tanc-1=,且sin2a,sin2b,sin2c的倒数成等差数列时,求cos的值.解析:()由a+b+c=tan(a+b)=tan(-c)=-tanctana+tanb+tanc=tanatanbtanc

5、;()由tanc-1=tana+tanb+tanc=tanatanctanatanbtanc=tanatanctanb=b=;又由+=2sin(a+c)cos(a-c)=-2cos(2a+2c)-cos(2a-2c)3cos(a-c)=-2-cos(2a-2c)4cos2(a-c)-3cos(a-c)-1=0cos(a-c)=1,-cos=1,. 注:利用三角恒等式构造试题的方法之二是由三角恒等式隐藏某个角的值,连同其它条件一起,解三角形. 子题(3):(2012年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知abc的周长为1,并且sin2a+sin2b=4sinasinb. 0126 母题(一-56):

6、三角形中的三角恒等式(756) ()证明:abc是直角三角形;()求abc面积的最大值.解析:()由sin2a+sin2b=4sinasinbsinacosa+sinbcosb=2sinasinbsina(cosa-sinb)+sinb(cosb-sina)=0sinasin(900-a)-sinb+sinbsin(900-b)-sina=0sina2cossin+sinb2cossin=02sinsinacos(450-)+sinbcos(450+)=0.而sinacos(450-)+sinbcos(450+)=cos(sina+sinb)+sin(sina-sinb)0(cos0,sina

7、+sinb0,sin与sina-sinb同号).所以,sin=0abc是直角三角形;()因a+b+c=1a+b+=112+ab,等号当且仅当a=b=,c=时成立abc面积的最大值. 注:利用三角恒等式构造试题的方法之三是由三角恒等式隐藏某个角的值,要求该角;如本题源自于abc中的恒等式:sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc. 子题系列:1.(1991年全国高中数学联赛试题)cos2100+cos2500-sin400sin800= .2.(1995年全国高考试题)求sin2200+cos2500+sin200cos500的值.3.(2007年爱尔兰数学奥林匹克试题)证

8、明:abc为直角三角形的充要条件是:sin2a+sin2b+sin2c=2. (b2-c2-a2)(b2-c2+a2)=0cosbcosc=0abc为直角三角形.4.(2007年克罗地亚数学奥林匹克试题)已知abc的三个内角分别为、,且满足条件cos2+cos2+cos2=1.试证明:abc为直角三角形. 子题详解:1.解:在sin2a+sin2b-2sinasinbcosc=sin2c;令a=800,b=400c=600sin2800+sin2400-2sin800sin400cos600=sin2600cos2100+cos2500-sin400sin800=.2.解:在sin2a+sin

9、2b-2sinasinbcosc=sin2c;令a=200,b=400c=1200sin2200+sin2400-2sin200sin400cos1200=sin21200sin2200+cos2500+sin200cos500=.3.解:由sin2a+sin2b+sin2c=2a2+b2+c2=8r2()2=sin2a=cos2a=cos2a=.若cosa=0,则abc为直角三角形;若cosa0,则cosa=4.解:(法一)由cos2+cos2+cos2=1cos2+cos2-sin2=0cos2+cos2-sin2(+)=0cos2+cos2-(sincos+cossin)2=0cos2+cos2-sin2cos2-2sincoscossin-cos2sin2=0cos2(1-sin2)+cos2(1-sin2)-2sincoscossin=02cos2cos2-2sincoscossin=02coscos(coscos-sinsin)=0coscoscos=0abc为直角三角形;(法二)由